1、2022 年北京市海淀区年北京市海淀区三校联考三校联考中考数学零模试卷中考数学零模试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，共 16 分。 ） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是( ) A. B. C. D. 3. 如图，/，直线分别交，于，两点，将一个含有45角的直角三角尺按如图所示的
2、方式摆放，若 = 75，则等于( ) A. 15 B. 25 C. 30 D. 45 4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中不正确的是( ) A. | B. 0 C. + 0 5. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 将函数 = 2+ + ( 0)的图象向下平移两个单位，以下错误的是( ) A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. 随的变化情况不变 D. 与轴的交点不变 7. 如图，正方形的边长为2，以为直径的半圆与对角线相交于点，则图中阴影部分的面积为( ) A. 52+14 B. 3214 C. 52
3、12 D. 5214 8. 小明同学利用计算机软件绘制函数 =(+)2(、为常数)的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数、的值满足( ) A. 0， 0 B. 0， 0 C. 0 D. 0， ”，“=”或“”) 13. 如图， 的半径为2， ， = 22.5，则弦的长为_ 14. 如图，在5 4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin的值为 15. 如图， 在平面直角坐标系中， 菱形的顶点在轴上， 边在轴上，若点的坐标为(12,13)，则点的坐标为_ 16. 为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校名学生进行调查，获得的数据整理后绘
4、制成统计表如表： 每周课外阅读时间(小时) 0 2 2 4 4 6 6 8 8 合计 频数 8 17 15 频率 0.08 0.17 0.15 1 表中4 2( 3)3+24 ，并写出该不等式组的所有非负整数解 19. (本小题5.0分) 先化简，再求值：(213 1) +126+9，其中 = 3 2 20. (本小题5.0分) 已知关于的方程2 6 + 92 4 = 0 (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为1，2，其中1 2，且1= 22，求的值 21. (本小题6.0分) 如图，在 中，平分，的垂直平分线分别交，于点，连接， (1)求证：四边形是菱形； (
5、2)若 = 30， = 45， = 6，求的长 22. (本小题6.0分) 在平面直角坐标系中， 直线 = + 与双曲线 =( 0)交于， 两点， 点， 点的横坐标，满足 ，直线 = + 与轴的交点为(3,0)，与轴的交点为 (1)求的值； (2)若= 2，求的值； (3)当 2时，直接写出的取值范围 23. (本小题4.0分) 如图，是上一定点，是弦上一动点，为中点，连接，过点作/交于点，连接，.已知 = 8，设，两点间的距离为，两点间的距离为.(当点与点重合时，令的值为1.30) 小荣根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究 下面是小荣的探究过程，请补充完整： (1)
6、按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了与的几组对应值： / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 / 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 2.08 2.39 (2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)结合函数图象，解决问题：当 时，的长度约为_ 24. (本小题6.0分) 某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表 分数段 频数 频率 74.579.5 2 0.05 79.584.5 0.2 84.589.5 12 0.3 89.594.5 14
7、 94.599.5 4 0.1 (1)表中 =_， =_； (2)请在图中补全频数分布直方图； (3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_分数段内； (4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率 25. (本小题6.0分) 如图， 是 的直径， 弦 ， 垂足为， 为上一点， 过点作 的切线， 分别交， 的延长线于点，.连接，交于点 (1)求证： = ； (2)连接，若/， = 8， =45，求的长 26. (本小题6.0分) 在平面直角坐标系中，设二次函
8、数 = ( + )( 1)( 0)， (1)求二次函数对称轴； (2)若当1 3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标 (3)抛物线上两点(1,1)，(2,2)若对于 1 + 1， + 2 2 + 3都有1 2，求的取值范围 27. (本小题7.0分) 在等边 中，将线段绕点顺时针旋转(0 180)得到线段 (1)若线段的延长线与线段相交于点(不与点，重合)，写出满足条件的的取值范围； (2)在(1)的条件下连接、交的延长线于点 依题意补全图形； 用等式表示线段，之间的数量关系，并证明 28. (本小题7.0分) 在平面直角坐标系中， 的半径为1， 对于线段， 给出如下定义： 若将线段沿
