1、6.3二项式定理【知识点梳理】知识点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数,都有：()，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做的二项展开式。式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，其中的系数（r=0，1，2，n）叫做二项式系数2二项式(a+b)n的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；知识点二、二项展开式的通项公式二项
2、展开式的通项：（）公式特点：它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；字母b的次数和组合数的上标相同；知识点三：二项式系数及其性质1.的展开式中各项的二项式系数、具有如下性质：对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大.各二项式系数之和为，即；二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即。知识点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式
3、中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等。2.展开式中的系数求法（的整数且）知识点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。知识点四：二项式定理的应用1.求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）.2.利用赋值法进行求有关系数和。3.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：4.证明有关的不等式问题：5.进行近似计算：【典型例题】类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数例1（2022全国高二课时练习）若的展开式有16项，则自然数的值为（）A9B10C11D16【答案】B【解析】【分析】根据二项式展开式的项数可得选项.【详解】解
4、：因为的展开式共有项，所以，所以，故选：B例2（2021全国高二课时练习）二项式的展开式中为常数项的是（）A第3项B第4项C第5项D第6项【答案】C【解析】【分析】根据给定二项式求出其展开式的通项，再求出通项中x的幂指数为0所对项数即可.【详解】依题意，的展开式的通项为，令，得，即是二项式的展开式的常数项，所以展开式中的常数项是第5项.故选：C例3（2022福建宁德模拟预测）若二项武的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值是_【答案】7【解析】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为0，进而可得结果.【详解】的展开式的通项，令，得，因为，所以当时，有最小值为7.故答案为：7.例4（2022
5、陕西榆林一模（理）的展开式中的系数是_（用数字作答）【答案】-448【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可.【详解】的展开式的第r+1项为为令，得，则故答案为：-448例5（2022全国高二课时练习）求的展开式【答案】【解析】【分析】根据展开式通项直接写出结果即可.【详解】例6（2021全国高二课时练习）化简：(1)；(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由二项式定理可化简；（2）由二项式定理可化简.(1)；(2).类型二、 二项式之积例7（2019河南中原高三期末（理）已知的展开式中含的项的系数为5，则_【答案】2【解析】【分析】首先原式展开为，然后分别求每一项中含有的系数
6、，最后求.【详解】由题意知原式展开为，所以的展开式中含的项为，即，由已知条件知，解得 .【点睛】本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题.例8（2021全国高二课时练习）的展开式的常数项为（）A6B10C15D16【答案】D【解析】【分析】先根据二项展开式通项公式求含系数，再根据多项式法则求常数项.【详解】由题意得的展开式的通项为，令，则，所以的展开式的常数项为.故选：D.【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.例9（2021全国高二课时练习）的展开式中的常数项为_（用数字作答）【答案】180【解析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确
7、定的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项.【详解】的展开式中的通项公式 ，而分别令，解得，或的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.类型三、三项式及多项式展开问题例10（2019重庆八中高二期中（理）的展开式中，常数项为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】中将看成一项，两次展开，求出展开式的通项，令的指数为0，即可求解.【详解】，展开式通项为，令，当时，为常数项即.故选:A.【点睛】本题考查二项展开式求特定项，解题关键要求出通项，属于中档题.例11（2020全国高三专题练习）的展开式合并前的项数为（ ）A
8、BCD【答案】D【解析】可得从个因式中，每一次都要选一个、相乘，即可得出结果.【详解】从个因式中，每一次都要选一个、相乘，展开式中共有项.故选：D.例12（2020河北邢台高三期末（理）的展开式的常数项为ABCD【答案】A【解析】【分析】先对多项式进行变行转化成，其展开式要出现常数项，只能第1个括号出项，第2个括号出项.【详解】，的展开式中的常数项为.故选：A.【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，考查运算求解能力，求解的关键是对多项式进行等价变形，同时要注意二项式定理展开式的特点.例13（2021山西大附中高三阶段练习（理）的展开式中常数项为_.【答案】【解析】【分析】的展开式中的常数项由
