1、3.4.3空间角一、单选题(本大题共7小题,共35分。)1. 已知两个平面的法向量分别为,则这两个平面所成的二面角的平面角的大小为( )A. B. C. 或D. 2. 直三棱柱中,分别是的中点,则与所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 3. 已知二面角,其中平面的一个法向量,平面的一个法向量,则二面角的大小可能为( )A. B. C. 或D. 4. 已知向量,分别是直线l和l的方向向量,若,则直线l与l所成的角为( )A. 30B. 60C. 120D. 1505. 如图,在正方体中,是棱的中点,则异面直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 6. 如图,正方体中,的中点为
2、,的中点为,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 7. 已知三棱柱ABC-的底面边长和侧棱都相等,侧棱底面ABC,则直线与AC所成角的余弦值是( )A. B. -C. D. -二、多选题(本大题共1小题,共5.0分。在每小题有多项符合题目要求)8. 如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是,下列说法中正确的是( )A. B. C. 向量与的夹角是D. 与AC所成角的余弦值为三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)9. 在长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AA=1,则BC与平面BBDD所成角的正弦值为10. 在
3、底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC90,AD / BC,SA平面ABCD, SAABBC1,AD,则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是11. 如图,在长方体中,点E在棱AB上若二面角的大小为,则12. 如图,在长方体中,是的中点,点是上一点,动点在上底面上,且满足三棱锥的体积等于,则直线与所成角的正切值的最小值为.四、解答题(本大题共8小题,共96.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)13. (本小题12.0分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点(1)求|;(2)求直线EC与AF所成角的余弦值;(3)求二面角E-AF-
4、B的余弦值14. (本小题12.0分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点(1)求的长;(2)求的值15. (本小题12.0分)如图,直角三角形ABC中,,A=,ABC=,AB=2,E为线段BC上一点,且BE=BC,沿AC边上的中线BD将ABD折起到PBD的位置.(1)求证:PEBD;(2)当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.16. (本小题12.0分)如图,ABC中,AB=BC=4,ABC=90,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE(1
5、)证明:BC平面PBE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值17. (本小题12.0分)如图,在菱形ABCD中,且,E为AD的中点.将沿BE折起使,得到如图所示的四棱锥.()求证:平面平面ABC;()若P为AC的中点,求三棱锥的余弦值.18. (本小题12.0分)在三棱锥A-BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O为BD的中点,AO平面BCD,AO=2,E为AC中点(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;(2)若点F在BC上,满足BF=BC,设二面角F-DE-C的大小为,求sin的值19. (本小题12.0分)三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,CBB160,AB
6、AC,ABAC,BCAB12(1)求证:面ABC面BB1C1C;(2)在线段C1A1上是否存在一点M,使得二面角M-CB1-C1为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由20. (本小题12.0分)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点(1)求证:ACSD;(2)若SD平面PAC,求平面PAC与平面ACD的夹角大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE / 平面PAC.若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】A
7、B9.【答案】10.【答案】11.【答案】212.【答案】13.【答案】解:(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),(2),直线EC与AF所成角的余弦值为(3)平面ABCD的一个法向量为,设平面AEF的一个法向量为,令x=1,则y=2,z=-1,则由图知二面角E-AF-B为锐二面角,其余弦值为14.【答案】解:(1)以C为坐标原点,以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示:由题意得N(1,0,1),B(0,1,0),|=(2)依题意得A1(1
