1、7.5正态分布【知识点梳理】1正态曲线正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线函数f(x)，xR，其中R，0为参数显然对于任意xR，f(x)0，它的图象在x轴的上方可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2)，特别地，当0，1时，称随机变量X服从标准正态分布2由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点(1)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(2)曲线在x处达到峰值；(3)当无限增大时，曲线
2、无限接近x轴3正态分布的期望与方差若XN(，2)，则E(X)，D(X)24正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(X)0.6827；(2)P(2X2)0.9545；(3)P(3X3)0.9973在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取3，3中的值，这在统计学中称为3原则.【典型例题】题型一正态曲线的图象的应用例1（2021全国高二课时练习）设随机变量的正态分布密度函数为，则参数，的值分别是（）A，B，C，D，【答案】D【解析】【分析】由正态分布密度函数的概念即得.【详解】由正态分布密度函数表达式知，.故选：D.规律方法利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两
3、个实质性特点：一是对称轴为x，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式例2（2021黑龙江哈尔滨三中高二阶段练习）下列是关于正态曲线性质的说法：曲线关于直线对称，且恒位于轴上方；曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方；曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称；曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低；曲线的位置由确定，曲线的形状由确定.其中说法正确的是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断的正确性，即可得正确选项.【详解】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故正确；不正确；
4、只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故不正确；正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故正确；曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故正确；故说法正确.故选：A.例3（2021全国高二课时练习）如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差【答案】f(x)，20，22.【解析】【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义即可求解.【详解】解：由图可知该正态曲线关于直线x20对称，最大值是，所以20，由
5、，解得，所以该正态分布密度函数的解析式是f(x)，随机变量总体的均值是20，方差是2()22.例4（2021全国高二课时练习）若某种零件的尺寸（单位：）服从正态分布，其正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，且.试估计尺寸在7288的零件占总数的百分之几.【答案】68.27%.【解析】【分析】由题意可先确定和的值，再由正态分布的3原则结合题意即可求解【详解】由于函数在上单调递增，在上单调递减，所以正态曲线关于直线对称，且在处取得最大值，因此，所以.由，得，又因此尺寸在7288的零件大约占总数的68.27%.题型二利用正态分布的对称性求概率例5（2022全国高三专题练习）某中学高三（1）班有50
6、名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据：）A16B10C8D2【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.【详解】因为数学成绩，所以，因此由所以有，估计该班数学得分大于120分的学生人数为，故选：C规律方法利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故关于直线x对称的区间概率相等如：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa)(2)“3”法：利用X落在区间，2，2，3，3内的概率分别是0.6827，0.9545，0.9973求解例6（2021全国高
7、二学业考试）已知某年的FRM（金融风险管理）一级测试成绩X服从正态分布，则54分以上的成绩所占的百分比约为（）（附：，）A2.38%B1.35%C0.26%D0.15%【答案】D【解析】【分析】根据题意，先求出，进而根据正态分布的对称性求得答案.【详解】因为X服从正态分布，所以，即，所以.故选：D例7（2020江西修水高二期末（理）随机变量服从正态分布，若，则（）A0B1C2D3【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的对称性求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：C.例8（2021河南郑州高二期末（理）2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测对全市的理科数学成绩进行统计分析，发
8、现数学成绩近似地服从正态分布据此估计：在全市抽取名高三学生的数学成绩，恰有名同学的成绩超过分的概率为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由正态分布可知抽取名高三学生，数学成绩超过分的概率为，由二项分布概率公式可计算得到结果.【详解】数学成绩近似地服从正态分布，抽取名高三学生，数学成绩超过分的概率为，所求概率.故选：D.例9（2022黑龙江哈尔滨市第六中学校高二期末）已知随机变量，且，则为（）A0.1358B0.2716C0.1359D0.2718【答案】C【解析】【分析】根据正态分布的对称性可求概率.【详解】由题设可得，故选：C.题型三正态分布的实际应用例10（2022全国模拟预测）为了深入
9、贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表消费金额（千元）人数30506020301
10、0(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）（）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）；（）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差参考数据：；