9、两部分构成,一部分为,一部分为,求和即可.【详解】中的常数项为,故答案为:88【点睛】本题考查二项式定理,考查多项式的展开式,考查运算能力.类型四：有关二项式系数的性质及计算的问题例14（2022吉林东北师大附中高二期末）已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大(1)求n的值；(2)求展开式中含的项【答案】(1)10；(2)；【解析】【分析】(1)利用二项式系数的性质即可求出的值；(2)求出展开式的通项公式，然后令的指数为即可求解(1)的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，展开后一共有11项，则，解得；(2)二项式的展开式的通项公式为，令，解得，展开式中含的项为例15（2022全国高二单元
10、测试）已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由题设可得求出n，进而求的展开式通项公式，根据二项式系数最大，结合对称性知，即可得二项式系数最大的项.（2）要使系数的绝对值最大，即最大，应用不等式法求对应值，即可得系数的绝对值最大的项.(1)令，则的系数和为，而的二项式系数和为，由题设，可得，则，解得，所以的展开式通项为，要使二项式系数最大即，则.(2)要使系数的绝对值最大，即最大，则，可得，所以，又，即，故系数的绝对值最大的项为.例16（2021山东德州市第一中
11、学高二阶段练习）在二项式的展开式中，_给出下列条件：若展开式前三项的二项式系数的和等于22；所有奇数项的二项式系数的和为32.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：(1)求展开式中二项式系数最大的项；.(2)求展开式的常数项.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【解析】【分析】选择：，利用组合数公式，计算即可；选择：转化为，计算即可；小问1：由于共项，根据二项式系数的性质，二项式系数最大的项为第，利用通项公式计算即可；小问2：写出展开式的通项，令，即得解(1)选则即：，解得或（舍） 选则,二项式系数最大的项为(2)令，则展开式的常数项为：例17（2022福建宁德高二期末
12、）在二项式的展开式中，_给出下列条件：若展开式前三项的二项式系数的和等于37；若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7：2；所有偶数项的二项式系数的和为128试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：(1)求展开式中x的系数；(2)写出展开式中二项式系数最大的项（不需要说明理由）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据所选条件求出的值，即可得到二项式展开式的通项，即可求出展开式中的系数；（2）根据展开式的二项式系数的特征，得到第5项的二项式系数取得最大，再根据通项计算可得；(1)解：因为展开式中第项的二项式系数为，若
13、选，则，即，即，即解得或（舍去）若选：则，解得；若选：则，解得；综上可得即为则展开式的通项为，令解得，所以，故展开式中的系数为；(2)解：因为展开式中一共含有项，故第5项二项式系数最大，即展开式中二项式系数最大的项为；类型五、利用赋值法进行求有关系数和例18（2022全国模拟预测）已知展开式的各项系数和为64，则所有含“y”的项的系数和为_.【答案】0【解析】【分析】令，根据题意求得，再令，求得所有不含“y”的项的系数和，即可求得结果.【详解】令，可得，据题意可得，即有；令，可得，即所有不含“y”的项的系数和为64，故可得含“y”的项的系数和为0.故答案为：.例19（2022安徽省亳州市第一中
14、学高二期末）已知，下列命题中，正确的是（）A展开式中所有项的二项式系数的和为；B展开式中所有奇次项系数的和为；C展开式中所有偶次项系数的和为；D.【答案】ABD【解析】【分析】由二项式定理知的所有项的二项式系数和为，分别令、，再将所得作和差处理，求奇偶次项的系数和，根据通项，即可求，进而判断各选项的正误.【详解】A：由二项式知：，正确；当时，有，当有，B：由上，可得，正确；C：由上，可得，错误；D：由二项式通项知：，则，所以，正确.故选：ABD.例20（2022全国高三专题练习）在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项
15、式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和.【答案】(1)210(2)1(3)29，29(4)奇数项系数和为，偶数项系数和为【解析】【分析】（1）二项式系数的和直接使用公式进行求解；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和，直接利用公式进行求解；第（2）问和第（4）问：设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10(*),各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为，
16、偶数项的二项式系数和为.(4)设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，其中得：，奇数项系数和为；得：，偶数项系数和为.例21（2021全国高三专题练习）的展开式中各项的指数之和再减去各项系数乘以各项指数之和的值为（）A0BCD【答案】C【解析】将展开，利用题中信息可求得结果.【详解】，所以，的展开式中各项的指数之和为，展开式中各项系数乘以各项指数之和为，因此，所求结果为.故选：C.【点睛】求解二项展开式中有关项的指数与系数的问题，一般将二项式展开，也可以利用二项式定理来求解.