9、着某条直线对称可以得到 的弦(,分别为，的对应点)，则称线段是 的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴” (1)如图1，线段、中是 的以直线为对称轴的“反射线段”有_； (2)已知点的坐标为(0,2)，点坐标为(1,1) 如图2，若线段是 的以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标是_ 若将“反射线段”沿直线 = 的方向向上平移一段距离， 其反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围为12 136，求的取值范围 (3)已知点、是在以(2,0)为圆心，半径为13的圆上的两个动点，且满足 = 2，若是 的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，反射轴与轴的
10、交点的纵坐标的取值范围是_ 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 所以，中心对称图有2个 故选： 根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合 2.【答案】 【解析】解：乙所示的几何体的是左视图底层是一个小正方形，小正方形有一个内切圆；上层是一个矩形 故选： 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 本题考查了简单组合体的三视图，解决本题的关键是掌握从左边看得到的图形是左视图 3.【答案
11、】 【解析】解： /， = = 75， = 45， = = 30， 故选： 根据平行线的性质得到 = = 75， 由等腰直角三角形的性质得到 = 45， 即可得到结论 本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 4.【答案】 【解析】解：由数轴可知： | 1，1 2，| 成立，选项正确，不符合题意； 0成立，选项正确，不符合题意； + 0成立，选项正确，不符合题意； 0时， 0， 0 0； + = 0时函数值不存在， 结合图象可知函数值不存在时， 0， = 0 故选： 由图象可知，当 0时， 0，可知 0 本题考查函数的图象，根据当 0时， 0及 + = 0
12、函数值不存在即可解答 9.【答案】 2 【解析】解：根据题意得 2 0， 解得： 2； 故答案为： 2 根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式 2 0，解得答案 本题主要考查自变量得取值范围的知识点，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0 10.【答案】8.4 106 【解析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定 解：0.0000084 = 8.4 106 故答案为：8.4 106 此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 10，其中
13、1 | 【解析】解：第一组和第二组数据都是间隔为2的偶数， 两组数据波动情况相同， 即：12= 22， 第三组数据是相差为1的整数， 方差最小， 即：12= 22 32， 故答案为：=， 根据方差是反映数据波动情况的量进行判断即可 本题考查了方差的知识，解题时可以直接根据波动情况判断，也可以利用方差公式计算后确定答案，难度不大 13.【答案】22 【解析】解：如图，连接， = 22.5， = 45， ， = 2， = 2 22= 2， = 22 故答案为：22 连接， = 22.5，由圆周角定理知 = 45，又因为 ， = 2，由锐角三角函数知 = 2 22= 2，所以 = 22 本题主要考查
14、了垂径定理，圆周角定理，连接运用垂径定理，特殊角的三角函数是解答此题的关键 14.【答案】45 【解析】解：如图，过点作 于点， 则 = 90，由勾股定理得： = 32+ 42= 5， sin =45 故答案为：45 过点作 于点，则在 中，先由勾股定理得出的长，再按照正弦函数的定义计算即可 本题属于对解直角三角形基础知识的考查，明确勾股定理及正弦函数的定义是解题的关键 15.【答案】(0,8) 【解析】解： (12,13)， = 12， = 13， 四边形是菱形， = = 13， 在 中， = 2 2= 5， = = 13， = = 13 5 = 8， (0,8)， 故答案为：(0,8) 在
15、 中，利用勾股定理求出即可解决问题 本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 16.【答案】 【解析】解：8 0.08 = 100 故表中的值为100，是合理推断； 25 100 = 0.25， 35 100 = 0.35， 1 0.08 0.17 0.35 0.15 = 0.25， 1 0.08 0.17 0.25 0.15 = 0.35， 故表中的值为0.25 0.35，表中的值可以为0.31，是合理推断； 表中4 6组的频数满足25 35 8 + 17 + 25 = 50，8 + 17 + 35 = 60， 这100名学生每周课外阅读时间
16、的中位数可能在46之间，也可能在68之间，故此推断不是合理推断； 这名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过6，故此推断不是合理推断 故答案为： 根据数据总和=频数频率，列式计算可求的值； 根据4 6组的频数满足25 35，可求4 2( 3)3+24 ， 由得： 1， 由得： 2， 不等式组的解集为1 0 方程有两个不相等的实数根； (2)解：2 6 + 92 4 = 0，即 (3 + 2) (3 2) = 0， 解得： = 3 2 3 + 2 3 2， 1= 3 + 2，2= 3 2， 3 + 2 = 2(3 2) = 2 【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 = 16 0，由
