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3.4.3(第1课时)空间角 课时练习(含答案)2022-2023学年高二数学北师版(2019)选择性必修一

1、3.4.3空间角一、单选题(本大题共7小题,共35分。)1. 已知两个平面的法向量分别为,则这两个平面所成的二面角的平面角的大小为( )A. B. C. 或D. 2. 直三棱柱中,分别是的中点,则与所成的角的余弦值为( )A. B. C. D. 3. 已知二面角,其中平面的一个法向量,平面的一个法向量,则二面角的大小可能为( )A. B. C. 或D. 4. 已知向量,分别是直线l和l的方向向量,若,则直线l与l所成的角为( )A. 30B. 60C. 120D. 1505. 如图,在正方体中,是棱的中点,则异面直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 6. 如图,正方体中,的中点为

2、,的中点为,则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 7. 已知三棱柱ABC-的底面边长和侧棱都相等,侧棱底面ABC,则直线与AC所成角的余弦值是( )A. B. -C. D. -二、多选题(本大题共1小题,共5.0分。在每小题有多项符合题目要求)8. 如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是,下列说法中正确的是( )A. B. C. 向量与的夹角是D. 与AC所成角的余弦值为三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)9. 在长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AA=1,则BC与平面BBDD所成角的正弦值为10. 在

3、底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ABC90,AD / BC,SA平面ABCD, SAABBC1,AD,则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是11. 如图,在长方体中,点E在棱AB上若二面角的大小为,则12. 如图,在长方体中,是的中点,点是上一点,动点在上底面上,且满足三棱锥的体积等于,则直线与所成角的正切值的最小值为.四、解答题(本大题共8小题,共96.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)13. (本小题12.0分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,CD的中点(1)求|;(2)求直线EC与AF所成角的余弦值;(3)求二面角E-AF-

4、B的余弦值14. (本小题12.0分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点(1)求的长;(2)求的值15. (本小题12.0分)如图,直角三角形ABC中,,A=,ABC=,AB=2,E为线段BC上一点,且BE=BC,沿AC边上的中线BD将ABD折起到PBD的位置.(1)求证:PEBD;(2)当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.16. (本小题12.0分)如图,ABC中,AB=BC=4,ABC=90,E,F分别为AB,AC边的中点,以EF为折痕把AEF折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE(1

5、)证明:BC平面PBE;(2)求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值17. (本小题12.0分)如图,在菱形ABCD中,且,E为AD的中点.将沿BE折起使,得到如图所示的四棱锥.()求证:平面平面ABC;()若P为AC的中点,求三棱锥的余弦值.18. (本小题12.0分)在三棱锥A-BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O为BD的中点,AO平面BCD,AO=2,E为AC中点(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;(2)若点F在BC上,满足BF=BC,设二面角F-DE-C的大小为,求sin的值19. (本小题12.0分)三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,CBB160,AB

6、AC,ABAC,BCAB12(1)求证:面ABC面BB1C1C;(2)在线段C1A1上是否存在一点M,使得二面角M-CB1-C1为,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由20. (本小题12.0分)如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点(1)求证:ACSD;(2)若SD平面PAC,求平面PAC与平面ACD的夹角大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE / 平面PAC.若存在,求SEEC的值;若不存在,试说明理由1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】A

7、B9.【答案】10.【答案】11.【答案】212.【答案】13.【答案】解:(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),(2),直线EC与AF所成角的余弦值为(3)平面ABCD的一个法向量为,设平面AEF的一个法向量为,令x=1,则y=2,z=-1,则由图知二面角E-AF-B为锐二面角,其余弦值为14.【答案】解:(1)以C为坐标原点,以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,如图所示:由题意得N(1,0,1),B(0,1,0),|=(2)依题意得A1(1

8、,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),C1(0,0,2)=(1,-1,2),=(0,1,2),=3|=,|=,cos,=15.【答案】(1)证明:取BD中点O,连接OE,PO,由已知得DC=PD=PB=BD=2,BC=2,OB=1,BE=且OBE=,OE=,+=OEBD,又PB=PD,O为BD的中点,所以POBD,又POOE=O,OE,PO面POE,所以BD平面POE,又PE面POE,所以BDPE(2)因为三棱锥P-BCD的体积最大,即P到平面BCD的距离最大,平面PBD平面BCD,PO平面BCD,所以OE,OB,OP两两垂直.以O为坐标原点,以OE、OB、OP所