17、（多选题）例22（2022吉林东北师大附中高二期末）已知，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】BC【解析】【分析】分别令，求出对应的A，B，C选项，然后再求出展开式中含的项即可求出，由此即可判断【详解】令，则，故A错误；令，则，故B正确；令，则，可得：，故C正确；展开式中含的项为，故，所以D错误，故选：BC例23（2022浙江慈溪中学高三阶段练习）已知，.若，则_；_.【答案】 2 40【解析】【分析】先根据赋值法求，再利用二项式定理求特定项系数.【详解】令，得，所以含项系数为.故答案为：2；40.类型六、 二项式定理的综合运用例24（2022全国高二单元测试）设，且，若能被13整除，则a等
18、于（）A0B1C11D12【答案】B【解析】【分析】由且可以被13整除，即其展开式中不含的项为余项，该余项与a的和能被13整除，即可得参数值.【详解】由，展开式通项为，又可以被13整除，所以展开式中的项均可被13整除，余项为，要使能被13整除，且，则.故选：B例25（2021浙江省杭州第二中学模拟预测）小猫在一个物理问题计算过程中遇到了对数据的处理，经过思考，小猫决定采用精确到的近似值，则这个近似值是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理展开，再求解精确到的近似值.【详解】故选：B.例26（2021全国高二课时练习）的计算结果精确到个位的近似值为A106B107C108D109【
19、答案】B【解析】【分析】由题得，再利用二项式定理求解即可.【详解】，.故选B【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.（多选题）例27（2022全国高二课时练习）设，且，若能被13整除，则的值可以为（）A0B11C12D25【答案】CD【解析】【分析】由于，按二项式定理展开，再由，确定出的值即可.【详解】 ，又52能被13整除，需使能被13整除，即能被13整除，又，或25.故选：CD例27（2021全国高二课时练习）的计算结果精确到0.001的近似值是_【答案】0.941【解析】【分析】利用二项展开式可求近似值.【详解】，故答案为：0.941
20、.例28（2021全国高二课时练习）求证:（1）能被7整除；（2）是64的倍数【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据二项式定理展开，将问题转化为证明整除7，再根据，利用二项式定理展开即可证明；（2）由于，进而根据二项式定理展开整理即可证明.【详解】证明：（1），易知除以外各项都能被7整除又，显然上式能被7整除，能被7整除（2），是64的倍数例29（2021全国高二课时练习）求证：.【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用二项式定理直接证明.【详解】左边=1=右边.即证.例30（2021全国高二课时练习）求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】由得是的展开式中的系
21、数，是的展开式中的系数，由组合数的性质可得证.【详解】证明:因为，所以，而是的展开式中的系数，是的展开式中的系数，所以因为，所以例31（2021全国高三专题练习）数列满足，是的前n项的和，（1）求；（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）通过累乘法求通项，再求前n项和即可.（2）通过二项展开式直接放缩即可求解【详解】解：（1）当时，由-得，即，又得，故（2）证明：因此，另一方面，易证则因此，有，当时，左边等号成立【同步练习】一、单选题1（2022全国高二单元测试）的展开式的各项系数和为（）A256B257C254D255【答案】A【解析】【分析】直接令可得答案.【详解
22、】令得，即的展开式的各项系数和为256.故选：A.2（2022辽宁瓦房店市高级中学高二期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中出现.如图所示的杨辉三角中，第8行，第3个数是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641A21B28C36D56【答案】B【解析】【分析】由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，可得第8行，第3个数是为，即可求解【详解】解：由题意知第8行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，故第8行，第3个数是为故选：B3（2022江苏省如皋中学高二期末）若，则=（）A244B1
23、CD【答案】D【解析】【分析】分别令代入已知关系式，再两式求和即可求解.【详解】根据，令时，整理得：令x = 2时，整理得:由+得，所以.故选：D.4（2022辽宁大连八中高二期末）若，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】设，计算出、的值，利用平方差公式可求得结果.【详解】设由已知可得，因此，.故选：D.5（2021辽宁营口高二期末）将的展开式按x的降幂排列，第二项不大于第三项，若，且，则实数x的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】按照二项展开式展开表示出第二项第三项，解不等式即可.【详解】由二项展开式，第二项为：，第三项为：，依题意，两边约去得到，即，由知，则，同时约去得到.
