1、2 二次函数的图象与性质 第4课时 二次函数 yax 2，yax 2k 有何位置关系？回顾旧知 二次函数 yax 2向上平移k(k0)个单位就得到二次函数yax 2k 的图象是什么？二次函数 yax 2向下平移k(k0)个单位就得到二次函数yax 2k 的图象是什么？yax 2不yax 2k 的性质呢？前面我们学习了yax 2，yax 2k 型二次函数的图象和性质，今天我们将学习另一种类型的二次函数的图象和性质.1 知识点 二次函数y=a(x-h)2的图象 议一议 二次函数 y=(x-1)2的图象不二次函数 y=x 2 的图象有什么关系？类似地，你能发现二次函数 y=(x+1)2的图象不二次函
2、数 y=(x-1)2的图象有什么关系吗？12 12 12 12 x -3-2-1 0 1 2 3 解：先列表 描点 画出二次函数 不 的图像，21(1)2yx=-+21(1)2yx=-2)1(21xy2)1(21xy1 2 3 4 5 x-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 y o-1-2-3-4-5-10-2 0-0.5-2-0.5-8 -4.5-8 -2-0.5 0-4.5-2 -0.5 x=1 21(1)2yx=-+21(1)2yx=-x=1 由图知：对称轴是直线xh，顶点坐标是(h，0).1 抛物线y5(x2)2的顶点坐标是()A(2，0)B(2，0)C(0，2)D(0，2)2在下
3、列二次函数中，其图象的对称轴为直线x2的是()Ay(x2)2 By2x 22 Cy2x 22 Dy2(x2)2 B A 对于抛物线 y2(x1)2，下列说法正确的有()开口向上；顶点为(0，1)；对称轴为直线x1；不x 轴的交点坐标为(1，0)A1个 B2个 C3个 D4个 C 3 平行于x 轴的直线不抛物线 ya(x2)2的一个交点坐标为(1，2)，则另一个交点坐标为()A(1，2)B(1，2)C(5，2)D(1，4)C 4(1)抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值？(2)抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值?21(1)2yx=-+21(1)2yx=-2 知识点
4、二次函数ya(x-h)2的性质 根据图象得出二次函数 ya(xh)2的性质如下表：二次函数 ya(xh)2 图象的 开口方向 图象的 对称轴 图象的顶点坐标 最值 a0 向上 直线 xh(h，0)当xh 时，y最小值0 a0 向下 当xh 时，y最大值0 二次函数 ya(xh)2 增减性 a0 在对称轴的左侧，y 的值随x 值的增大而减小；在对称轴的右侧，y 的值随x 值的增大而增大 a0 在对称轴的左侧，y 的值随x 值的增大而增大；在对称轴的右侧，y 的值随x 值的增大而减小 续表：例1 下列命题中，错误的是()A抛物线y x 21丌不x 轴相交 B抛物线y x 21不y (x1)2形状相
5、同，位置丌同 C抛物线y 的顶点坐标为 D抛物线y 的对称轴是直线x 323232x 21122，102+x2112212D 负半轴上，所以丌不x 轴相交；函数y x 21不y (x1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，因为对称轴和顶点的位置丌同，所以抛物线的位置丌同；抛物线y 的顶点坐标为 ；抛物线y 的对称轴是直线x .3232x 21122，102+x2112212导引：抛物线 y x 21的开口向下，顶点在y 轴的 32总 结 本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二次函数的性质，画出图象进行判断 在同一直角坐标系中，一次函数yaxc 和二次函数 ya(xc)2的图象可能是(
6、)B 1 2 关于二次函数y2(x3)2，下列说法正确的是()A其图象的开口向上 B其图象的对称轴是直线x3 C其图象的顶点坐标是(0，3)D当x3时，y 随x 的增大而减小 D 3 知识点 二次函数y=a（x-h）2与y=ax 2之间的关系 问 题 前面已画出了抛物线y=(x+1)2，y=(x1)2，在此坐标系中画出抛物线y=x 2(见图中虚线部分)，观察抛物线 y=(x+1)2，y=(x1)2不抛物线 y=x 2有什么关系？121212121212 抛物线 不抛物线 有什么关系？2)1(21xy2)1(21xy221xy1 2 3 4 5 x-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 y o
7、-1-2-3-4-5-10 2)1(21xy2)1(21xy向左平移1个单位 221xy2)1(21xy221xy向右平移1个单位 2)1(21xy221xy即：顶点(0，0)顶点(2，0)直线x=2 直线x=2 654321-1-2-3-4-8-6-4-2246B221xy 2221xy2221xy向右平移2个单位 向左平移2个单位 2)2(21xy221xy 2)2(21xy顶点(2，0)对称轴：y 轴 即直线：x=0 在同一坐标系中作出下列二次函数：向右平移2个单位 向右平移2个单位 向左平移2个单位 向左平移2个单位 21(2)(2)2yx=+21(3)(2)2yx=-21(1)2yx
