1、2022-2023学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8小题，共24分）1. 如图所示的几何体的主视图是()A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2-2x+3=0根的情况是()A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 D. 无法判断3. 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为()A. 23 B. 12 C. 13 D. 164. 如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中正
2、确的是()A. 大鱼与小鱼的相似比是3：1B. 小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是2：1C. 大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍D. 若小鱼上一点的坐标是(a,b)，则在大鱼上的对应点的坐标是(-2b,-2a)5. 将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为 ()A. y=(x+1)2-13 B. y=(x-5)2-3C. y=(x-5)2-13 D. y=(x+1)2-36. 如图，在ABC中，CA=CB=4，cosC=14，则sinB的值为()A. 102 B. 153 C. 64 D. 1047. 如图在平面直角坐标系中，AOB的面积为278
3、，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y=kx相交于点C，且BC：OC=1：2.则k的值为()A. -3B. -94C. 3D. 928. 一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，共18分）9. 在ABC中，B=45，cosA=12，则C的度数是_10. 黄金分割在生活中的应用十分广泛，例如大多数窗户的宽和长的比是黄金比，已知某扇窗户的长为1.8米，则宽约为_米(结果精确到0.1)11. 已知反比例函数y=2x，当x-1时，y的取值范围为_12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_13
4、. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若SDOE=2，则平行四边形ABCD的面积为_14. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分BCD交AB于点E，交BD于点F，且ABC=60，AB=2BC，连接OE.下列结论：EOAC；SAOD=SOCF；AC：BD=21：7；FB2=OFDF.其中正确的是_.(填序号)三、解答题（本题共11小题，共78分）15. 已知：如图，ABC为直角，点D为射线AB上一点求作：矩形DBEF，使线段BD为矩形DBEF的一条边，BE=2BD，且点F在ABC的内部16. 解方程：2x2-7x+3=017. 已知二次函
5、数y=ax2-2x+1的图象与x轴有交点，求a的取值范围18. 为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下的游戏：在三张完全相同的卡片上分别写上字母A，B，B，背面朝上，每次抽取之前先洗匀，甲说：“我随机抽取一张，抽到字母B，电影票归我”乙说：“我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同，电影票归我”试问：此游戏对谁更有利？并说明理由19. 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图(1)所示的坡路进行改造如图(2)所示，改造前的斜坡的高度AE=100米，坡角ABE=30；将斜坡AB的高度AE降低20米后，斜坡AB改
6、造为斜坡CD，其坡度为1：4，改造后的斜坡多占多长一段地面？(结果保留根号) 20. 如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=0.8m，窗高CD=1.2m，并测得OE=0.8m，OF=3m，求围墙AB的高度 21. 某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数
7、(1)试求y与x之间的关系式；(2)在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少(总利润=总收入-总成本)？22. 如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交于点H(1)求证：ADEF；(2)ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由23. 某著名索拉桥，在桥头立柱两侧拉着钢索，以其中一根立柱为y轴，以桥面为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，左侧钢索近似于直线，底端在远离立柱200米的桥面上的B处固定，C处离桥面100米右侧钢索近似于抛物线，该抛物线最低处A离立柱300米