9、在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B(0,1,0),P(0,0,),C(,-2,0),D(0,-1,0),E(,0,0)=(0,-1,),=(,-3,0),=(,1,0),=(,0,-)设平面PBC的法向量为,则,不妨令,得.设平面PDE的法向量为,则,则所以,即二面角C-PE-D的余弦值为.16.【答案】(1)证明:E,F分别为AB,AC边的中点,EFBC,ABC=90,EFBE,EFPE,又BEPE=E,BE、PE平面PBE,EF平面PBE,EFBC,BC平面PBE;(2)解:取BE的中点O,连接PO,由(1)知BC平面PBE,BC平面BCFE,平面PBE平面BC

10、FE,PB=BE=PE,POBE,又PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE,PO平面BCFE,过O作OMBC交CF于M,分别以OB,OM,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,),C(1,4,0),F(-1,2,0)=(1,4,-),=(-1,2,-),设平面PCF的法向量为=(x,y,z),由,取y=1,得=(-1,1,),结合图可知=(0,1,0)为平面PBE的一个法向量,cos=,平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值17.【答案】证明:()在图中,连接BD.四边形ABCD为菱形,A=,ABD是等边三角形.E为AD的中点,BEAE,BEDE.又AB=2,A

11、E=DE=1.在图中,AD=,+=.AEED.BCDE,BCBE,BCAE.又BEAE=E,AE,BE平面ABE.BC平面ABE.BC平面ABC,平面ABE平面ABC.解:()由(),知AEDE,AEBE.BEDE=E,BE,DE平面BCDE.AE平面BCDE.以E为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.则E(0,0,0),A(0,0,1),B(,0,0),C(,2,0),D(0,1,0).P为AC的中点,P(,1,).=(,-1,-),=(-,0,-).设平面PBD的一个法向量为=(x,y,z).由得令z=,得=(-1,-,).又平面BCD的一个

12、法向量为=(0,0,1).设二面角P-BD-C的大小为,由题意知该二面角得平面角为锐角.则=.二面角P-BD-C的余弦值为.18.【答案】解:(1)如图,连接OC,CB=CD,O为BD的中点,COBD以O为坐标原点,分别以OB,OC,OA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系BD=2,OB=OD=1,则OC=B(1,0,0),A(0,0,2),C(0,2,0),D(-1,0,0),E是AC的中点,E(0,1,1),设直线AB与DE所成角为,则cos=,即直线AB与DE所成角的余弦值为;(2)BF=BC,设F(x,y,z),则(x-1,y,z)=(,0),F(,0),设平面DEF的一个法向量为

13、,由,取x1=-2,得;设平面DEC的一个法向量为,由,取x2=-2,得|cos|=sin19.【答案】(1)证明:取BC中点O,连AO,O,AB=AC,ABAC,BC=2,AO=1,AOBC,又BC=,=,BC,=,又=2,+=,AO,,面BB1C1C,面BB1C1C,AO面BB1C1C,AO面ABC,面ABC面BB1C1C.(2)解:由(1)可知OA,OB,OB1两两垂直,以O为坐标原点,分别以OB,OB1,OA所在直线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(-1,0,0),(0,0),设=,=(01),=(-1,0),=(1,0,1),=(1,0)

14、,=+=+=+=(-1+,,),设平面的法向量为=(x,y,z),则,即取x=3,则y=-,z=,故=(3,-,),又=(0,0,1)是面C1C的一个法向量,=,01,=.即存在一点M满足条件,且=.20.【答案】(1)证明:连BD,设AC交BD于O,由题意知SO平面ABCD以O为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立坐标系O-xyz如图设底面边长为a,则高于是,故OCSD从而ACSD;(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量,平面DAC的一个法向量设所求二面角为,为锐角,则,所求二面角的大小为30;(3)解:在棱SC上存在一点E使BE平面PAC由(2)知是平面PAC的一个法向量,且,设,则,而,即当SE:EC=2:1时,而BE不在平面PAC内,故BE平面PAC.