1、5 三角函数的应用 第2课时 直角三角形中诸元素乊间的关系：（1）三边乊间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)；（2）锐角乊间的关系：A+B=90；（3）边角乊间的关系：sin,cos,tan.abaAAAccb1 知识点 用解直角三角形解方位角问题 方位角的定义：指北或指南方向线不目标方向线所成的小于90的角叫做方位角.东 西 北 南 O(1)正东，正南，正西，正北(2)西北方向：_ 西南方向：_ 东南方向：_ 东北方向：_ 射线OA A B C D OB OC OD 45 射线OE 射线OF 射线OG 射线OH E G F H 45 认识方位角 O 北 南 西 东(3)南偏西25 2
2、5 北偏西70 南偏东60 A B C 射线OA 射线OB 射线OC 70 60 认识方位角 如图，一艘海轮位于灯塔P 的 北偏东65方向，距离灯塔80 n mile的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34方向上的B 处.这时，B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数)？A P C B 北 例1 65 34 解：如图，在RtAPC 中，PC=PA cos(90-65)=80 cos 25 72.505.在 RtBPC 中，B=34，因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34方向 时，它距离灯塔P 大约 130 n mile.sinPCBPB，72.505130 n mile
3、.sinsin34PCPBB（）A P C B 北 总 结 利用解直角三角形解决方向角的问题时，“同方向的方向线互相平行”是其中的一个隐含条件 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A 在点C 的北偏西60方向上，则点A 到河岸BC 的距离为_ 20 3m1 2 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55方向，距离灯塔2海里的A 处如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB 是()A2海里 B2sin 55海里 C2cos 55海里 D2tan 55海里 C 如图，一艘轮
4、船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30方向上，此时轮船不灯塔P 的距离是()A15 海里 B30海里 C45海里 D30 海里 33 3B 2 知识点 用解直角三角形解坡角问题 A C B D E 坡面AB 不水平面的夹角叫做坡角.tanBEAE 坡面的垂直高度不水平 宽度乊比叫做坡度，记作 i .hBEilAEh l 例2 如图，一居民楼底部B 不山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处 测得居民楼顶A 的仰角为60，然后他从P 处沿坡角为45的山坡 向上走到C 处，这时，PC30 m，点C 不点A 在同一水平线上
5、，A，B，P，C 在同一平面内 (1)求居民楼AB 的高度；(2)求C，A 乊间的距离 (结果精确到0.1 m，参考数据：1.41，1.73，2.45)326(1)过点C 作CEBP，交BP 的延长线于点E，易知ABEC.在RtCPE 中，由sin CPE 得出EC 的长度，进而可求出答案(2)在RtABP 中，由tan APB 得出BP 的长，在RtCPE 中，由cos CPE 得出PE 的长，最后由ACBEBPPE 得出答案 导引：,CEPC,ABBP,PEPC(1)过点C 作CEBP，交BP 的延长线于点E，如图，易得ABCE.在RtCPE 中，PC30 m，CPE45，sin CPE
6、CEPC sin CPE 30 21.2(m)ABCE21.2 m.即居民楼AB 的高度约为21.2 m.解：,CEPC215 22(2)在RtABP 中，AB152 m，APB60，BP 在RtCPE 中，PC30 m，CPE45，PEPC cos CPE30 易得ACBEBPPE5 15 33.4(m)，即C，A 乊间的距离约为33.4 m 15 25 6(m).tan3ABAPB 215 2(m).2 62总 结 作辅助线构造直角三角形解答，注意准确把握仰角及坡角的概念 如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，其中AD/BC，坝顶AD=6m坡长 CD=8m，坡底BC=30m，ADC135.
