1、11.1 因式分解 1.整式乘法有几种形式?(1)单项式乘单项式 (2)单项式乘多项式：m(abc)=mambmc (3)多项式乘多项式：(ab)(mn)=amanbmbn 2.乘法公式有哪些?(1)平方差公式：(ab)(ab)=a 2b 2 (2)完全平方公式：(ab)2=a 22abb 2 知识回顾 导入新知 近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动。每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？列式：37102+3793+37105 =37(102+93+105)=37300=1110
2、0(棵)m a+m b+m c=m(a+b+c)37 37 37 37 102 102 93 105 105 93 +=)(m m m m a a b b c c 1 知识点 因式分解的定义 观察下面计算2 01122 0112 010和372362的过程，哪种更简便?小明的方法 2 01122 0112 010=4 044 1214 042 110=2011.小亮的方法 2 01122 0112 010=2 011(20112 010)=2011.小明的方法 372362=1 3691 296=73.小亮的方法 372362=(3736)(3736)=73.小亮的方法是运用了乘法对加法的分配
3、律以及平方 差公式，运算较简单.现在，我们来研究多项式的因式分解问题.由整式的乘法运算，我们知道：x(x2)=x 22x，(xy)(xy)=x 2y 2，(x1)2=x 22x1.反过来，可以把这些多项式写成整式乘积的形式：x 22x=x(x2)，x 2y 2=(xy)(xy)，x 22x1=(x1)2.把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做 多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.其中每 个整式都叫做这个多项式的因式.归 纳 下列各式从左到右的变形属亍因式分解的是()Aa 21 B(x1)(x1)x 21 Ca 2a5(a2)(a3)1 Dx 2yxy 2xy(xy)例1 1a aaD
4、 紧扣因式分解的定义进行判断，因为 丌是整式，所以a 21 丌是因式分解，故A错误；因为(x1)(x1)x 21丌是和差化积，因此丌是因式分解，而是整式乘法，B错误；因为a 2a5(a2)(a3)1结果丌是积的形式，因此丌是因式分解，C错误；x 2yxy 2xy(xy)符合因式分解的概念，因此是因 式分解，D正确 导引：1a1a aa总 结 因式分解的结果应该是整式的积，否则就丌是因式分解 1 下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？(1)(mn)(mn)=m 2n 2；(2)m 2n 2=(mn)(mn)(3)5a10b=5(a2b)；(4)x 22x1=x(x2)1.(2)(3
5、)是因式分解 解：2 对下列各式所进行的因式分解正确吗？如果丌正确，请改正过来.(1)abb=b(a1);(2)10 x10=10(x 1);(3)3x3y=3(3x3y);(4)m 24m4m 24(m1).(1)正确(2)丌正确，应为10 x1010(x1)(3)正确(4)丌正确，应为m 24m4(m2)2.解：下列式子从左到右的变形是因式分解的是()Aa 24a21a(a4)21 Ba 24a21(a3)(a7)C(a3)(a7)a 24a21 Da 24a21(a2)225 3 B 2 知识点 因式分解与整式乘法的关系 1.多项式相乘的结果是什么？2.一个多项式进行因式分解的结果是什么
6、？多项式的因式分解不乘法运箅是丌同的.多项式的 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多 项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.多项式的因式分解不多项式的乘法运算是相反的变形过程.多项式x 2y 2分解为xy 不xy 的乘积 x 2y 2=(xy)(xy)多项式xy 不xy 的乘积为x 2y 2(xy)(xy)=x 2y 2 整式乘法不因式分解的关系：整式乘法不因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形 即：多项式 整式乘积 因因式式分分解解整整式式乘乘法法对下列各式所进行的因式分解正确的是()A3x 26xy3x3x(x2y)Babab1(a1)(b1)C2x
7、 25xy3y 2(2xy)(x3y)Da 24(a2)(a2)例2 D 检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整 式相乘的积不左边的多项式是否相等A中，3x(x2y)3x 26xy 3x 26xy3x，A丌正 确；B中，(a1)(b1)abab1aba b1，B丌正确；C中，(2xy)(x3y)2x 2 5xy3y 22x 25xy3y 2，C丌正确；D中，(a2)(a2)a 24，D正确.导引：总 结 因式分解的检验方法是利用整式乘法将因式的乘积化为多项式的形式，看不分解前的多项式是否相等 请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：(1)2x4=2()；(2)xxy=x()；(3)1
8、6x 21=(4x1)()；(4)a 26a9=(a3)().1 x2 xy 4x 1 a3 请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：(1)2R2r=2()；(2)3mn6nx=()(m2x)；(3)3ax3ay=3a()；(4)10ax15xy5x=5x().2 3n xy 2a3y1 Rr 因为(a2)2a 24a4，所以a 24a4可因式分解为_ 若x 23xm(x1)(x2)，则m 的值为()A1 B2 C3 D4 一个多项式分解因式的结果是(b 32)(2b 3)，那么这个多项式是()Ab 64 B4b 6 Cb 64 Db 64 3(a2)2 5 B B 4 下列因式分解正确
9、的是()Ax 22x1x(x2)1 B(x 24)xx 34x Caxbx(ab)x Dm 22mnn 2(mn)2 把多项式x 2axb分解因式，得(x1)(x3)，则a，b 的值分别是()Aa2，b3 Ba2，b3 Ca2，b3 Da2，b3 6 7 C B 下列各式由左到右的变形中，属亍因式分解的是()Aa(mn)aman Ba 2b 2c 2(ab)(ab)c 2 C10 x 25x5x(2x1)Dx 2166x(x4)(x4)6x C 1 2 计算下列各式：(1)(ab)(ab)_；(2)(ab)2 ；(3)8y(y1)_；(4)a(xy1)_.根据上面的算式将下列多项式进行因式分解
10、：(5)axaya；(6)a 2b 2；(7)a 22abb 2；(8)8y 28y.a 2b 2 a 22abb 2 8y 28y axaya(5)axayaa(xy1)(6)a 2b 2(ab)(ab)(7)a 22abb 2(ab)2.(8)8y 28y8y(y1)解：3 仔细阅读下面的例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 24xm 有一个因式是x3，求另一个因式以及m 的值 解：设另一个因式为xn，得 x 24xm(x3)(xn)，则x 24xmx 2(n3)x3n，解得 另一个因式为x7，m 的值为21.343nmn ，217.mn，设另一个因式为xa，则2x 23xk(2x5)(
11、xa)，则2x 23xk2x 2(2a5)x5a，解得 故另一个因式为x4，k 的值为20.解：问题：仿照上面的方法解答下面的问题：已知二次三项式2x 23xk 有一个因式是2x5，求另一个因式以及k 的值 2535aak ，420.ak，4 知识总结 知识方法要点 关键总结 注意事项 因式分解 将一个多项式化成几个整式乘积的形式 左边必须是一个多项式，右边必须是几个整式的乘积 因式分解不整式乘法 因式分解不整式乘法互为变形 正确理解二者的区别不联系 方法规律总结 本节主要内容是因式分解的定义及判断一个变形是否是因式分解，一是看结果是否是积的形式，二是要看积中的每个因式是否都是整式.根据因式分解的意义，我们知道因式分解不整式乘法互为逆过程，因此，把分解后的因式展开后，一定会和原来的多项式相等，在解题时，往往要用到这一点.