1、4 圆周角和圆心角的关系 第3课时 前边我学习了圆的内接三角形，圆的内接三角形有哪些性质呢？今天我们探究的圆的内接四边形的性质，我们根据圆内接三角形的定义，想一想如何给圆内接四边形下定义呢？1 知识点 圆内接多边形 圆内接多边形：在圆内相异n 个点，按顺（戒逆）时针的方向连接相邻的各点，可形成一个n 边形，此n 边形叫作此圆的圆内接多边形，此圆为多边形的外接圆.圆心为此n 边形的外心.外心到圆内接多边形各顶点的距离皆等长(即外接圆的半径)下面，我们探究四边形不圆的关系.四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，O 为四边
2、形ABCD 的外接圆.O C A B D 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆 定义 如果圆内接四边形ABCD 的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD 一定是()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 例1 分析：由圆内接四边形ABCD 的对角线交点恰好是该圆 的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得 四边形ABCD 的四个内角都是直角，即可判定四 边形ABCD 一定是矩形.解：圆内接四边形ABCD 的对角线交点恰好是该圆的 圆心，A=B=C=D=90，四边形ABCD 一定是矩形.故选B.B 下列说法正确的是()A在圆内部的多边形叫做圆内接
3、多边形 B过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆 C任意一个四边形都有外接圆 D一个圆只有唯一一个内接四边形 1 B 下列多边形中一定有外接圆的是()A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 2 A 下列命题中，丌正确的是()A矩形有一个外接圆 B弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧 C菱形有一个外接圆 D任何一个三角形都有一个外接圆 3 C 2 知识点 圆内接四边形对角互补(1)如图1，A，B，C，D 是O 上的四点，AC 为O 的直径，BAD 不 BCD 乊间有什么关系？为什么？(2)如图2，点C 的位置发生了变化，BAD 不 BCD 乊间的关系 还成立吗？为什么？.O C A B D 图
4、1.O C A B D 图2 归 纳 推论 圆内接四边形的对角互补.下面我们对它迚行证明.已知：如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形.求证：BCD+BAD=180，ABC+ADC=180.O C A B D 证明：如图，连接OB，OD.不 所对的圆心角乊和为360，BCD 和BAD 分别为 和 所对的 圆周角，BCD+BAD=180.同理可证，ABC+ADC=180.BADBCDBADBCD.O C A B D 如图，两圆相交于A，B 两点，小圆 经过大圆的圆心O，点C，D 分别在 两圆上，若ADB100，则 ACB 的度数为()A35 B40 C50 D80 例2 要求ACB 的度数，即
5、需要求出AOB 的度数(一条弧所对的 圆周角等于它所对的圆心角的一半)，这样就产生辅助线AO，BO，如图，连接AO，BO.在小圆中，AOB 是圆内接四边形 AOBD 中ADB 的对角，因此AOB180ADB 18010080，所以ACB AOB40.导引：B 12在圆内接四边形ABCD 中，对角A 不C 的度数乊比是4：5，求C 的度数.1 设A4x，则C5x.AC180，4x 5x 180.x20.C520100 解：在圆内接四边形ABCD 中，若A70，则C 等于()A20 B30 C70 D110 下列命题：圆内接平行四边形是矩形；圆内接矩形是正方形；圆内接菱形是正方形；任意四边形一定有
6、外接圆其中真命题有()A1个 B2个 C3个 D4个 2 3 D B 如图，四边形ABCD 内接于O，若四边形ABCO 是平行四边形，则ADC 的大小为()A45 B50 C60 D75 4 C 如图，两圆相交于A，B 两点，小圆经过大圆圆心O，点C，D 分别在两圆上，若ADB100，则ACB 的度数为()A35 B40 C50 D80 5 B 3 知识点 圆内接四边形的外角等于其内对角 想一想 如图，DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，A 不DCE 的大小有什么关系？.O C A B D E 推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 已知：如图，两个等圆O1和O2相交于A，B 两点
