1、第三章指数运算与指数函数一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.(2021杭州西湖模拟)函数y=ax在0,1上最大值与最小值的和为3,则a=()A.2B.12C.4D.142.如果关于x的方程2x-1-m=0没有实数解,则实数m的取值范围是()A.(0,+)B.(-,0)C.0,+)D.(-,03.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(3-3x)的定义域为()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,3)D.(-6,2)4.已知a=243,b=425,c=3-12,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.bacC.cbaD.cab5.函数y=a|x|+1(a0,a1)
2、,x-k,k,k0的图象可能为()6.已知函数f(x+1)=12x,则函数f(x)的值域为()A.(-,1B.1,+)C.(0,+)D.(0,17.若函数f(x)=ax+2,x2,x2,x2在R上单调递增,则正实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,2C.(1,2)D.2,+)8.已知函数f(x)=|x-1|,0x2,12x-1,2x3,若存在实数x1,x2,x3,当0x1x20,且a1)的图象经过第一、三、四象限,则下列选项中正确的有()A.a1B.0a0D.b0,且a1)(t0)的图象.以下说法正确的是()A.每月减少的有害物质质量都相等B.第4个月时,剩留量就会低于15C.污染物每
3、月的衰减率为13D.当剩留12,14,18时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2t311.已知实数a,b满足等式12a=13b,则下列五个关系式中可能成立的是()A.ab0B.ab0C.0abD.a=b12.定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足:f(x)+g(x)=4x,下列结论正确的有()A.f(x)=4x-4-x2,且0f(1)2f(x)g(x)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.12523+12-2-4(3-)4+3(-3)3=.14.已知函数g(x)=2x,且有g(a)g(b)=2,若a0且b0,则ab的最大值为.15.函数f(x)=a2-x-
4、1(a0,且a1)恒过定点,当a1时,f(x2)的单调递增区间为.16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x(-,0)时单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则实数a的取值范围是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)比较下列各题中两个数的大小:(1)15-12与1523;(2)a0.5与a0.6(a0,且a1).18.(12分)(2021北京丰台期中)已知指数函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象经过点2,14.(1)求指数函数f(x)的解析式;(2)求满足不等式f(|x|)30;(2)当x(-1,1)时,f(x)
5、存在最小值-2,求a的值.20.(12分)已知函数y=14x-12x+1的定义域为-3,2.求:(1)函数的单调区间;(2)函数的值域.21.(12分)已知函数f(x)=ax+b(a0,且a1).(1)若f(x)的图象如图所示,求a,b的值;(2)若f(x)的图象如图所示,求a,b的取值范围;(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.图图22.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=n-2x2x+1+m是奇函数.(1)求m,n的值;(2)当x12,3时,f(kx2)+f(2x-1)0恒成立,求实数k的取值范围.第三章测评1.A根据题意,由y=ax的单调性,可知其
6、在0,1上是单调函数,即当x=0和1时,函数取得最值,即a0+a1=3,又a0=1,则a1=2,即a=2.故选A.2.D方程2x-1-m=0即为2x-1=m,由指数函数的性质知2x-10,故当m0时方程无解,所以正确选项为D.3.A由题意,需03-3x2,即13x3,所以0x450,ab1.y=3x在R上为增函数,且-120,c=3-12bc.5.C由题意知,y=a|x|+1为偶函数,且y1,排除A,B.当a1时,函数图象在0,k上单调递增,排除D.故选C.6.D设x+1=t,则x=t-1且t1,f(t)=12t-1,t-10,12t-1(0,1.7.B函数f(x)=ax+2,x2,x2,x2
