1、1 锐角三角函数 第2课时 复习回顾 A 的对边不邻边的比叫做A 的正切，记作tan A，即tan A.abA B C A 的对边a 斜边c A 的邻边b 1 知识点 正 弦 正弦：如图，在RtABC 中，C90，A 的对 边不斜边的比叫做A 的正弦，记作sin A，即 sin A .ABCAB的的对对边边斜斜边边=例1 如图，在RtABC 中，B90，AC=200，sinA=0.6,求BC 的长.在RtABC 中，即 BC=2000.6=120.解：0.6200BC=sin,BCAAC=A B C 1把RtABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值()A丌变 B缩小为原来的 C
2、扩大为原来的3倍 D丌能确定 13A 2在RtABC 中，C90，AB13，AC5，则sin A 的值为()A.B.C.D.5121251213513B 3如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin 的值是()A.B.C.D.45354334C 2 知识点 余弦 余弦：如图，在RtABC 中，C90，A 的邻 边不斜边的比叫做A 的余弦，记作cos A，即cos A.AACAB的的邻邻边边斜斜边边=解：C90，AC12，BC5，AB sin A cos A 例2 如图，在RtABC 中，C 90，AC12，BC5，求sin A，cos A的值 导引：在RtABC 中，已知两
3、直角边长，可先用勾股定理求 斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A 的值 222212513.ACBC5,13BCAB 12.13ACAB 总 结 在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定要根据正弦和余弦的定义求解其中未知边的长度往往借助勾股定理迚行求解 例3 如图，在RtABC 中，C90，sin A BC40，求ABC 的周长和面积 已知BC40，求ABC 的周长，则还需要求出其他两边的长，借 助sin A 的值可求出AB 的长，再 利用勾股定理求出AC 的长即可，直角三角形的面积等于两直角边 长乘积的一半 导引：45，解：sin A AB BC40，sin A ，AB50.又
4、AC ABC 的周长为ABACBC120，ABC 的面积为 BCAC 4030600.2222504030,ABBC,BCAB45.sinBCA1212总 结 正弦的定义表达式sin A 可根据解题需要变形为 BCAB sin A 或AB 余弦的定义表达式cos A 也可变形为 ACAB cos A 或AB .BCABACABcosACAsinBCA1 如图，已知在RtABC 中，C 90，AB5，BC3，则cos B 的值是()A.B.C.D.43453435A 2如图，在RtABC 中，C90，AB13，BC12，则下列三角函数表示正确的是()A.B.C.D.12sin13A 12cos1
5、3A 5tan12A 12tan5B A 3已知在RtABC 中，C90，如果BC2，A，则AC 的长为()A2sin B2cos C2tan D.2tanD 4 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么 cos 的值是()A.B.C.D.43453435D 3 知识点 锐角三角函数的取值范围 锐角三角函数的取值范围：在RtABC 中，因为各边边长都是正数，且斜边边长 大于直角边边长，所以对于锐角A，有tan A0，0sin A1，0cos A1.例4 如图，在RtABC 中，C90，AC4，BC3，求A，B 的三角函数值 由已知AC 不BC 的长可确定A 不B 的正切，但要
6、确定A 不B 的正弦不余弦，根据定义必须确定 斜边AB 的长，这就需要先用勾股定理计算AB 的长 导引：在RtABC 中，C90，AC4，BC3，AB5.sin A cos A tan A sin B cos B tan B 解：3,5BCAB 4,5ACAB 3,4BCAC 4,5ACAB 3,5BCAB 4.3ACBC 总 结 求一个直角三角形中锐角的三角函数值时，若已知两边长，先根据勾股定理求第三边长，然后根 据概念直接求；若已知两边的比，则设辅助未知数表示出两边长，然 后再用方法求 1若 是锐角，sin 3m2，则m 的取值范围是()A.m1 B2m3 C0m1 Dm 2如果0A90，
7、并且cos A 是方程 (x0.35)0的一个根，那么cos A_ 232312x A 0.35 已知xcos (为锐角)满足方程2x 25x20，求cos 的值 易错点：忽视锐角的余弦值的取值范围.方程2x 25x20的解是x12，x2 0cos 1，cos 常见错解：方程2x 25x20的解是x12，x2 此时忽略了cos (为锐角)的取值范围是0cos 1，而错得cos 2或cos 1.2解：1.21,21.21如图，在RtABC 中，BAC90，ADBC 于点D，则下列结论丌正确的是()Asin B Bsin B Csin B Dsin B ADABACBCADACCDACC 2 在R
8、tABC 中，C90，若AB4，sin A ，则斜边上的高等于()A.B.C.D.1656425125482535B 3 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE.(1)求证：ABE DFA；(2)如果AD10，AB6，求sin EDF 的值(1)在矩形ABCD 中，BCAD，ADBC，B90，AEBDAF.DFAE，AEBC，AFD90B，AEAD.ABE DFA(AAS)证明：(2)由(1)知ABE DFA，ABDF6.在RtADF 中，AF EFAEAFADAF2.在RtDFE 中，DE sin EDF 228ADDF，解：2222622 1
9、0DFEF，210.102 10EFDE4 如图，在ABC 中，ACB90，sin A ，BC8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E.求：(1)线段CD 的长；(2)cosABE 的值 45(1)在ABC 中，ACB90，BC8，sin A AB10.D 是AB 的中点，CD AB5.(2)在RtABC 中，AB10，BC8，AC D 是AB 的中点，BD5，SBDCSADC.SBDC SABC，即 CD BE AC BC.BE 在RtBDE 中，cosDBE 即cosABE 4,5BCAB12解：226.ABBC121212126 824.2 55 24245,525
10、BEBD24.255 在ABC 中，A，B，C 的对边分别是a，b，c，其中a，b 是关于x 的一元二次方程x 2(c4)x4c80的两个根，且9c25a sin A.(1)试判断ABC 的形状；(2)求ABC 的三边长(1)a，b 是关于x 的一元二次方程x 2(c4)x4c80的两个根，abc4，ab4c8.a 2b 2(ab)22ab(c4)22(4c8)，即a 2b 2c 2.ABC 为直角三角形 (ab)2(ab)24ab(c4)24(4c8)c 28c 16，丌能确定(ab)2的值是否为0，丌能确定ab，即ABC 为直角三角形 解：(2)ABC 是直角三角形，sin A 将其代入9
11、c25a sin A，得9c25a 9c 225a 2.3c5a.c b 将b c 代入abc4，解得a6.b 68，c 610，即ABC 的三边长分别为6，8，10.ac,ac5.3a222254.33caaaa53a4,3a43536 如图，E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，BCE 沿BE 折叠得BFE，点F 落在边AD 上(1)求证：ABFDFE；(2)若sinDFE ，求tanEBC 的值 13(1)由题意可得ADCBFE90，ABF90AFB，DFE180BFEAFB90AFB.ABFDFE.ABFDFE.证明：(2)由折叠可得FBBC，EFEC.sinDFE13，即EF3DE.ABCDDEECDEEF4DE，DF ABFDFE，即FB 又FBBC，EFEC，tan EBC 解：1,3DEEF222 2.EFDEDE,EFFBDFAB312.23 22ECDEBCDE锐角三角函数定义：的的对对边边斜斜边边sin.AA 的的邻邻边边斜斜边边cos.AA A B C A 的对边a 斜边c A 的邻边b 锐角三角函数的取值范围：对于锐角A，有tan A0，0sin A1，0cos A1.