11、若随机变量服从正态分布，则，【答案】(1)分布列见解析，(2)（）；（）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据分层抽样分别求出消费金额为和抽取的人数，求出随机变量的可能取值，分别求出相应概率，进而求得分布列和数学期望；（2）（）求出，的值，结合正态分布求出概率；（）由（）求出二项分布的分布列及方差.(1)解：由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为，则，所以，的分布列为123则；(2)解：（）由题意得，所以，所以；（）由题意及（）得，所以，的分布列为01234规律方法解题时，应当注意零件尺寸应落在3，3之内，否则可以认为该批产品不合格判断的根据是小概
12、率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格例11（2022全国模拟预测）自年秋季学期开始中小学全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了名教育工作者的答卷，得分情况统计如下（满分：分）名教育工作者答卷得分频数分布表分组频数合计(1)若这名教育工作者答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；(2)若以这名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取人的答卷得分，记为这人的答卷得分不低于分且低于分的人数，试求的分布
13、列和数学期望和方差参考数据：，【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】【分析】（1）首先根据频数分布表求样本数据的平均数和方差，然后利用正态分布的对称性和原则求得概率；（2）先求出在一次试验中事件发生的概率，确定的所有可能取值，利用独立重复试验的概率公式分别求出每个取值的概率，从而得到分布列，最后利用二项分布的数学期望和方差公式求解(1)解：由频数分布表可知，所以，所以因为，则，所以，.(2)解：从这名教育工作者中任意选取一名，其答卷得分不低于分且低于分的概率为由题意知，则，所以的分布列为YP所以，.例12（2022全国高三专题练习）年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策
14、”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作，记作，记作，记作，例如：，记作时刻.(1)估计这辆车在时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这辆车中抽取辆，再从这辆车中随机抽取辆，设抽到的辆车中，在之间通过的车辆数为，求的分布列；(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻服从正态分布，其中可用日数据中的辆车在之间通过该收费站点的时刻
15、的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（经计算样本方差为）.假如日上午这一时间段内共有辆车通过该收费站点，估计在之间通过的车辆数（结果保留到整数）附：；若随机变量服从正态分布，则，.【答案】(1)64(2)答案见解析(3)819【解析】【分析】（1）由频率分布直方图即能求出这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，求出其结果为4，从而的可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列（3）求出，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，由，即能估计
16、在之间通过的车辆数(1)这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：(2)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，即，所以的可能的取值为0，1，2，3，4所以，所以的分布列为：01234(3)由（1）得，由已知，所以，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，由，得：，所以估计在在之间通过的车辆数为【同步练习】一、单选题1（2022全国高二专题练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（）A越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C该物理量在一次测量中小于
17、9.99与大于10.01的概率相等D该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等【答案】D【解析】【分析】利用正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义对四个选项逐一分析判断即可A：越小，概率越集中在对称轴左右；根据对称性即可判断BCD.【详解】因为某物理量的测量结果服从正态分布，所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差越小，则分布越集中，对于A，越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在内的概率越大，故选项A正确；对于B，不管取何值，测量结果大于10的概率均为0.5，故选项B正确；对于C，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；
18、对于D，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的区域大于分布在10附近的区域，故测量结果落在内的概率大于落在内的概率，故选项D错误故选：D2（2022黑龙江实验中学模拟预测（理）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸服从正态分布，若落在内的零件个数为，则可估计所抽取的这批零件中直径高于的个数大约为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）.ABCD【答案】D【解析】【分析】根据原则可求得，根据概率计算可得结果.【详解】由正态分布可知：，直径高于的个数大约为.故选：D.3（
19、2022辽宁瓦房店市高级中学高二期末）己知随机变量服从正态分布，且，则（）A0.6B0.4C0.3D0.2【答案】A【解析】【分析】根据正态曲线的对称性即可求得答案.【详解】由题意，正态曲线的对称轴为，则与关于对称轴对称，于是.故选：A.4（2022安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知随机变量，则的值为（）A0.24B0.26C0.68D0.76【答案】A【解析】【分析】根据给定条件利用正态分布的对称性计算作答.【详解】因随机变，有P(4)=P(4)=0.76，由正态分布的对称性得：，所以的值为0.24.故选：A5（2022安徽省亳州市第一中学高二期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（）A
20、0.1B0.2C0.3D0.4【答案】A【解析】【分析】利用正态分布的对称性和概率的性质即可【详解】由，且则有：根据正态分布的对称性可知：故选：A6（2022黑龙江铁力市第一中学校高三开学考试（理）2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据正态曲线的对称性结合题意求出每个收费口有不低于700辆小汽车通过的概率，再利用对立事件的概率公式可求得答案【详解】根据正态曲线的对称性，每个收费口有不低于700辆小汽车通