8、,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),C1(0,0,2)=(1,-1,2),=(0,1,2),=3|=,|=,cos,=15.【答案】(1)证明:取BD中点O,连接OE,PO,由已知得DC=PD=PB=BD=2,BC=2,OB=1,BE=且OBE=,OE=,+=OEBD,又PB=PD,O为BD的中点,所以POBD,又POOE=O,OE,PO面POE,所以BD平面POE,又PE面POE,所以BDPE(2)因为三棱锥P-BCD的体积最大,即P到平面BCD的距离最大,平面PBD平面BCD,PO平面BCD,所以OE,OB,OP两两垂直.以O为坐标原点,以OE、OB、OP所
9、在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B(0,1,0),P(0,0,),C(,-2,0),D(0,-1,0),E(,0,0)=(0,-1,),=(,-3,0),=(,1,0),=(,0,-)设平面PBC的法向量为,则,不妨令,得.设平面PDE的法向量为,则,则所以,即二面角C-PE-D的余弦值为.16.【答案】(1)证明:E,F分别为AB,AC边的中点,EFBC,ABC=90,EFBE,EFPE,又BEPE=E,BE、PE平面PBE,EF平面PBE,EFBC,BC平面PBE;(2)解:取BE的中点O,连接PO,由(1)知BC平面PBE,BC平面BCFE,平面PBE平面BC
10、FE,PB=BE=PE,POBE,又PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE,PO平面BCFE,过O作OMBC交CF于M,分别以OB,OM,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,),C(1,4,0),F(-1,2,0)=(1,4,-),=(-1,2,-),设平面PCF的法向量为=(x,y,z),由,取y=1,得=(-1,1,),结合图可知=(0,1,0)为平面PBE的一个法向量,cos=,平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值17.【答案】证明:()在图中,连接BD.四边形ABCD为菱形,A=,ABD是等边三角形.E为AD的中点,BEAE,BEDE.又AB=2,A
11、E=DE=1.在图中,AD=,+=.AEED.BCDE,BCBE,BCAE.又BEAE=E,AE,BE平面ABE.BC平面ABE.BC平面ABC,平面ABE平面ABC.解:()由(),知AEDE,AEBE.BEDE=E,BE,DE平面BCDE.AE平面BCDE.以E为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0),A(0,0,1),B(,0,0),C(,2,0),D(0,1,0).P为AC的中点,P(,1,).=(,-1,-),=(-,0,-).设平面PBD的一个法向量为=(x,y,z).由得令z=,得=(-1,-,).又平面BCD的一个
12、法向量为=(0,0,1).设二面角P-BD-C的大小为,由题意知该二面角得平面角为锐角.则=.二面角P-BD-C的余弦值为.18.【答案】解:(1)如图,连接OC,CB=CD,O为BD的中点,COBD以O为坐标原点,分别以OB,OC,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系BD=2,OB=OD=1,则OC=B(1,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0),D(-1,0,0),E是AC的中点,E(0,1,1),设直线AB与DE所成角为,则cos=,即直线AB与DE所成角的余弦值为;(2)BF=BC,设F(x,y,z),则(x-1,y,z)=(,0),F(,0),设平面DEF的一个法向量为
13、,由,取x1=-2,得;设平面DEC的一个法向量为,由,取x2=-2,得|cos|=sin19.【答案】(1)证明:取BC中点O,连AO,O,AB=AC,ABAC,BC=2,AO=1,AOBC,又BC=,=,BC,=,又=2,+=,AO,,面BB1C1C,面BB1C1C,AO面BB1C1C,AO面ABC,面ABC面BB1C1C.(2)解:由(1)可知OA,OB,OB1两两垂直,以O为坐标原点,分别以OB,OB1,OA所在直线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(-1,0,0),(0,0),设=,=(01),=(-1,0),=(1,0,1),=(1,0)
14、,=+=+=+=(-1+,,),设平面的法向量为=(x,y,z),则,即取x=3,则y=-,z=,故=(3,-,),又=(0,0,1)是面C1C的一个法向量,=,01,=.即存在一点M满足条件,且=.20.【答案】(1)证明:连BD,设AC交BD于O,由题意知SO平面ABCD以O为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系O-xyz如图设底面边长为a,则高于是,故OCSD从而ACSD;(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量,平面DAC的一个法向量设所求二面角为,为锐角,则,所求二面角的大小为30;(3)解:在棱SC上存在一点E使BE平面PAC由(2)知是平面PAC的一个法向量,且,设,则,而,即当SE:EC=2:1时,而BE不在平面PAC内,故BE平面PAC.