8、，离桥面10米(1)求出抛物线和直线的函数关系式；(不要求写自变量的取值范围)(2)现要在左右两条钢索上各加一条竖直钢索DE和FG进行加固，要求它们的水平距离相距200米，请问这两条竖直钢索DE和FG加在何处，使得它们的高度之和最小？高度之和最小是多少？24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程结合已有经验，请画出函数y=6|x|-|x|的图象，并探究该函数性质(1)绘制函数图象列表：下列是x与y的几组对应值，其中a=_x-5-4-3-2-112345y-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8描点：根据表中的数值描点(x,y)，
9、请补充描出点(2,a)；连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；(2)探究函数性质请写出函数y=6|x|-|x|的一条性质：_；(3)运用函数图象及性质写出方程6|x|-|x|=5的解_；写出不等式6|x|-|x|1的解集_25. 如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，对角线BD=12cm.动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB匀速运动；动点Q同时从点D出发，以2cm/s的速度沿BD的延长线方向匀速运动当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动设运动时间为t(s)(0t10)，过点P作PE/BD，交AD于点E，以DQ，DE为边作平行四边形DQFE，连接PQ(1)当t为何值时，E为AD
10、的中点？(2)当t为何值时，BPQ为直角三角形？(3)设四边形BPFQ的面积为S(cm2)，求S与t之间的函数关系式；(4)是否存在某一时刻t，使点F在ABD的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由答案和解析1.【答案】B【解析】解：从正面看该几何体，由能看见的轮廓线用实线表示可得选项B中的图形符合题意，故选：B根据简单几何体三视图的画法可得答案本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提2.【答案】C【解析】解：a=1，b=-2，c=3，b2-4ac=4-413=-80，b0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a0，b0，c0，则a
11、c0，由直线可知，ac0，b0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a0，c0，则ac0，由直线可知，ac0，b0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a0，b0，则ac0，b0，故本选项错误故选：B9.【答案】75【解析】解：在ABC中，cosA=12，A=60，C=180-A-B=180-60-45=75根据A的余弦值求得A的度数，再根据三角形的内角和定理求C即可本题主要考查特殊角的余弦值以及三角形的内角和定理，属于基础题10.【答案】1.1【解析】解：设窗户的宽为x米，窗户的宽和长的比是黄金比，x1.80.618，x1.1，宽约为1.1米，故答案为：1.1利用黄金分割的定义，进行计算即可解答本题
12、考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键11.【答案】-2y0，此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，当x=-1时，y=-2，当x-1时，-2y0故答案为：-2y0先根据反比例函数的性质判断出函数的增减性，再求出x=-1时y的值即可得出结论本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键12.【答案】【解析】解：由题意可知，几何体是半个圆柱，所以几何体的体积为：12122=故答案为：判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题13.【答
13、案】24【解析】解：过点O作OMAB，与BA的延长线交于点M，与CD交于点N，如图， 四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点，AB/BC，DE=12DC=12AB，DOEBOA，MNCD，OMON=ABDE=2，MN=3ON，SDOE=2，12DEON=2，DEON=4，S平行四边形ABCD=CDMN=2DE3ON=6DEON=64=24故答案为：24根据平行四边形的性质得到AB/BC，证明DOEBOA，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键14.【答案】【解析】解：四边形ABC