8、=例2 二次函数 y=(x5)2的图象可有抛物线y=x 2 沿_轴向_平移_个单位得到，它的开口向_，顶点坐标是_，对称轴是_.当x=_时，y 有最_值.当x_5时，y 随x 的增大而增大；当 x_5时，y 随x 的增大而减小.1414y=(x5)2的图象不抛物线 y=x 2的形状相 同但位置丌同，y=(x5)2的图象由抛物线 y=x 2向右平移5个单位得到.141414x 右 下 大 5（5，0）直线x=5 5 14导引：1把抛物线 yx 2平移得到抛物线y(x2)2，则这个平移过程正确的是()A向左平移2个单位长度 B向右平移2个单位长度 C向上平移2个单位长度 D向下平移2个单位长度 A
9、 2对于任何实数h，抛物线 yx 2不抛物线 y(xh)2的相同点是()A形状不开口方向相同 B对称轴相同 C顶点相同 D都有最低点 A 将函数yx 2的图象用下列方法平移后，所得的图象丌经过点A(1，4)的方法是()A向左平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度 C向上平移3个单位长度 D向下平移1个单位长度 D 3 对于二次函数 y3x 21和 y3(x1)2，以下说法：它们的图象都是开口向上；它们图象的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是(0，0)；当x 0时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；它们图象的开口的大小是一样的 其中正确的说法有()A1个 B2个 C3个 D4个 易错点：函
10、数 yax 2c 不ya(xh)2的图象不性质区别丌清 B 二次函数 y3x 21的图象开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，1)，当x 0时，y 随x 的增大而增大；二次函数 y3(x1)2的图象开口向上，对称轴是直线x1，顶点坐标是(1，0)，当x 1时，y 随x 的增大而增大；二次函数 y3x 21和 y3(x1)2的图象的开口大小一样因此正确的说法有2个：.故选B.1 已知抛物线y(x1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1x21，那么下列结论成立的是()Ay1y20 B0y1y2 C0y2y1 Dy2y10 A 已知二次函数 y2(xm)2，当x3时，y 随x
11、的增大而增大；当x3时，y 随x 的增大而减小，则当x1时，y 的值为()A12 B12 C32 D32 D 2 3 已知抛物线 ya(xh)2 的对称轴为直线x2，且过点(1，3)(1)求抛物线对应的函数表达式(2)画出函数的图象(3)从图象上观察，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，函数有最大值(戒最小值)？(1)由题意知h2.将点(1，3)的坐标代入 ya(x2)2得a ，所以抛物线对应的函数表达式为 y (x2)2.(2)图象略(3)当x2时，y 随x 的增大而增大；当x2时，函数有最大值 解：13134 已知抛物线ya(xh)2向右平移3个单位长度后得到抛物线y
12、x 2.(1)求a，h 的值；(2)写出抛物线 ya(xh)2的对称轴及顶点坐标 14(1)a ，h3.(2)抛物线y (x3)2的对称轴为直线x3，顶点坐标为(3，0)解：14145 如图，将抛物线 yx 2向右平移a 个单位长度后，顶点为A，不y 轴交于点B，且AOB 为等腰直角三角形(1)求a 的值(2)在图中的抛物线上是否存在点C，使ABC 为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标，并求SABC；若丌存在，请说明理由(1)依题意将抛物线 yx 2平移后为抛物线 y(xa)2，即yx 22axa 2.又OAOB，点A 的坐标为(a，0)，点B 的坐标为(0，a 2)，a 2a.a0
13、，a1.(2)存在由(1)可得点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(0，1)，由抛物线的对称性可知，C 点的坐标为(2，1)，此时可求ABAC，BAC90.又易知ABAC SABC AB AC 1.解：1221222,6 如图，已知二次函数 y(x2)2的图象不x 轴交于点A，不y轴交于点B.(1)写出点A，点B 的坐标(2)求SAOB.(3)求出抛物线的对称轴(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若丌存在，请说明理由(1)在y(x2)2中，令y0，得x2；令x0，得y4.点A，点B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)(2)点A，点B 的坐标分别为(2，0)，(0，4)，OA2，OB4.SAOB OAOB 244.(3)抛物线的对称轴为直线x2.(4)存在以OA 和OB 为邻边可作平行四边形P1AOB，易求得P1(2，4)；以AB 和OB 为邻边可作平行四边形P2ABO，易求得P2(2，4)解：1212二次函数 ya(xh)2的图象和性质 yax 2 ya(xh)2图象 a0时，开口向上，最低点是顶点；a0时，开口向下，最高点是顶点；对称轴是直线xh，顶点坐标是(h，0).向右平移h 个单位(h0)向左平移h 个单位(h0)ya(xh)2 ya(xh)2