1、西宁市城西区2022-2023学年高三上学期12月一模数学试卷(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 1已知集合，则的元素个数为（ ）A0B1C2D32已知实数a，b满足（其中i为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）ABCD3设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为0.5和0.6，且各次射击相互独立，若甲、乙个射击2次，则甲、乙恰好各射一次的概率是（ ）ABCD4函数的部分图象大致为（ ）ABCD5的展开式中的常数项是（ ）ABCD206已知圆的弦AB的中点为，直线AB交y轴于点M，则的值为（ ）A4B5CD7如图，长方体中，点E，F分别为AB，的中点，则三棱锥的外接球表面积
2、为（ ）ABCD8已知数列为等差数列，为等比数列的前n项和，且，则（ ）ABCD9将函数，的图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则（ ）A图象的一条对称轴为B图象的一个对称中心为C的最小正周期D在区间上为增函数10在各棱长均相等的棱柱中，点M在上，点N在AC上且，则异面直线与NB所成角的正切值为（ ）ABCD11已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于点A，B，与圆相切，则的值等于（ ）ABCD12已知函数在R上存在导函数，对于任意的实数x都有，当时，若，则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD二、填空题：本
3、题共4小题，每小题5分，共20分13已知，则_14方程在区间上的解为_15若双曲线C的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为_16已知数列满足，且，表示数列的前n项和，则使不等式成立的正整数n的最小值是_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试 题考生都必须作答；第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小及a的值；（2）求面积的最大值，并求此时的周长18（12分）某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后
4、的工作时长（单位：分钟），相关数据如下表所示平板电脑序号123456工作时长/分220180210220200230（1）从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，设抽出的2台平板电脑充满电后工作时长小于 210分钟的台数为X，求随机变量X的分布列及数学期望；（2）下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据求该平板电脑工作时长y与使用次数x之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后 的工作时长使用次数x/次20406080100120140工作时长y/分210206202196191188186附：，19（12分）在三棱柱中，AM平面ABCD，点E为AB的中点且
5、（1）证明：平面MEC；（2）P为线段AM上一点，若二面角的大小为，求AP的长20（12分）已知，为椭圆C上两点，F为椭圆C的左焦点（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C有且仅有一个公共点，与直线交于点M，与直线交于点N，证明：21（12分）已知函数（1）讨论函数的单调区间；（2）对于任意，证明（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑22（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线（t为参数），曲线的方程为以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线，的极坐
6、标方程；（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点O），定点，求的面积23（10分）选修4-5：不等式选讲设函数，不等式的解集为M，a，且，（1）证明：；（2）若对任意恒有，求实数m的取值范围参考答案1答案D考什么？ 命题人考查集合的交集运算这么考！ 由题意知，所以，所以集合的元素有3个，故选D2答案B考什么？ 命题人考查复数的运算法则、共轭复数的定义这么考！ 实数a，b满足（其中i为虚数单位），复数的共轭复数，故选B3答案B考什么？命题人考查相互独立事件的概率问题这么考！设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A与B相互独立，甲、乙各射击2次，甲、乙恰好各射中一次的概率，故
7、选B4答案D考什么？命题人考查函数图象这么考！易知函数为偶函数，所以其图象关于y轴对称，排除A，B项；又当时，故选D5答案B考什么？命题人考查二项式定理这么考！展开式的通项为，令，得，令，得，故展开式的常数项是，故选B6答案A考什么？命题人考查向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用这么考！由题设可得，圆心，则根据圆的性质可知，AB所在直线的方程为，即联立方程可得，设，则，令，得，故选A7答案B考什么？命题人考查锥体与球的关系应用，球的表面积公式的应用这么考！在长方体中，连接，三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，在中，取CD中点H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以的外心在EH