14、D是平行四边形，CD/AB，OD=OB，OA=OC，DCB+ABC=180，ABC=60，DCB=120，EC平分DCB，ECB=12DCB=60，EBC=BCE=CEB=60，ECB是等边三角形，EB=BC，AB=2BC，EA=EB=EC，ACB=90，OA=OC，EA=EB，OE/BC，AOE=ACB=90，EOAC，故正确，OE/BC，OEFBCF，OEBC=OFFB=12，OF=13OB，SAOD=SBOC=3SOCF，故错误，设BC=BE=EC=a，则AB=2a，AC=3a，OD=OB=a2+(32a)2=72a，BD=7a，AC：BD=3a：7a=21：7，故正确，OF=7OB=7
15、6a，BF=73a，BF2=79a2，OFDF=76a(72a+76a)=79a2，BF2=OFDF，故正确，故答案为：先证明EC=EA=BC，推出ACB=90，再利用三角形中位线定理即可判断；证明BF=2OF，推出SBOC=3SOCF即可判断；设BC=BE=EC=a，求出AC，BD即可判断；求出BF，OF，DF(用a表示)，通过计算证明即可判断本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理，解题的关键是证明OEFBCF，通过设BC=BE=EC=a表示出BF2与OFDF15.【答案】解：如图，矩形DBEF为所作【解析】先在BC上截取BE=2BD，然后分别以D点、E点
16、为圆心，BE和BD为半径画弧，两弧相交于点F，则四边形DBEF满足条件本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了矩形的性质16.【答案】解：原方程可变形为(2x-1)(x-3)=02x-1=0或x-3=0，x1=12,x2=3【解析】本题可以运用因式分解法解方程因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法17.【答案】解：二次函数y=ax2-2
17、x+1的图象与x轴有交点，=(-2)2-4a10，解得：a1，即实数a的取值范围是a1【解析】根据函数图象与x轴有交点得出对应的方程的0，求出即可本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，能根据已知条件得出0是解此题的关键18.【答案】解：此游戏对乙更有利，理由如下：甲获得电影票的概率=23；画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的字母相同的结果数为5，所以乙获得电影票的概率=592359，此游戏对乙更有利【解析】分别利用概率公式和画树状图计算各自的概率，然后比较即可此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平19.【答案
18、】解：由题意得：AC=20米，AEB=90，AE=100米，CE=AE-AC=100-20=80(米)，在RtABE中，ABE=30，BE=AEtan30=10033=1003(米)，斜坡CD的坡度为1：4，CEDE=14，DE=4CE=320(米)，BD=DE-BE=(320-1003)米，改造后的斜坡多占(320-1003)米长的地面【解析】根据题意可得：AC=20米，AEB=90，则CE=80米，然后在RtABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据斜坡CD的坡度为1：4，求出DE的长，最后进行计算即可解答本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解
19、题的关键20.【答案】解：延长OD于点C，DOBF，DOE=90OD=0.8m，OE=0.8m，DEB=45ABBF，BAE=45，AB=BE设AB=BE=xm，ABBF，COBF，AB/CO，ABFCOF，ABBF=COOF，xx+(3-0.8)=1.2+0.83，解得：x=4.4，经检验：x=4.4是原方程的解，答：围墙AB的高度是4.4m【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明ABFCOF，属于中档题首先根据DO=OE=0.8m，可得DEB=45，然后证明AB=BE，再证明ABFCOF，可得ABBF=COOF，然后代入数值可得
20、方程，解出方程即可得到答案21.【答案】解：(1)依题意设y=kx+b，则有360=20k+b210=25k+b解得k=-30b=960y=-30x+960(16x32)(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)=30(-x+32)(x-16)=30(-x2+48x-512)=-30(x-24)2+1920在16x32范围内，当x=24时，P有最大值，最大值为1920答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元【解析】本题主要考查了根据实际问题列函数关系式的能力读懂题意准确地列出式子是解题的关键，要熟练地运用待定系数法求函数关系式，并会利用二次函数的最值问题求