21、过的概率，所以这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率故选：D7（2021重庆一中高三阶段练习）重庆某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了2021年12月考，共有1600名学生参加，其测试成绩（满分150分）服从正态分布，成绩125分及以上者为优秀.已知115分及以上的人数为40人，请你通过以上信息，推断数学成绩优秀的人数为（）附：，.A8B13C16D32【答案】A【解析】【分析】先根据频率约等于概率，求出P，再结合题中给的参考数据可得答案.【详解】，.故选：A.8（2022河南高三期末（理）若某市高三某次数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），则从
22、该市任选1名高三学生，其这次数学测试的成绩在100108分内的概率约为（）参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，A0.1573B0.34135C0.49865D0.1359【答案】A【解析】【分析】由X（单位：分）服从正态分布N（96，16），可得，则，然后根据正态分布的对称性可求得结果【详解】因为数学测试的成绩X（单位：分）服从正态分布N（96，16），所以，因为，所以，所以，故选：A二、多选题9（2022全国高三开学考试）老张每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择乘坐线路A所需时间单位：分钟服从正态分布，下车后步行到家要5分钟；乘坐线
23、路B所需时间单位：分钟服从正态分布，下车后步行到家要12分钟下列说法从统计角度认为合理的是（）参考数据：，则，A若乘坐线路B，前一定能到家B乘坐线路A和乘坐线路B在前到家的可能性一样C乘坐线路B比乘坐线路A在前到家的可能性更大D若乘坐线路A，则在前到家的可能性不超过【答案】BCD【解析】【分析】由已知，设乘坐线路A所需时间为单位：分钟，到家所需时间为分钟，乘坐线路B所需时间为单位：分钟，到家所需时间为分钟，进而再根据正态分布依次考虑各选项即可得答案.【详解】解：由已知，设乘坐线路A所需时间为单位：分钟，则满足条件：，到家所需时间为分钟，乘坐线路B所需时间为单位：分钟，则满足条件：，到家所需时间
24、为分钟.对于A，若乘坐线路B，则到家所需时间大于17分钟，“前一定能到家”是随机事件，可能发生，也可能不发生，所以A错误；对于B，由，知，由，知，因为，可见，所以乘坐线路A在前到家的可能性一样，所以B正确；对于C，由，知，由，知，因为，可见，所以乘坐线路B比乘坐线路A在前到家的可能性更大，所以C正确；对于D，由，知：，因为，所以，所以若乘坐线路A，则在前到家的可能性不超过，所以D正确.故选：BCD.10（2022重庆高三开学考试）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农
25、业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献袁老领衔的科研团队成功攻破水稻超高产育种难题，不断刷新亩产产量的纪录，目前超级稻计划亩产已经实现1100公斤现有甲、乙两个试验田，根据数据统计，甲、乙试验田超级稻亩产量（分别记为，）均服从正态分布，其中，如图，已知，两正态密度曲线在直线左侧交于点，则下列说法正确的是（）ABCD【答案】BC【解析】【分析】根据正太分布密度曲线的几何性质即可判断.【详解】由图可知，故A错误；由图可知，故B正确；，由图可知，故C正确；，根据正态分布曲线的性质，根据原则，应该有，故D不正确.故选：BC.11（2021河北武安市第一中学高二阶段练习）设随机变量X服从正态分布，且X落
26、在区间内的概率和落在区间内的概率相等.若，则下列结论正确的有（）ABCD【答案】ACD【解析】【分析】正态分布关于对称，得可判断 A，不确定可判断B，由对称性知可判断C，由可判断D【详解】正态分布关于对称，又落在区间内的概率和落在区间内的概率相等， ，故A正确；根据所给条件，无法确定，故B错误；正态分布关于对称，故C正确；，则，故D正确； 故选：ACD12（2022全国高二课时练习）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）根据国家质量监
27、督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，则下列说法正确的是（附：若，则，）（）ABCD假设生产状态正常，记表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于等于的数量，则【答案】ABC【解析】【分析】利用正态曲线的对称性可以判定A,B,C，然后再求出一只口罩过滤率小于等于的概率，进而根据独立事件和对立事件的概率求出.【详解】由题意可知，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以根据正态密度曲线的特点可知，故B正确；对于C，因为，且，所以，故C正确；对于D，一只医用口罩过滤率小于的概率约为，所以，故D错误故选：ABC三、填空题
28、13（2021江苏海安市曲塘中学高三期末）设随机变量，函数没有零点的概率是，则_附：若，则，【答案】【解析】【分析】根据函数的无零点可得，结合题意易知，再应用正态分布的三段区间概率及对称性求.【详解】函数没有零点，二次方程无实根，即，可得，又没有零点的概率是，由正态曲线的对称性知：，即，故答案为:14（2021山东无棣高二期中）若随机变量，若，则_【答案】【解析】【分析】解不等式1（1p）30.657得到p0.3，再利用正态分布求解.【详解】解：P（X1）0.657，1（1p）30.657，即（1p）30.343，解得p0.3，P（0Y2）p0.3，P（Y4）故答案为：0.215（2021全国
29、高二课时练习）已知服从正态分布的随机变量在区间，内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997.若某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，任意选一袋这种大米，质量在的概率为_.【答案】0.8185【解析】【分析】根据条件结合正态曲线的对称性即可解得答案.【详解】根据题意得到质量在到之间的大米概率为0.954，则小于的大米的概率为；质量在到之间的大米的概率为0.683，故质量大于的大米的概率为.故质量在的大米的概率为.故答案为：0.8185.16（2021全国高二课时练习）下列命题中，正确的命题的序号为_.已知随机变量服从二项分布，若，则；将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒
30、不变；设随机变量服从正态分布，若，则；某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大.【答案】【解析】【分析】由二项分布的均值与方差公式计算判断，由方差的性质判断，由正态分布的对称性判断，由二项分布的概率公式列不等式组求解后判断【详解】，解得，错；方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，正确；服从正态分布，正确；，则，由，解得，所以正确故答案为：四、解答题17（2021河南南阳高三期末（理）学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在4595之