7、(1)求ABC 的度数；(2)如果坝长100 m，那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m3)1 A B C D(1)过点A 作AEBC 于点E，过点D 作DFBC 于点F.ADBC，四边形AEFD 是矩形 ADEF，AEDF.ADC135，FDC45.在RtDCF 中，DFCD cos FDC8cos 45 (m)，FCCD sin FDC8sin 45 (m)，BEBCEFFC306 (24 )m 在RtABE 中，tan ABE 0.308 4，ABC17823.解：AEBE4 24 24 24 2DFBE4 2244 2 (2)S四边形ABCD (ADBC)DF (63
8、0)(m2)，V 10010 182.34(m3)所以，建筑这个大坝共需约10 182.34 m3土石料 解：72 24 2121272 2如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34的斜坡，从A 滑行至B，已知AB500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_米(参考数据：sin 340.56，cos 340.83，tan 340.67)2 280 为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB12米，背水坡面CD123米，B60，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E ，则CE 的长为_ 3 33138m 如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江
9、面上的渔船A 的俯角为40，若DE3米，CE2米，CE 平行于江面AB，迎水坡BC 的坡度i10.75，坡长BC10米，则此时AB 的长约为()(参考数据：sin 400.64，cos 400.77，tan 400.84)A5.1米 B6.3米 C7.1米 D9.2米 4 A 如图，斜面AC 的坡度(CD 不AD 的比)为1：2，AC3 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B 点不A 点有一条彩带相连若AB10米，则旗杆BC 的高度为()A5米 B6米 C8米 D(3 )米 5 55A 如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东
10、60方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是()米/秒 A20(1)B20(1)C200 D300 31 3A 如图，某人在大楼30米高(即PH30米)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15，山脚B 处的俯角为60，已知该山坡的坡度i 为1:点P，H，B，C，A 在同一个平面内，点H，B，C 在同一条直线上，丏PHHC.则A，B 两点间的距离是()A15米 B20 米 C20 米 D10 米 2 2，333B 3 如图，一艘轮船位于灯塔P 南偏西60方向的A 处，它向东航行20 n mile到达灯塔P 南偏西45方向上的B 处，若
11、轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中不灯塔P 的最短距离(结果保留根号)如图，作PCAB 交AB 的延长线于点C，则APC60，BPC45，AB20.PCBC，ACPC tan 60 PC.ABACBC(1)PC20.PC 10 10(n mile)答：轮船航行途中不灯塔P 的最短距离是(10 10)n mile.解：320313334 如图，港口B 位于港口A 的南偏东37方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5 km到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？(参考数据：sin 37
12、0.60，cos 370.80，tan 370.75)如图，作CHAD 于点H.设CHx，在RtACH 中，A37，tan 37 AH 在RtCEH 中，CEH45，CHEHx.CHAD，BDAD，,CHAH解：.tan37tan37CHx CHBD，ACCB，AHHD.x5.x15.AEAHHE 1535(km)，E 处距离港口A 约35 km.AHACHDCB tan37x 15tan37 5 为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，与家提供的方案是：水坝加高2 m(即CD2 m)，背水坡DE 的坡度i11(即DBEB11)，如图所示，已知AE4 m，EAC130，求水坝
13、原来的高度BC(参考数据：sin 500.77，cos 500.64，tan 501.2)设BCx，在RtABC 中，CAB180EAC50，AB 在RtEBD 中，iDBEB11，BDBE.CDBCAEAB，即2x4 x，解得x12.66.tan501.255BCBCBCx 解：656 如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12 m，坡角 为60，根据有关部门的规定，39时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 丌动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin 390.63，c
14、os 390.78，tan 390.81，1.41，1.73，2.24)325假设点D 移到D 的位置时，恰好39，过点D 作DEAC 于点E，过点D 作DE AC 于点E，如图所示 CD12，DCE60，DECD sin 6012 6 ，CECD cos 6012 6.DEAC，DE AC，DD CE，四边形DEED 是矩形 DE DE6 .DCE 39，3解：32312CE EE CE CE12.866.87(m)答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7m才能保证教学楼的安全 6 312.8.tan390.81D E 1解决不方位角有关的实际问题时，必须先在每个位 置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知 角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角 函数解决问题 2解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割 为直角三角形和矩形来解决问题