1、7.1复数的概念 【知识点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位数叫做虚数单位，它的平方等于，即。知识点诠释：是1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。2.复数的概念形如（）的数叫复数，记作：（）；其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示。知识点诠释：复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数（）若b=0,则a+bi为实数，若b0,则a+bi为虚数，若a=0且b0，则a+bi为纯虚数。分类如下：（）用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间
2、的关系（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）5共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。通常记复数的共轭复数为。知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果，那么特别地：.知识点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bic+di（a，b，c，dR）（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而
3、不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.知识点三：复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.知识点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是复数的一种几何意义。3.复数集与复平面中的向量的对
4、应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数。设复平面内的点表示复数（），向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定。复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即复数平面向量这是复数的另一种几何意义。4.复数的模设（），则向量的长度叫做复数的模，记作.即.知识点诠释：两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等。【典型例题】类型一、复数的基本概念例1（2022全国高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）ABCD【
5、答案】C【详解】由题意，所以故选：C例2（2021全国高一课时练习）设集合，则，间的关系为（ ）ABCD【答案】B【详解】根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数因此只有B正确故选：B例3（2021河北高三阶段练习）复数满足，则的虚部为（ ）ABCD【答案】D【详解】解：根据题意，设，（，为虚数单位），则，所以，所以，即所以，其虚部为.故选：D例4（2019贵州沿河民族中学高二开学考试（理）已知复数（i是虚数单位）（1）复数z是实数，求实数m的值；（2）复数z是虚数，求实数m的取值范围；（3）复数z是纯虚数，求实数m的值.【解析】（1）复数z是实数，则，解得或；（2）
6、复数z是虚数，则，解得且且；（3）复数是纯虚数，则，解得.例5（2021重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【解析】（1）若复数为实数，则 ，可得，所以当时，复数表示实数.（2）若复数为虚数，则，可得且，所以当且时，复数表示虚数.（3）若复数为纯虚数，则，解得：所以当时，复数为纯虚数.例6（2021全国高一课时练习）写出复数4， 23i，0，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.【详解】4，23i，0，6i的实部分别是4，2，0，2，0；虚部分别是0，0，3，0，6.4，0是实数；23i，6i是虚数，其中6i是纯虚数
7、.类型二、复数相等例7（2021全国高一课时练习）当xy为何实数时，复数等于2？【详解】根据题意可知，实部等于2，虚部等于0，即，解方程得 ， ， 所以或或或.故答案为：或或或.例8（2021全国高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：（1）；（2）【解析】（1）由题意，解得（2）由题意，解得例9（2021上海市宝山中学高二期中）已知复数，若，则_.【答案】【详解】解：因为所以，解得所以故答案为：例10（2021山东泰安一中模拟预测）设复数满足，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：_.【答案】【详解】设，由，可得，解得，又是纯虚数，设且，则，则，解得，所以或.故答案为：类型三、复数的几
8、何意义例11（2022山西怀仁高三期末（文）复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ）ABCD【答案】B【详解】不妨设复数，则有：则有：故有：解得：故选：B例12（2021贵州贵阳高三阶段练习（理）在复平面内，复数2，4对应的点分别为A，B.若C为线段AB上的点，且，则点C对应的共轭复数是（ ）ABCD【答案】C【详解】由题意知，复平面内点A和点B的坐标分别为，设点C的坐标为所以，根据得，计算得所以点C对应的复数为，其共轭复数为，选项C正确.故选：C.例13（2021广西模拟预测（文）若，则复数在复平面内对应的点在（ ）A直线上B直线上C直线上D直线上【答案】D【详解】解：，所以复数在复平面