31、间，分为，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.求；学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰.若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率.参考数据：若，则，.【答案】(1)，；(2)；.【解析】【分析】（1）根据平均数和方差的公式进行求解即可；（2）根据题中所给的公式进行求解即可；根据对立事件的概率公式进行求解即可.(1
32、)由频率分布直方图可知组距，第三组频数为40，总共有100人，则第三组频率=40100=0.4，根据频率之和为1，可知第4组的频率为，所以X=500.1+600.25+700.4+800.15+900.1=69，(2)，P(47.2x79.9)=P(-2x+)=P(-x+)+P(-290.8)=P(x+2)=1-P(-2x+2)2=1-0.95442=0.0228，所以18（2022山东潍坊高三期末）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，43，48，5
33、3，49，57，60，69经计算知上述样本质量指标平均数为53.7，标准差为9.9生产合同中规定：所有农产品优质品的占比不得低于15%（已知质量指标在63分以上的产品为优质品）(1)从这10件农产品中有放回地连续取两次，记两次取出优质品的件数为X，求X的分布列和数学期望(2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由附：若，则，【答案】(1)X的分布列如下：012X的数学期望.(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求；理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可取0，1，2，再分别求概率，再
34、写出分布列，计算出数学期望；（2）由正态分布的性质估计，即可得解.(1)因为质量指标分值在63分以上的产品为优质品，故优质品有2件.由题意可取0，1，2.则；.所以X的分布列如下：012X的数学期望.(2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求；理由如下：记这种产品的质量指标分值为，由题意可知，则，因为，所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求19（2022江苏宿迁高三期末）为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.(1)指标数不在和之间的产品为次等品，试
35、估计产品为次等品的概率；(2)技术评估可以认为，这种产品的质量指标数服从正态分布，其中近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算值，并计算产品指标数落在内的概率.参考数据：，则，.【答案】(1)(2)，0.9544【解析】【分析】（1）由频率和为1求参数，结合频率直方图求在和的频率即可得出结果.（2）按平均数公式求解,由，根据公式对比计算即可得出结果.(1)由，解得，样本中指标数不在和之间的频率为，所以产品为次等品的概率估计值为.(2)依题意.所以，所以.20（2022湖北江岸高三期末）5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代表性的技术之一.2020年
36、初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随机选取了200人进行问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组：，统计结果如图所示：(1)由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分Z（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满意度得分位于区间的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；(2)该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有3轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为.每一轮抽奖，奖金为10
37、0元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束.现小王参与了此次抽奖活动，求小王所获话费总额X的数学期望.参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，.【答案】(1)（人）(2)（元）【解析】【分析】（1）根据正态分布所提供的数据计算即可；（2）先得X的可能取值，再求概率，然后用数学期望公式计算即可.(1)由题意知样本平均数为，所以，而故2万名5H手机用户中满意度得分位于区间的人数约为（人）(2)由题意可知X的可能取值有0100200300，（元）21（2022全国高三专题练习（理）2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶
38、贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg）的平方和为117附：（1）数据，的方差，（2）若随机变量X服从正态分布，则；(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数和方差；(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布，用作为的估计值，用作为的估计值随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在的概率是多少？(3)某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼的质
39、量在的条数，利用（2）的结果，求的数学期望【答案】(1)，(2)(3)【解析】【分析】（1）根据题目中的数据先求出平均数，再结合给出的方差公式可求得方差.（2）根据题意可得，则，根据题目给出的数据，结合正态分布曲线的性质可得答案.（3）由(2)可得鱼的质量在的概率为，则，由二项分布的数学期望公式可得答案.(1)，(2)该鱼塘鱼质量满足，其中，即则，(3)由(2)可得鱼的质量在的概率为.由题意可知，由二项分布的数学期望公式可得，的数学期望为22（2022全国高三专题练习）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图（1）
40、根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？附：；若，则，【答案】（1）千元；（2）千元；人【解析】【分析】(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率
41、之和，即可得；(2)根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知：，故估计位农民的年平均收入为千元（2）由题意知，因为，时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；由，每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，则，其中，于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为从而由，得，而，所以当时，当时，由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人学科网（北京）股份有限公司