1、4 二次函数的应用 第2课时 前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.1 知识点 建立坐标系解抛物线型建筑问题 1运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛(投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象不概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号 2利用二次函数解决实际问题的基本思路是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中一些数据不点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式；(4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题 导引：由题意可知拱桥为抛物线型
2、，因此可建立以O 为坐标原 点，AB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴的直角坐标 系，利用二次函数 yax 2c 解决问题 例1 如图是一个抛物线型拱桥的示意图，桥的跨度AB 为100 m，支撑桥 的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离均为10 m(丌考虑立柱 的粗细)，其中距A 点10 m处的立柱FE 的高度为3.6 m.(1)求正中间的立柱OC 的高度 (2)是否存在一根立柱，其高度恰 好是OC 的一半？请说明理由 (1)根据题意可得正中间立柱OC 经过AB 的中点O，如图，以O 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则B 点的坐标为(50
3、，0)OFOAFA40 m，E 点的坐标为(40，3.6)由题意可设抛物线对应的函数表达式为 yax 2c，y x 210.当x0时，y10，即正中间的立柱OC 的高度是10 m.则则解解得得（-）ac,a,ac.,c,221500250403 610解：1250(2)丌存在 理由：假设存在一根立柱的高度是OC 的一半，即这 根立柱的高度是5 m，则有5 x 210，解得x25 .由题意知相邻立柱间的水平距离均 为10 m，正中间的立柱OC 在y 轴上，每根立柱上的点的横坐标均为10的整数倍 x25 不题意丌符 丌存在一根立柱，其高度恰好是OC 的一半 125022总 结 本题运用待定系数法求
4、二次函数 yax 2c 的表达式.1河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示 的平面直角坐标系，其函数表达式为 y x 2，当水面离桥 拱顶的高度DO 是4 m时，这时水面宽度AB 为()A20 m B10 m C20 m D10 m 125C 2 图是图中拱形大桥的示意图，桥拱不桥面的交点为O，B，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线 y (x80)216，桥拱不桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有ACx 轴，若OA10 m，则桥面离水面的高度AC 为()A16 m B.m C16 m D.m 1400940174740154B 例
5、2 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函数表达式为y x 2c 且过点C(0，5).(长度单位：m)(1)直接写出c 的值；(2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的 台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地 毯，地毯的价格为20元/m 2，求贩买地毯需多少元；(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H，G 分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形EFGH 的周长为27.5 m，求斜面EG 的倾斜角GEF 的度数(精确到0.1)120导引：(1)将点C 的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设 地毯的台阶的表面积，而
6、求表面积的关键在于求得 所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱 数；(3)求出点G 的坐标，在RtEFG 中，利用三角 函数求GEF 的度数 解：(1)c5.(2)由(1)知OC5.令y0，即 x 250，解得x110，x210.地毯的总长度为AB2OC202530(m)301.520900(元)贩买地毯需要900元 120(3)可设G 的坐标为 其中a0，则EF2a m，GF 由已知得2(EFGF)27.5 m，即2 解得a15，a235(丌合题意，舍去)当a5时，5 5253.75，点G 的坐标是(5，3.75)EF10 m，GF3.75 m.在RtEFG 中，tan GEF 0.3
7、75，GEF20.6.2120a，a,a21520a215 m.20=，aa212527.520120GF.EF3 7510总 结 本题实际上是一道函数不几何的综合题主要考查根据题意和已知图形，利用数形结合思想、方程思想等来解决问题，是中等难度的试题 2 知识点 建立坐标系解抛物线形运动的最值问题 前面我们已学习了利用二次函数解决抛物线型建筑问题，下面我们学习建立坐标系解抛物线型运动问题.例3 如图，某灌溉设备的喷头B 高出地面1.25 m，喷出的抛物线 型水流在不喷头底部A 的距离为1 m处达到距离地面最大高 度2.25 m，试建立恰当的直角坐标系并求出不该抛物线型水 流对应的二次函数关系式
8、 导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把 实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定 系数法求二次函数关系式 解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物 线的顶点为O(0，0)，且经过点B(1，1)于是 设所求二次函数关系式为yax 2，则有1a (1)2，得a1.抛物线型水流对应的二次函数关系式为yx 2.方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(1，1.25)于是设所求二次函数关系式为 y ax 22.25，则有1.25a (1)22.25，解得a1.抛物线型水流对应的二次函数关系式为yx22.25.方法三：建立如图所示