24、故选：A.6（2022辽宁葫芦岛高二期末）的展开式中，常数项为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.【详解】的展开式通项为，令，可得，因此，展开式中常数项为.故选：A.7（2022辽宁辽阳高二期末）的展开式中x的系数是（）AB152C88D【答案】C【解析】【分析】先求出的展开式的通项公式，则所求的x的系数为的展开式中的常数加上3倍的的展开式中的二次项系数【详解】因为的展开式的通项为，所以的展开式中x的系数是故选：C8（2021北京八中高二期末）中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除得余
25、数相同，则称a和b对模m同余，记为，若，则b的值可以是（）A2020B2021C2022D2023【答案】B【解析】【分析】利用二项式定理可得，再利用二项式定理展开即可得解.【详解】因为,四个选项中，只有时，除以10余数是1故选：B二、多选题9（2022辽宁丹东高二期末）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（）A各项二项式系数和为128B项数为奇数的各项系数和为64C有理式项共有4项D第4项与第5项系数相等且最大【答案】AC【解析】【分析】根据二项式共有8项，确定n=7，根据二项式系数和为 ，可判断A正确；计算出项数为奇数的各项系数和为64，可判断B错误；根据通项公式可看到有理项有四项，可判
26、断C正确；算出第4项与第5项系数，可判断D的正误.【详解】的二项展开式共有8项,故n=7;则二项式系数和为 ，故A正确；的通项公式为，故项数为奇数的各项系数和为 ,故B错误；根据，当r取0，2，4，6时，为有理式项，故C正确； ，第四项与第五项的系数互为相反数，故D错误，故选：AC.10（2022山东莱西高二期末）对于的展开式，下列说法正确的为（）A各项的系数之和为0B第三项的系数为55C第6项系数最小D第6项与第7项的二项式系数相等且最大【答案】AC【解析】【分析】根据二项式定理、二项式系数的性质求解判断【详解】在已知式中令可得各项系数和为，A正确；由得第三项系数为，B错误；展开式中中间两项
27、第6项和第7项的二项式系数相等且最大，而第6项系数为负，第7项系数为正，因此第6项系数最小，C正确，D错误故选：AC11（2021辽宁凤城市第一中学高二阶段练习）对任意实数，有.则下列结论成立的是（）ABCD【答案】BCD【解析】【分析】，令，可得，即可判断A；利用二项展开式的通项即可求得，即可判断B；令，可得，即可判断C；令，可得，即可判断D.【详解】对任意实数，有 ，令，可得，故A错误；所以，故B正确；令，可得，故C正确；令，可得，故D正确.故选：BCD.12（2021全国高二单元测试）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）AB展开式中常数项为160C展开式中各项系数的绝对
28、值的和为1450D若k为偶数，则展开式中和的系数相等【答案】AD【解析】【分析】此题考查二项式定理展开式公式，通过公式即可对选项逐个进行验证是否正确.【详解】对于A，令二项式中的x为1，得到展开式的各项系数的和为，故A正确对于B，展开式中常数项为，故B错误对于C，的展开式中各项系数的绝对值的和与的展开式中各项系数的和相等，对于，令，可得，的展开式中各项系数的绝对值的和为1458，故C错误对于D，的展开式的通项为，的展开式的通项为，当k为偶数时，保证展开式中和的系数相等，则和x的系数相等，的展开式中的系数为，x的系数为，此时和x的系数相等；和的系数相等，的展开式中的系数为，的系数为，此时和的系数
29、相等；和的系数相等，的展开式中的系数为，的系数为，此时和的系数相等，故D正确故选：AD三、填空题13（2022辽宁瓦房店市高级中学高二期末）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位小于百位且百位小于万位的五位数有n个，则的展开式中，的系数是_.（用数字作答）【答案】2022【解析】【分析】根据排列和组合计数公式求出，然后利用二项式定理进行求解即可【详解】解：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有个，即，当时，则的系数是，故答案为：202214（2022安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）展开式中的常数项是_.【答案】【解析】【分析】
30、由题可得，即得.【详解】因为展开式的通项为令，可得常数项是.故答案为：.15（2021河北武安市第一中学高二阶段练习）已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则_.【答案】3600【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项，即得的值再根据等比数列的性质求得的值【详解】二项式展开式的通项公式为令，故展开式的常数项为由题意可得，等比数列的第5项为展开式的常数项，即，故答案为：16（2021全国高二课时练习）填空：（1）的展开式中二项式系数的最大值是_；（2）_；（3）被5除所得的余数是_【答案】 252 1【解析】【分析】（1）可得中间项的二项式系数