9、内对应的点为，显然点在直线上.故选:D例14（2022河南温县第一高级中学高三阶段练习（理）设是复数的共轭复数.在复平面内，复数与对应的点关于轴对称，则（ ）ABCD【答案】B【详解】解：设，则，依题意得，解得，.故选：B.例15（2022河北高三阶段练习）在复平面中，已知复数对应的点在第二象限，则实数的可能取值为（ ）ABCD【答案】CD【详解】因为复数在第二象限，所以故选：CD.例16（2022江西上饶高二期末（文）已知复数，其中i是虚数单位，m为实数（1）当复数z为纯虚数时，求m的值；（2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围【解析】（1）因为为纯虚数,所以解得或，且且
10、综上可得,当为纯虚数时;（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限,解得或，且即,故的取值范围为.类型四、复数的模例17（2022河南洛阳一模（理）已知复数，则（ ）A4B3C2D1【答案】D【详解】由题意，.故选：D.例18（2021湖北武汉高三阶段练习）复数z的虚部为，模为2，复数z对应的点位于复平面第二象限，则复数对应的点位于复平面内（ ）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限【答案】B【详解】由题可设，则，解得，因为z对应的点位于复平面第二象限，所以，则，所以复数对应的点位于复平面内的第三象限.故选：B.例19（2021全国高一课时练习）已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为_【答
11、案】【详解】设，则故答案为：类型五、复数的轨迹与最值问题例20（2021全国高一课时练习）设全集UC， Az|z|1|1|z|，zC，Bz|z|1，zC，若zA(UB)，求复数z在复平面内对应的点的集合【详解】解因为zC，所以|z|R，所以1|z|R，由|z|1|1|z|，得1|z|0，即|z|1，所以Az|z|1，zC又因为Bz|z|1，zC，所以UBz|z|1， zC因为zA(UB)等价于zA且zUB，所以成立，则有|z|1，由复数模的几何意义可知，复数z在复平面内对应的点的集合是以原点O为圆心、1为半径的圆例21（2021江苏金陵中学高三阶段练习）若复数满足，则的最大值是_.【答案】3【
12、详解】设，则，根据复数几何意义知，表示在复平面内，到的距离，则最大值为，故答案为：3例22（2021重庆市实验中学高三阶段练习）设复数满足，则=_.【答案】0【详解】设复数，由，可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，由可得复数对应的点在以和为端点的线段的垂直平分线上，所以，又由，解得，所以.故答案为：.【同步练习】一、单选题1（2021浙江绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）A0B1CD2【答案】C【解析】【分析】根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可；【详解】
13、解：是纯虚数，则，解得，故选：C.2（2021河南模拟预测（文）已知、，则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】因为，所以，解得，故.故选：A.3（2021上海市徐汇中学高二期末）下列命题中，正确的是（ ）A任意两个复数都能比较大小B任意两个复数都不能比较大小C设，如果，那么D设，如果，那么【答案】C【解析】【分析】利用复数的概念与性质判断选项的正误，即可得到结果【详解】当两个复数有虚数时，不可以比较大小，所以A错误；当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以B错误；因为，且，所以是实数，故，所以C正确；因为，若，则，但
14、是此时与不能比较大小，所以D错误.故选:C.4（2021河南高三开学考试（文）设复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】设,结合，根据复数相等的条件列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】设，则，因为，可得，即，所以，解得，所以，所以的虚部为.故选：C.5（2021浙江高三开学考试）复数的虚部是（ ）AiBC1D-1【答案】C【解析】【分析】利用复数的的性质进行运算求解即可【详解】，所以虚部为1故答案选：C6（2021云南高三期中（文）已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【解析】【分析】根据
15、复数的模化简求出，即可判断对应的点所在象限.【详解】，对应点在第四象限，故选：D7（2021新疆昌吉模拟预测（文）若复数是纯虚数（为虚数单位，），则（ ）A2B4CD【答案】C【解析】【分析】利用纯虚数的概念可得，再利用复数的模的概念即得.【详解】因为复数是纯虚数，所以，.故选：C.8（2022浙江高三专题练习）已知复数，并且，则的取值范围是（ ）.ABCD【答案】A【解析】【分析】根据复数相等的充要条件消去可将用表示，根据三角函数的有界性结合二次函数的单调性即可得出结果.【详解】，化为，当时，取得最小值；当时，取得最大值7，的取值范围是，故选：A.二、多选题9（2021山东莱西高一期末）设复
16、数，为虚数单位，则下列结论正确的为（ ）A当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限B若复数在复平面上对应的点位于直线上，则C若复数是纯虚数，则D在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则【答案】AC【解析】【分析】由，得，然后逐个分析判断即可【详解】由，得，对于A，当时，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，对于D，由，得，则，由，得，得或，所以D错误，故选：AC10（2021广东白云高一期末）已知复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）A当时，复平面内表示复数的