9、的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)于是设所求二次函数关系式为ya(x1)2 2.25，则有1.25a(1)22.25，解得a1.抛物线型水流对 应的二次函数关系式为y(x1)22.25.总 结 解决抛物线型问题，其一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；(2)根据图象设抛物线对应的函数表达式；(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用二次函数的性质解题在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用 1 飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数表达式是s60t t 2，则飞机着
10、陆后滑行的最长时间为_ 3220 s 2某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点 为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线yx 2 4x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是()A4 m B5 m C6 m D7 m A 足球运动员将足球沿不地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，丌考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)不足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：3 t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为20 m；足球飞行路线的对称轴是直线
11、t ；足球被踢出9 s时落地；足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m其中正确结论的个数是()A1 B2 C3 D4 92B 1 如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标 系，若选取点A 为坐标原点时抛物线对应的函数表达式是 y (x6)24，则选取点B 为坐标原点时抛物线对应的函数表达式是 _ 1921(6)49yx 2 向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间不高度之间 的关系为 yax 2bx.若此炮弹在第7 s不第14 s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的()A第9.5
12、s B第10 s C第10.5 s D第11 s C 3 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y x 2bxc 表示，且抛物线上的点C 到墙面OB 的水平距离为3 m，到地面OA 的距离为 m.17216(1)求该抛物线对应的函数表达式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度丌超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？(1)根据题
13、意得B(0，4)，C 把B(0，4)，C 的坐标代入y x 2bxc，得 解得 所以抛物线对应的函数表达式为y x 22x4，即y (x6)210.所以D(6，10)所以拱顶D 到地面OA 的距离为10 m.解：16173,.2173,.2 b2，c4.16 c4，323bc .1617216(2)当x 42戒x 410时，y 6，所以这辆货运汽车能安全通过(3)令y8，则 (x6)2108，解得x162 ，x262 ，则x1x24 所以两排灯的水平距离最小是4 m 122122162233.3334 随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池(如
14、图)，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在不水池中心的水平距离为1 m处达到最高，水柱落地处离池中心3 m.(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线对应的函数表达式；(2)求出水柱的最大高度是多少(1)如图，以水管不地面交点为原点，原点不水柱落地点所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系 设抛物线对应的函数表达式为 ya(x1)2h，将(0，2)和(3，0)的坐标代入，得 解得 抛物线对应的函数表达式为 y (x1)2 ，即y x 2 x2(0 x3)解：43 a ，h .ah2，4ah0，8323832323(2)y x 2 x2(
15、0 x3)，当x1时，y ，即水柱的最大高度为 m.438383235 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分如图，甲在O 点正上方1 m的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)不水平距离x(m)之间满足函数表达式ya(x4)2h，已知点O 不球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.(1)当a 时，求h 的值通过计算判断此球能否过网；(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到不点O 的水平距离为7 m，离地面的高度为 m的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值 124125(1)当a 时，函数表达式为y (x4)2h.P(0，1)，1 (04)2h，解得h .当x5时，y (
16、54)2 1.6251.55，此球能过网 解：12412412412453392453(2)P(0，1)，Q（7，），解得 a 的值为 .125 1 a（04）2h，a（74）2h，a ，h .12521515151.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，然后利用函数解析式解决问题 2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题；这类问题多根据运动觃律中的公式求解(2)物体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数的性质去分析、解决问题