31、最大，即第6项的二项式系数最大；（2）根据的展开式，分别令和可求出；（3）根据的展开式可判断.【详解】（1）的展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，最大值为；（2）因为，令可得，令可得，两式相减可得，则；（3），除了最后一项外其余项都可以被5整除，又，因为256除以5余1，所以被5除所得的余数是1.故答案为：252；1.17（2021上海师大附中高二期中）在的展开式中，有理项的项数为_项.【答案】338【解析】【分析】求出通项公式，令的系数为整数，找出符合的值即可.【详解】二项式的通项为，则，也符合，故有理项的项数为：338项.故答案为：338四、解答题18（20
32、22辽宁锦州高二期末）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件：展开式前三项的二项式系数的和等于37；条件：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知_.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)设，求的值；(3)求的展开式中的系数.【答案】(1)答案见解析(2)0(3)560【解析】【分析】（1）选择，由，得，选择，由，得；（2）利用赋值法可求解；（3）分两个部分求解后再求和即可.(1)选择，因为，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为选择，因为，解得，所以展开式中二项式系数最大的项为(2)令，则，令，则，所以，(3)因为所以的展开式中含的
33、项为：所以展开式中的系数为560.19（2022全国模拟预测）（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）2013；（2）.【解析】【分析】（1）根据，分别令，求解； （2）根据展开式的通项为，由求解【详解】（1）令，得，再令，得，那么，.（2）因为展开式的通项为，所以当r为偶数时，系数为正；当r为奇数时，系数为负.故有.令二项式中的，得.故.20（2022全国高二课时练习）求的展开式【答案】【解析】【分析】直接根据二项式定理展开即可.【详解】解：根据二项式定理，所以21（2021福建省龙岩第一中学高二阶段练习（文）已知m，n是正整数，f（x）(1x)m(1x)n的展开式中x的系数为7（
34、1）对于使f（x）的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；（2）利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)（3）已知(12x)8的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求【答案】（1）5；（2）2.02；（3）【解析】【分析】（1）由题可得，即得；（2）利用二项式展开式可得；（3）由题可得a，再列出不等式组，即解.【详解】（1）根据题意得，即mn7，f（x）中的x2的系数为，将变形为n7m代入上式得x2的系数为m27m21，故当m3或m4时，x2的系数有最小值为9当m3，n4时，x3的系数为；当m4，n3时，x3的系数为即此时x3的系数为5.（2）f(0.
35、003)(10.003)4(10.003)30.0030.0032.02（3）由题意可得，a70，展开式的通项为，由即k5或6时系数最大，此时，b728，.22（2021江苏连云港高二期末）（1）求的近似值；（结果精确到0.001）（2）设，且，若能被13整除，求a的值【答案】（1）0.976；（2）1.【解析】【分析】（1）根据，按照二项式定理展开，可得结果；（2）根据，按照二项式定理展开，根据它能被13整除，可得结果.【详解】解：（1）（2）其中能被13整除， 只需能被13整除，由，得，故23（2021黑龙江哈尔滨三中高二阶段练习）（1）证明：；（2）计算：.【答案】（1）证明见解析；（2
36、）.【解析】【分析】（1）把组合数用阶乘表示后可证；（2）由（1）把式子中每一项变形后利用二项式定理可得【详解】（1）.（2）.24（2020云南梁河县第一中学高二阶段练习（理）已知数列满足，时，.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）试比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）证明见解析，；（2）当或2时；当时，；当时，理由见解析.【解析】（1）根据等比数列的定义证明，注意要强调，由此可求得，再构造新数列是等比数列，从而可得通项公式；（2）由（1）可直接比较时两式大小，时，由，利用二项式定理可比较它与的大小【详解】（1）证明：当时，又，数列是以2为首项以2为公比的等比数列，数列是以为首项以为公比的等比数列，数列的通项公式为（2）由（1）知：当时，当时，当时，当时，综上：当或2时；当时，；当时.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查构造新数列求通项公式，考查二项式定理的应用构造新数列是解题关键