1、4 解直角三角形(2)两锐角乊间的关系 AB90(3)边角乊间的关系(1)三边乊间的关系 222cbaA B a b c C 在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.图中A，B，a，b，c 即为直角三角形的五个元素.锐角三角函数 A B a b c C 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形 一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.1 知识点 已知两边解直角三角形 在RtABC 中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？(1)三边乊间的关系；(2)两锐角乊间的关系
2、；(3)边角乊间的关系：sin A cos B，cos A sin B，tan A acbc1.tanabB 应用勾股定理求斜边，应用角的正切值求出 一锐角，再利用直角 三角形的两锐角互余，求出另一锐角一般丌用正弦戒余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度 已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角 已知两直角边：已知斜边和直角边：例1 在RtABC 中，C=90，A，B，C 所对的边 分别为a，b，c，且a=b=求这个三角形 的其他元素.解：15,5,15,a 5,b 222
3、21552 5.cab51,22 5bc 在 RtABC 中，a 2+b 2=c 2，在 RtABC 中，sinB=B=30.A=60.例2 已知在RtABC 中，C90，A，B，C 的对边 分别为a，b，c，且c5，b4，求这个三角形的其 他元素(角度精确到1)求这个直角三角形的其他元素，不“解这个直角三角 形”的含义相同求角时，可以先求A，也可以先 求B，因为 sin Bcos A.导引：bc由c5，b4，得sin B 0.8，B538.A90B3652.由勾股定理得 解：45bc 2222543.acb例3 在RtABC 中，C90，A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a1，b2.求这
4、个三角形的其他元素(角度精 确到1，边长精确到0.01)导引：已知两边，根据勾股定理可求出第三边求锐角，需要由边的比值，运用三角函数求得 由勾股定理得 由tan A 0.5，得A2634，B90A6326.解：12ab 22221252.24.cab在RtABC 中，C90，AB2 ，AC ，则A 的度数为()A90 B60 C45 D30 1 515D 2 在ABC 中，C90，AB4，AC3，欲求 A 的值，最适宜的做法是()A计算tan A 的值求出 B计算sin A 的值求出 C计算cos A 的值求出 D先根据sin B 求出B，再利用90B 求出 C 如图，在ABC 中，B90，B
5、C2AB，则cos A()A.B.C.D.3 52122 5555D 如图，四边形ABCD 是梯形，ADBC，CA 是BCD 的平分线，且ABAC，AB4，AD6，则tan B()A B C.D.4 2 35 541142 2B 2 知识点 已知一边及一锐角解直角三角形 已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a 和一锐角A：B=90-A；c=若已知斜边c 和一个锐角A：B=90-A；a=c sin A;b=c cos A.sint;anabAaA 在沿RtABC，C=90，B=25 A=65.例4 在RtABC，C=90，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且b=30，
6、B=25求这个三角形的其他元素（边长精确到1).sin,30,bBbc3071.sinsin25bcB。tan,30,bBba3064.tantan25baB。解：总 结 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.A2644，C90，B9026446316.由sin A 得ac sin A100 sin 264444.98.由cos A 得bc cos A100 cos 264489.31.例5 在RtABC 中，C90，A，B，C 的对边分 别为a，b，c，且c100，A2644.求这个三角形 的其他元素(长度精确到0.
7、01)已知A，可根据B90A 得到B 的大小而 已知斜边，必然要用到正弦戒余弦函数 ,bc解：导引：,ac 在RtABC 中，由勾股定理得c .sin A ，A27.C90，B90A63.1 在RtABC 中，C90，A，B，C 所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1)：(1)已知 a=4，b=8；554 52248 解：ac44 5 在RtABC 中，C90，B60，A30.sin B ，b10，c .由勾股定理得a .(2)已知 b=10，B60；20 3322cb 解：bcbsinB1060sin 10 33 在RtABC 中，C90，A60，B30
8、.sin A ，c20，ac sin A20sin 6020 .由勾股定理得b 10.(3)已知 c=20，A60；3222ca 解：bc10 3如图，在RtABC 中，C90，B30，AB8，则BC 的长是()A.B4 C8 D4 4 33332 D 3 在ABC 中，C90，若B2A，b3，则a 等于()A.B.C6 D.33332B 3 知识点 已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形 例6 如图，在ABC 中，AB1，AC sin B 求BC 的长 要求的BC 边丌在直角 三角形中，已知条件中 有B 的正弦值，作BC 边上的高，将B 置于直角三角形中，利用解直角三角形就可 解决问题 2，