8、上，设为点M，连接CM同理可得的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点，设为点O由图可得，又，解得，所以，所以，故选B8答案D考什么？命题人考查等差数列和等比数列这么考！由题意设等差数列的公差为d，由得，解得则，所以，设等比数列的公比为q，则，则，故选D9答案D考什么？命题人考查三角函数的图象与性质这么考！将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，即，所以函数的最小正周期为，故C项错误；由，得的图象的对称轴为，当时，得，故A项错误；由，得，即图象的对称中心为，当时，得，故B项错误；由，得，当时，得，即为的增区间，故选
9、D10答案B考什么？命题人考查几何体中异面直线所成角的求法这么考！设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设异面直线与BN所成角为，则，异面直线与BN所成角的正切值为，故选B11答案D考什么？命题人考查抛物线几何性质，直线与抛物线位置关系，圆的切线这么考！设直线l的斜率为k，由直线l过点，得直线l的方程为，即由直线l与圆相切，得，解得不妨取，设，易知，联立，消去y，整理得，则，则，故选D12答案C考什么？命题人考查导数在函数单调性中的应用，构造函数这么考！令，当时，则，所以当时，函数单调递减因为对于任意的实数x都有，所以，即为偶函数，所以当时，函数单调递增又，又，所以，即，故选C13答案
10、考什么？命题人考查平面向量坐标运算和求模这么考！由题意得，所以故答案为14答案或考什么？命题人考查三角函数关系，二倍角公式，三角方程等问题这么考！当时，当时，满足题意；当时，由两边同除以，得，得，解得或（舍去），又，所以故答案为或15答案或考什么？命题人考查双曲线方程及其简单性质这么考！双曲线焦点在x轴上时，设双曲线方程为（，），该双曲线的渐近线方程为，又一条渐近线经过点，得由焦点到该渐近线的距离为2，可得，得，则双曲线的方程为；当双曲线焦点在y轴上时，设双曲线方程为（，），该双曲线的渐近线方程为，又一条渐近线经过点，得，由焦点到该渐近线的距离为2，可得，得，则双曲线的方程为故答案为或16答案
11、10考什么？命题人考查等差数列和裂项相消法的运用这么考！因为数列满足且，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以，所以令解得故答案为1017考什么？命题人考查运用正、余弦定理解三角形，三角形的面积公式这么考！（1），由正弦定理得，又，（舍去），（2）由（1）知，由余弦定理得，当且仅当时取等号，此时的周长为18考什么？命题人考查利用数学知识解决实际问题，随机分布及期望值的计算，回归分析这么考！（1）由题意可知，X可能取值为0，1，2，则，则随机变量X的分布列为X012P数学期望为（2）因为，所以，所以线性回归方程为，当时，所以估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5
12、分钟19考什么？命题人考查线面平行的判定，利用空间向量求二面角的方法这么考！（1）设CM与BN交于点F，连接EF，由已知可得四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点E是AB的中点，又平面MEC，平面MEC，平面MEC（2）设，平面ABCD，平面ABCD，如图，建立空间直角坐标系，则，设（），设平面PEC的一个法向量为，则，令，则，又平面ADE的一个法向量为，解得（负值舍去），AP的长为20考什么？命题人考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量的数量积，直线方程的综合应用这么考！（1）设椭圆方程为（，），由，为椭圆C上两点，得，解得，故所求椭圆C的标准方程为（2）证明：由（1）
13、可知当时，直线，直线l与直线，联立，可得，或，所以，所以当时，直线l与直线，联立，可得，所以，所以联立得，因为直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，所以，化简得，所以，所以综上21考什么？ 命题人考查利用导数研究函数单调性，最值，证明不等式问题这么考！（1）由，得当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，当时，；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）要证，即证令，令，在上单调递增，存在唯一的，使得，在上单调递减，在上单调递增，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，得证22考什么？ 命题人考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积问题这么考！ （1）曲线的普通方程为，极坐标方程为曲线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为（2）由题意可得，将代入曲线，的极坐标方程得，点到射线的距离为，的面积为23考什么？ 命题人考查绝对值不等式的解法和性质以及基本不等式的应用，不等式恒成立等问题这么考！ （1）证明：由解不等式，解得，故，即，所以，即，所以（2），而，当且仅当时等号成立由题意得，解得，所以m的取值范围为