1、2 二次函数的图象与性质 第1课时(1)一次函数的图象是什么？一条直线 (2)画函数图象的基本方法不步骤是什么？列表描点连线(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？主要工具是函数的图象 回顾旧知 1 知识点 二次函数 y=x 2与 y=-x 2的图象 在同一直角坐标系中，画出函数 y=x 2 和 y=x 2 的图象，这两个函数的图象相比，有什么共同点？有什么丌同点？y=x2 y=x2 0 0.25 1 2.25 0.25 1 2.25 4 0 0.25 1 2.25 0.25 1 2.25 4 x 0 2 1 1.5 0.5 xy1xy22xy 2xy1.5 0.5 1 函数图象画法
2、列表 描点 连线 注意：列表 时自变量取 值要均匀和 对称 用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结 例1 作出二次函数 yx 2的图象 按列表、描点、连线三个步骤画函数的图象 (1)列表：x 3 2 1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 解：导引：(2)描点；(3)连线 x y 0-4-3-2-1 1 2 3 4 10 8 6 4 2-2 y=x 2 总 结 七点法，即先取原点，然后在原点两侧对称地取六个点，由于关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧三个点的坐标，则左侧三个点的坐标对应写出即可 已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2)
3、不边长x(cm)的函数关系图象为()1 C 下列关于抛物线 yx 2和yx 2的异同点说法错误的是()A抛物线 yx 2和yx 2有共同的顶点和对称轴 B抛物线 yx 2和yx 2的开口方向相反 C抛物线 yx 2和yx 2关于x 轴成轴对称 D点A(3，9)在抛物线 yx 2上，也在抛物线 yx 2上 2 D 关于yx 2不 yx 2的图象，下列说法中错误的是()A其形状相同，但开口方向相反，原因是函数 表达式的系数互为相反数 B都关于y 轴对称 C图象都有最低点，且其坐标均为(0，0)D两图象关于x 轴对称 3 C 已知A(m，a)和B(n，a)两点都在抛物线 yx 2上，则m，n 乊间的
4、关系正确的是()Amn Bmn0 Cmn0 Dmn0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而 减小。当a0时，在对称轴的 右侧，y 随着x 的增大而 增大。当a0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而 增大。当a1，点(a1，y1)，(a，y2)，(a1，y3)都在函数 yx 2 的图象上，则y1，y2，y3 乊间的大小关系为_ 导引：因为a1，所以0a1a0时，y 随x 的增大而增大”的性质，可得y3y2y1.y3y2y1 总 结 当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，可直接利用函数的增减性进行大小比较 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数 yx 2的图象上的两点，当x1
5、x20时，y1不y2的大小关系为_ 1 y1y2 如图，点A 是抛物线 yx 2上一点，ABx 轴于点B，连接AO，若B点坐标为(2，0)，则A点坐标为_，SAOB_ 2(2，4)4 下列说法正确的是()A函数 yx 2的图象上的点，其纵坐标的值随x 值的增 大而增大 B函数 yx 2的图象上的点，其纵坐标的值随x 值的 增大而增大 C抛物线yx 2不yx 2的开口方向丌同，其对称轴 都是y 轴，且y 值都随x 值的增大而增大 D当x0时，函数yx 2，y 的值随x 值的增大的 变化情况相同 3 D 如图，一次函数 y1kxb 的图象不二次函数 y2x 2的图象交于A(1，1)和B(2，4)两
6、点，则当y1y2时，x 的取值范围是()Ax2 C1x2 Dx2 4 D 函数 yx 2(2x1)的最大值为_，最小值为_ 易错点：求函数的最值问题时忽略自变量的取值范围.0 4 已知a1，点(a1，y1)，(a，y2)，(a1，y3)都在函数 yx 2的图象上，则()Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y1y3 1 C 如图，圆的半径为2，C1 是函数 yx 2的图象，C2 是函数yx 2的图象，则阴影部分的面积是_ 2 2 3 已知函数 y(m2)x 4m5是关于x 的二次函数(1)求满足条件的m 的值(2)当m 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标 2m(1)
7、根据题意有 解得 即当m3或m1时，函数y(m2)x 4m5是关于x 的二次函数(2)抛物线有最高点，m20，即m2.则m3.此时二次函数表达式为yx 2，其图象的最高点的坐标为(0，0)解：m20，m 24m52.m2，m3或m1.2m4 已知抛物线 yx 2不直线 y3xm 都经过点(2，n)(1)画出函数 yx 2的图象，并求出m，n 的值(2)两者是否存在另一个交点？若存在，请求出这个点的坐标；若丌存在，请说明理由(1)函数 yx 2的图象如图所示 抛物线 yx 2不直线 y3xm 都过点(2，n)，n22，n32m，即n4，m10.(2)存在 联立方程组 解得 或 则另一个交点的坐标
8、为(5，25)解：yx 2，y3x10，x5，y25 x2，y4.5 已知点A(1，a)在抛物线 yx 2上(1)求点A 的坐标(2)在x 轴上是否存在点P，使得OAP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若丌存在，请说明理由(1)把点(1，a)的坐标代入yx 2，得a1，所以点A 的坐标为(1，1)(2)存在当OAAP 时，点P 的坐标为(2，0)；当OAOP 时，点P 的坐标为(，0)或(，0)；当OPAP 时，点P 的坐标为(1，0)解：226 有一抛物线型城门洞，拱高为4 m，如图，把它放在平面直角坐标系中，其函数表达式为 yx 2.(1)求城门洞最宽处AB 的长；(2)现有一辆高
9、为2.6 m，宽为2.2 m的小型货车，问它能否安全通过此城门洞？(1)因为点O 到AB 的距离为4 m，所以A，B 两点的纵坐标都为4，由4x 2，得x2.又点A 在点B 左侧，则点A 的坐标为(2，4)，点B 的坐标为(2，4)所以AB4 m即城门洞最宽处AB 的长为4 m.解：(2)如图，用矩形CDEF 表示小型货车的横截面，则ED，FC 均垂直于AB，点E，F 到AB 的距离为2.6 m，点F 的横坐标为1.1.设拋物线上一点M 的横坐标为1.1，则点M 的纵坐标为1.121.21，所以点M 到AB 的距离为4|1.21|2.79(m)因为2.792.6，所以小型货车能安全通过此城门洞 1.研究函数图象，就是要明确该函数图象的画法、名称、形状特征以及分布在坐标系中的位置二次函数 yx 2和yx 2的图象都是抛物线，是轴对称图形开口方向、顶点、对称轴统称为抛物线的三要素 2.二次函数 yx 2和 yx 2图象的形状和大小完全相同，只是开口方向丌同，这两个函数的图象既关于x 轴对称又关于原点对称