17、点位于第二象限B当时，为纯虚数C最大值为D的共轭复数为【答案】BC【解析】【分析】利用复数的几何意义、概念及共轭复数的含义即可判断.【详解】对于A，当时，复平面内表示复数的点位于第四象限，故A错误；对于B，当时，为纯虚数，故B正确；对于C，最大值为，故C正确；对于D，的共轭复数为，故D错误.故选：BC.11（2021全国高一期中）下列说法正确的有（ ）A任意两个复数都不能比大小B若，则当且仅当时， C若，且，则D若复数z满足，则的最大值为3【答案】BD【解析】【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可.【详解】解：对于A选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以
18、A不正确；对于B选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；对于C选项，当，满足，但，所以C不正确；对于D选项，复数z满足，则复数z在复平面内的轨迹为单位圆，则的几何意义，是单位圆上的点到的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD.12（2021江苏南京市第二十九中学高二期中）“虚数”这个词是世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设是方程的根，则（ ）ABC是该方程的根D是该方程的根【答案】AB
19、D【解析】【分析】根据每个选项的描述进行判断，即可得出结果.【详解】解：对于A选项，由于是方程的根，则，而，故，选项A正确；对于B选项，由虚根成对定理可知，也是方程的根，故，选项B正确；对于C，且，故不是该方程的根，选项C错误；对于D，而，代入方程得，是该方程的根，即是该方程的根，选项D正确.故选：ABD.三、双空题13（2019浙江台州模拟预测）已知是复数，是虚数单位，且，则_，复数在复平面内对应的点位于第_象限【答案】 二【解析】【分析】利用共轭复数的定义求出，然后根据复数相等求出参数的值，即得复数，进而可得及复数在复平面内对应的点所在的象限【详解】因为，所以，所以，所以，解得，所以，所以
20、，复数在复平面内对应的点为，位于第二象限故答案为：；二【点睛】本题主要考查共轭复数的定义、复数相等、复数的模、复数的几何意义、复数的运算等，考查考生的运算求解能力四、填空题14（2021湖北高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_【答案】或6【解析】【分析】根据复数的几何意义得对应点的坐标在虚轴上，解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为，若点在虚轴上，则，解得或故答案为：或6.15（2021福建福州高三期中）已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165得到，则_.【答案】【解析】【分析】结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解【详解】解：在复平面内对应
21、的点为，所以，且与轴正方向的夹角为，将其逆时针旋转后落在第三象限，且与轴负半轴的夹角为，所以对应的点为，所以故答案为：16（2022上海高三专题练习）已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，若向量，则向量的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据已知条件一元二次方程根的特征可知，也是的虚数根，结合已知条件，利用根与系数之间的关系和判别式求出的取值范围，然后再利用向量的模长公式和一元二次函数性质即可求解.【详解】不妨设，因为是实系数一元二次方程的一个虚数根，所以也是的一个虚数根，从而 ，又因为无实根，所以 ，由可得，因为，所以，由一元二次函数性质易知，当时，有最小值5；当时，；当时，故当时，即
22、，故向量的取值范围为：.故答案为：.五、解答题17（2022江西上饶高二期末（文）已知复数，其中i是虚数单位，m为实数(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围【解析】(1)因为为纯虚数,所以解得或，且且综上可得,当为纯虚数时;(2)因为在复平面内对应的点位于第三象限,解得或，且即,故的取值范围为.18（2021广东高州高一期末）已知，是复平面上的四个点，其中，且向量，对应的复数分别为，（1）若，求，；（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求【解析】解：（1）由题意可知，所以，所以又，所以所以所以，（2）由已知可得，所以，又，所以，解得或
23、（舍），又对应的点在第二象限，所以，可得，可得19（2021安徽合肥一六八中学高一期中）如图，已知复平面内平行四边形中，点A对应的复数为，对应的复数为对应的复数z，且（1）求D点对应的复数；（2）求平行四边形的面积.【解析】解：（1）依题意，点对应的复数为，对应的复数为，所以，可得又对应的复数，且，所以，所以，可得设点对应的复数为，所以，为平行四边形，即解得，故点对应的复数为（2）由（1）可知，可得：，又，故平行四边形的面积20（2021重庆高二期末）已知复数满足，的实部与虚部的积为.（1）求；（2）设， ，求的值.从；为纯虚数；在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【解析】（1）解：由，解得，所以.（2）若选，由，则，解得若选，由题意，解得若选，由题意，解得.21（2021全国高一专题练习）已知为虚数单位，关于的方程的两根分别为，（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值【解析】解：（1）为方程的根，所以，整理得到：，由可得.（2）由方程可得，若即或，则，则，即，解得，若即，则，即，解得，综上所述，实数的值为或22（2021上海市实验学校高一期末）已知复数（其中、），存在实数，使成立（1）求证：；（2）求的取值范围【解析】（1）证明：（其中、，存在实数，使，则，可得，消去可得；（2）解：，