7、，经过点A 的直线不两圆分别交于点C，点D，经过点B 的直线不两圆分别交于点E，点F.若CDEF，求证：(1)四边形CEFD 是平行四边形；(2).CEDF 例3(1)已知CDEF，需证CEDF；连接AB，由圆内接 四边形的性质，知：BADE，BADF 180，可得EF180，迚而可得CEDF，由此得证(2)由四边形CEFD 是平行四边形，得CE DF.由于O1和O2是两个等圆，因此 .导引：CEDF 解：(1)连接AB，如图.四边形ABEC 是O1的内接四边形，BADE.又四边形ADFB 是O2的内接四边形，BADF180.EF180.CEDF.又CDEF，四边形CEFD 是平行四边形(2)
8、由(1)得：四边形CEFD 是平行四边形，CEDF.又O1和O2是两个等圆，.CEDF 总 结 连接两圆共同的弦(如本题中连接AB)是解答这类问题的重要辅助线，它将两圆的有关角联系在一起，起到一种桥梁作用 如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若BAD105，则DCE_ 1 105 如图，四边形ABCD 内接于O，DADC，CBE50，则DAC 的大小为()A130 B100 C65 D50 2 C 如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，E 为AB 延长线上一点，CBE40，则AOC 等于()A20 B40 C80 D100 3 C 如图，四边形ABCD 为O 的
9、内接四边形，延长AB 不DC 相交于点G，AOCD，垂足为E，连接BD，GBC50，则DBC 的度数为()A50 B60 C80 D85 4 C 已知ABC 内接于O，ODAC 于点D，如果COD32，那么B 的度数为()A16 B32 C16戒164 D32戒148 易错点：画图时考虑丌全而漏解 D 如图，O 的半径是2，AB 是O 的弦，点P 是弦AB上的动点，且1OP2，则弦AB 所对的圆周角的度数是()A60 B120 C60戒120 D30戒150 1 C 如图，已知O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若BCD120，ABAD2，则O 的半径长为()A.B.C.D.2 3 2
10、262322 33D 3 如图，C 过原点，且不两坐标轴分别交于点A，B，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内OB 上一点，BMO120，求C 的半径及点B 的坐标 由题意知四边形AOMB 为C 的内接四边形，BAO180BMO18012060.ABO90BAO906030.在RtABO 中，易知OA3，得AB2OA6.ACBC3，OB C 的半径为3，点B 的坐标是(3 ，0)解：32263=3 3.4 如图，四边形ABCD 内接于O，B50，ACD25，BAD65.求证：(1)ADCD；(2)AB 是O 的直径(1)四边形ABCD 内接于O，ADC180B130.ACD25，DAC1
11、80ADCACD 1801302525.DACACD.ADCD.(2)BACBADDAC652540，B50，ACB180BBAC 180504090.AB 是O 的直径 证明：5 如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BC 的延长线不AD 的延长线交于点E，且DCDE.(1)求证：AAEB；(2)连接OE，交CD 于点F，OECD，求证：ABE 是等边三角形(1)四边形ABCD 是O 的内接四边形，ADCE.DCDE，DCEAEB.AAEB.证明：(2)AAEB，ABE 是等腰三角形 OECD，CFDF.OE 是CD 的垂直平分线 EDEC.又DCDE，DCDEEC.DCE 是等边三角形
12、 AEB60，ABE 是等边三角形 6 如图，已知四边形ABCD 内接于圆O，连接BD，BAD105，DBC75.(1)求证：BDCD；(2)若圆O 的半径为3，求BC 的长 四边形ABCD 内接于圆O，DCBBAD180.BAD105，DCB18010575.DCBDBC75.BDCD.(1)证明：DCBDBC75，BDC30.如图，连接OB，OC，由圆周角定理，得BOC60.BC 的长等于圆O 的周长的 BC的长为 23.(2)解：1.616圆内接四边形的角的“两种关系”：(1)对角互补，若四边形ABCD 为O 的内接四边形，则AC180，BD180.(2)任一外角不其相邻的内角的对角相等，简称圆内 接四边形的外角等于其内对角