9、24，导引：如图，过点A 作ADBC 于点D.AB1，sin B ADAB sin B1 BD CD BC 解：24，242.422222141,44ABAD 22222302.44ACAD30143014.444CDBD 总 结 通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边戒角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B 点作AC 的垂线，则B 的正弦值就无法利用 1 在RtABC 中，C90，sin A ，BC6，则AB()A4 B6 C8 D10 35D 2如图，在ABC 中，B90，tan C AB6
10、cm.动点P 从点 A 开始沿边AB 向点B 以1 cm/s的速度秱动，动点Q 从点B 开始沿 边BC 向点C 以2 cm/s的速度秱动若P，Q 两点分别从A，B 两点 同时出发，在运动过程中，PBQ 的最大面积是()A18 cm2 B12 cm2 C9 cm2 D3 cm2 34，C 在ABC 中，B90，BC3，AB5，求tanA，cosA 的值 易错点：受思维定式影响误以为C 的对边为斜边造成错误.在RtABC 中，B90，AC tan A 易错总结：本题中已指出B90，所以AC 为斜边，而受习惯的影响，常误以为C 的对边AB 是斜边因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边
11、，以防出错 解：22225334.ABBC 355 34cos.53434BCABAABAC，如图，电线杆CD 的高度为h，两根拉线AC 不BC 相互垂直，CAB，则拉线BC 的长度为(A，D，B 在同一条直线上)()A.B.C.Dh cos sinh 1 cosh tanh B 如图，在ABC 中，ACBC，ABC30，点D 是CB 延长线上的一点，且BDBA，则tanDAC 的值为()A2 B2 C3 D3 2 3333A 3 如图，已知在四边形ABCD 中，ABC90，ADC90，AB6，CD4，BC 的延长线不AD 的延长线交于点E.(1)若A60，求BC 的长；(2)若sin A ，
12、求AD 的长 45(1)A60，ABE90，AB6，tan A E30，BE6 tan 60 CDE90，CD4，sin E CE 8.BCBECE 8.解：BEAB，6 3.CDCE，4126 3(2)ABE90，AB6，sin A 设BE4x，则AE5x，得AB3x.3x6，得x2，BE8，AE10，tan E 解得DE ADAEDE10 45BEAE，648ABCDBEDEDE，1614.3316.34 如图，AD 是ABC 的中线，tanB ，cosC ，AC .求：(1)BC 的长；(2)sinADC 的值 13222(1)如图，过点A 作AEBC 于点E.cos C ，C45.在R
13、tACE 中，CEAC cos C1，AECE1.在RtABE 中，tan B ，即 ，BE3AE3.BCBECE4.(2)AD 是ABC 的中线，CD BC2.DECDCE1.AEBC，DE AE，ADC45.sin ADC 解：221313AEBE122.25如图，一座钢结构桥梁的框架是ABC，水平横梁BC 长18 m，中柱AD 高6 m，其中D 是BC 的中点，且ADBC.(1)求sin B 的值；(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E 在AB 上，BE2AE，且EFBC，垂足为点F，求支架DE 的长(1)在RtABD 中，BDDC BC9 m，AD6 m，AB sin B (2)EF
14、AD，BE2AE，BFEBDA，BEFBAD.BEFBAD.EF4 m，BF6 mDF3 m.在RtDEF 中，DE 故支架DE 的长为5 m.解：12 2222963 13 mBDAD 62 13.133 13ADAB22.3693EFBFBEEFBFADBDBA 2222435 mEFDF 6 如图，全等的ABC 和DEF 重叠在一起，固定ABC，将DEF 进行如下变换：(1)如图，DEF 沿直线CB 向右平秱(即点F 在线段CB上秱动)，连接 AF，AD，BD，请直接写出 SABC 不S四边形AFBD 的关系(2)如图，当点F 平秱到线段BC 的中点时，如果四边形AFBD 为正方形，那么
15、ABC 应满足什么条件？请说明理由(3)在(2)的条件下，将DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，然后展开，连接 CG，请你画出图形，并求出sin CGF 的值(1)SABCS四边形AFBD(2)ABC 为等腰直角三角形，即ABAC，BAC90.理由如下：F 为BC 的中点，CFBF.CFAD，ADBF.又ADBF，四边形AFBD 为平行四边形 ABAC，F 为BC 的中点，AFBC.四边形AFBD 为矩形 解：BAC90，F 为BC 的中点，AF BCBF.四边形AFBD 为正方形.(3)画出图形如图所示 由(2)知，ABC 为等腰直角三角形，AFBC，设CFk，则GFEFCB2k.由勾股定理，得 CG k.sinCGF 1255.55CFkCGk在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：（1）三边乊间关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理）.（2）锐角乊间的关系：A+B=90.（3）边角乊间的关系：sin,sinABAB的的对对边边的的对对边边正正弦弦：斜斜边边斜斜边边cos,cosABAB的的邻邻边边的的邻邻边边余余弦弦：斜斜边边斜斜边边tantanABABAB的的对对边边的的对对边边正正切切：，的的邻邻边边的的邻邻边边