21、实际问题的最大利润(1)先根据题意设y=kx+b，分别把对应的x=20，y=360；x=25，y=210代入利用待定系数法求解即可；(2)根据“总利润=总收入-总成本”列出关于每月获得利润P与x之间的函数关系式，整理得出二次函数P=-30(x-24)2+1920，求其最大值即可22.【答案】(1)证明：AD是ABC的角平分线，EAD=FAD，DEAB，DFAC，AED=AFD=90，在AED与AFD中，EAD=FADAED=AFDAD=AD，AEDAFD(AAS)，AE=AF，DE=DF，ADEF；(2)解：ABC满足BAC=90时，四边形AEDF是正方形，理由如下：AED=AFD=BAC=9
22、0，四边形AEDF是矩形，又ADEF，矩形AEDF是正方形【解析】(1)根据AAS证明AEDAFD，进而利用全等三角形的性质解答即可；(2)根据正方形的判定解答即可本题主要考查了正方形的判定，关键是根据AAS证明AEDAFD解答23.【答案】解：(1)由题意可得：A(300,10)，B(-200,0)，C(0,100)，直线过B、C两点抛物线经过C、A两点，且A点为抛物线顶点，设抛物线和直线的函数关系式分别为：y=nx+m，y=ax2+bx+c，分别代入数据得：0=-200n+m100=m，100=c10=3002a+300b+c-b2a=300，解得：n=12m=100，a=0.001b=-
23、0.6c=100，抛物线和直线的函数关系式：抛物线y=0.001x2-0.6x+100，直线y=12x+100；(2)设G点为(a,0)，根据题意可知E点为(a-200,0)，分别代入解析式得：y1=0.001a2-0.6a+100，y2=12(a-200)+100=0.5a，令钢索DE和FG的高度和为N米，N=y1+y2，N=0.001a2-0.6a+100+0.5a，N=0.001a2-0.1a+100，N=0.001(a-50)2+97500，当a=50时，N有最小值，最小值为97.5米，两条竖直钢索DE和FG加在G点(50,0)，E点(-150,0)时，高度之和最小是97.5米【解析】
24、(1)根据已知条件确定点的坐标，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式；(2)设G点为(a,0)，根据题意可知E点为(a-200,0)，分别代入解析式，求高的和，再利用配方法求a为何值时，高的最小值，再分别求出点E、点G的坐标本题考查了二次函数的应用和一次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数和一次函数的性质，待定系数法求函数解析式，配方法求最值24.【答案】1 y=6|x|-|x|的图象关于y轴对称(答案不唯一) x=1或x=-1 x-2或x2【解析】解：(1)列表：当x=2时，a=6|2|-|2|=1，故答案为：1；描点，连线如下： (2)观察函数图象可得：y=6|x|-|x|的图象关于
25、y轴对称，故答案为：y=6|x|-|x|的图象关于y轴对称(答案不唯一)；(3)观察函数图象可得：当y=5时，x=1或x=-1，6|x|-|x|=5的解是x=1或x=-1，故答案为：x=1或x=-1；观察函数图象可得，当x-2或x2时，y1，6|x|-|x|1的解集是x-2或x2，故答案为：x-2或x2(1)把x=2代入解析式即可得a的值；按要求描点，连线即可；(2)观察函数图象，可得函数性质；(3)由函数图象可得答案；观察函数图象即得答案本题考查一次函数图象及性质，解题的关键是画出函数图象25.【答案】解：(1)在菱形ABCD中，AB=10cm，AD=AB，PE/BD，E为AD的中点，p为A
26、B的中点，AP=5cm，t=51=5；(2)如图，连接AC，交BD于点O，四边形ABCD是菱形，AB=10cm，BD=12cm， AB=AD=10cm，ACBD，BO=12BD=6cm，BP=(10-t)cm，DQ=2t(cm)，BPQ为直角三角形，BPQ=90AOB=BPQ=90，ABO=PBQ，QBPABO，PBBO=QBAB，即10-t6=12+2t10 t=1411答：当t为1411时，BPQ为直角三角形(3)在RtABO中，AOB=90，OA=8如图，过点P作PMBD于点M，PMB=AOB，PBM=ABO，PBMABO，PMAO=BPBA，即PM8=10-t10，PM=8-45t.
27、PE/BD，APE=ABD，AEP=ADB，APEABD，PEBD=APAB，PE12=t10，PE=65t，四边形DQFE是平行四边形，EF=DQ=2t，S=12(PF+BQ)PM=12(65t+2t+2t+12)(8-45t) =-5225t2+16t+48s与t的函数关系式为：s=-5225t2+16t+48；(4)存在，理由如下：如图，连接BF，若点F在ABD的平分线上，则ABF=FBQPF/BQ，PFB=FBQ，PBF=PFB，PB=PF，即10-t=65t+2t，t=5021，所以当t=5021时，点F在ABD的平分线上【解析】(1)根据菱形的性质得AB=AD，当E为AD的中点时，P为AB的中点，进而可求得t的值；(2)如图，连接AC，交BD于点O.证明QBPABO，可得PBBO=QBAB，由此构建方程，可得结论(3)由PBMABO，推出PMAO=BPBA，即PM8=10-t10，可得PM=8-45t.由APEABD，推出PEBD=APAB，PE12=t10，可得PE=65t，再根据S=12(PE+BQ)PM，求解即可(4)证明PB=PF，构建方程求解即可本题考查四边形的综合应用，掌握菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键