7、在R上单调递增,a1,a2+222,解得10,且a1)的图象经过第一、三、四象限,所以其大致图象如图所示:由图象可知函数为增函数,所以a1.当x=0时,y=1+b-1=b0,且a1)(t0)的图象经过点2,49,49=a2,a=23,即y=23x.故1月到2月,减少的有害物质质量为23-49=29,2月到3月,减少的有害物质质量为49-827=427,故每月减少的有害物质质量都相等是错误的,故A错误;当t=4时,有害物质的剩留量y=1681b0;若a,b为负数,则ab0;若a=b=0,则12a=13b=1.12.ABC函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且满足f(x)+g(
8、x)=4x,f(-x)+g(-x)=4-x,即-f(x)+g(x)=4-x,与f(x)+g(x)=4x联立,可得g(x)=4x+4-x2,f(x)=4x-4-x2.选项A,f(1)=4-4-12,g(2)=42+4-22,0f(1)0,且a1)中,令2-x=0,解得x=2,又f(2)=1-1=0.函数f(x)恒过定点(2,0),由已知得f(x2)=a2-x2-1.t=2-x2在(-,0上单调递增,在(0,+)上单调递减,故当a1时,f(x2)在(-,0上单调递增,在(0,+)上单调递减,f(x2)的单调递增区间为(-,0.16.12,32因为函数f(x)是偶函数,且在区间(-,0)上单调递增,
9、所以在(0,+)上单调递减,所以f(2|a-1|)f(-2)=f(2),所以2|a-1|2=212,所以|a-1|12,解得12a32.17.解(1)15-12与1523可看成指数函数y=15x的两个函数值.0151,函数y=15x在R上是减函数.-121523.(2)a0.5与a0.6可看成指数函数y=ax的两个函数值.当0a1时,函数y=ax在R上是减函数.0.5a0.6.当a1时,函数y=ax在R上是增函数.0.50.6,a0.5a0.6.综上所述,当0aa0.6;当a1时,a0.50,且a1)的图象经过点2,14,所以a2=14,得a=12.所以f(x)=12x,xR.(2)由题可得1
10、2|x|14,即12|x|2,解得x2,所以x|x2.19.解设2x=t(t0),则y=t2-2at-a,(1)当a=2时,f(x)30y=t2-4t-320,t8.t0,t8,2x8,x3,不等式的解集为x|x3.(2)由题意知,函数图象的对称轴为直线t0=2a-112,2,即0a2,故函数的最小值为4(-a)-(-2a)24=-2,a+22a-2=2,由于关于a的函数y=a+22a-2单调递增,故最多有一个实根,而当a=1时,a+22a-2=2,a的值为1.20.解(1)令t=12x,则y=t2-t+1=t-122+34,当x(1,2时,t=12x单调递减,此时t14,12,在此区间上y=
11、t-122+34单调递减,所以原函数在区间(1,2上单调递增.当x-3,1时,t=12x单调递减,此时t12,8,在此区间上y=t-122+34单调递增,所以原函数在-3,1上单调递减.故原函数的单调递增区间为(1,2,单调递减区间为-3,1.(2)由(1)可知当x=1时,t=12,函数取最小值34;当x=-3时,t=8,函数取最大值57.故函数的值域为34,57.21.解(1)因为f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),所以a2+b=0,a0+b=-2,解得a=3,b=-3.(2)由f(x)为减函数可知a的取值范围为(0,1),因为f(0)=1+b0,即b-1,所以b的取值范围为(-,-
12、1).(3)由题图可知y=|f(x)|的图象如图所示.由图可知使|f(x)|=m有且仅有一个实数解的m的取值范围为m|m=0或m3.22.解(1)f(x)在定义域R上是奇函数,f(0)=0,n=1.又由f(-1)=-f(1),得m=2.检验知,当m=2,n=1时,原函数是奇函数.(2)由(1)知f(x)=1-2x2x+1+2=-12+12x+1,任取x1,x2R,设x1x2,则f(x2)-f(x1)=12x2+1-12x1+1=2x1-2x2(2x1+1)(2x2+1).函数y=2x在R上是增函数,且x1x2,2x1-2x20,f(x2)-f(x1)0,即f(x2)0等价于f(kx2)-f(2x-1)=f(1-2x).又f(x)在R上是减函数,由上式推得kx21-2x,即对一切x12,3有k1-2xx2恒成立.设g(x)=1-2xx2=1x2-21x,令t=1x,t13,2,则有h(t)=t2-2t,t13,2,g(x)min=h(t)min=h(1)=-1,k-1,即k的取值范围为(-,-1).10