17、此可证出此方程有两个不相等的实数根； (2)利用分解因式法解方程可得出方程的根 = 3 3，结合1 2、1= 22即可找出关于的一元一次方程，解之即可得出结论 本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当 0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根 21.【答案】(1)证明： 平分， = ， 垂直平分， = ， = ， = ， = ， = = = ， /，/， 四边形是平行四边形， 又 = ， 四边形是菱形； (2)解：如图，过点作 ， 四边形是菱形， = = 6，/ = = 30， 又 ， = 3， = 3 = 3
18、3， = 45， ， = = 45， = = 3， = + = 3 + 33 【解析】(1)由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证 = = = ，可得/，/，由菱形的判定可证结论； (2)过点作 ， 由菱形的性质可得 = = 6， /， 由直角三角形的性质可得 = = 3， = 3 = 33，即可求的长 本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键 22.【答案】解：(1)把(3,0)代入 = + 得0 = 3 + ， = 3 (2)将 = 2代入 = + 3得 = 2 + 3 = 1， 点坐标为(2,1) 将(2,1
19、)代入 =得1 =2， 解得 = 2 (3)由(1)得一次函数解析式为 = + 3 直线与轴交点的坐标为(0,3) 如图，当 0时，直线与双曲线交点在第一象限， 当 = 2时，点为中点，设点坐标为(,)，点坐标为(,)， 0+2= 3+2= ， =， 3+2=2， 解得 = ， =2= 2， 将 = 2代入 = + 3，得 = 1， 点坐标为(1,2)， = 1 2 = 2 |越大双曲线越远离坐标轴， 0 2 当 0时，交点在第二象限，交点在第四象限，作，垂直于轴 联立方程 = + 3 =， 解得=3+942，=3942 /， ， =， 当 2时，3+94394 2， 解得 18， 18 0
20、综上所述，0 2或18 0与 0两种情况，根据坐标系中中点公式求解 本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数及反比例函数的性质 23.【答案】(1)通过取点、画图、测量可得 / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 / 1.30 1.79 1.74 1.66 1.63 1.69 1.85 2.08 2.39 (2)画出该函数的图象如下： (3)3.31 【解析】解：(1)见答案； (2)见答案 (3) ，/， ， = =12 =12， = ，即 =12， 在函数图象中作出 =12( 0)，可得两函数图象交点的横坐标约为3.31，即 = 3.31， 故答案为：3.31 (
21、1)通过取点、画图、测量可得； (2)依据表格中的数据描点、连线即可得； (3)由 ，/知 ，结合 = =12 =12得 = ，即 =12，据此在函数图象中作出 =12( 0)，可得两函数图象交点的横坐标即为所求 本题是圆的综合问题，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型 24.【答案】8 0.35 84.589.5 【解析】解：(1) = 40 0.2 = 8(人)， = 14 40 = 0.35， 故答案为：8，0.35； (2)补全频数分布直方图如下： (3)由于40个数据的中位数是第20个， 第21个数据的平均数， 而第20个， 第21个数据均落在分数段
22、84.589.5， 测得他的成绩落在分数段84.589.5内 故答案为：84.589.5； (4)选手有4人，2名男生，2名女生，从4人中任意选取2人，所有可能出现的结果如下： 共有12种等可能出现的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的有8种， 所以恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23 (1)根据频率=频数总数进行计算即可； (2)根据频数分布表中的数据即可补全频数分布直方图； (3)根据中位数的定义进行计算即可； (4)用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再得出恰好是一名男生和一名女生的情况，进而求出相应的概率 本题考查中位数、频数分布表、频数分布直方图以及列表法或树状图法求概率，
23、理解中位数的定义，掌握频率=频数总数以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键 25.【答案】证明：(1)证明：连接， 是圆的切线， = 90 + = 90 ， = 90 + = 90 = ， = = = ， = = 解：(2)连接，设圆的半径为， 直径 于， = 8， = = 4 /， = cos = =45 =cos= 5 = 2 2= 3 = = 3 在 中， 2+ 2= 2， ( 3)2+ 42= 2 = =256 + = 90， + = 90， = cos =45 tan =34 = tan =258 【解析】(1)连接，要使 = ，需要 = ，通过切线和垂直的已知条件，利用等角的
24、余角相等可得 = ，结论可得 (2)设圆的半径为， 在 中， 利用勾股定理可以求得半径， 通过说明 = ， 得到tan =34，利用直角三角形的边角关系可求 本题主要考查了圆的切线的性质，勾股定理，垂径定理，解直角三角形的知识使用添加圆中常添加的辅助线是解题的关键 26.【答案】解： = ( + )( 1) = 2 2 ， (1)二次函数对称轴是直线 =121=12； (2) 二次函数 = ( + )( 1)图像开口向上，12 (1) 0， = 1， = 2 2 = 2 2 = ( 12)294， 此二次函数的顶点坐标是(12,94)； (3) 抛物线上两点(1,1)，(2,2)，对于 1 +
25、 1， + 2 2 + 3都有1 2， 点(1,1)，(2,2)不关于对称轴 =12对称， 1+ 2 1， 1 + 1， + 2 2 + 3， 2 + 2 1+ 2 2 + 4， 2 + 2 1或2 + 4 1， 12或 32 【解析】(1)二次函数 = 2+ + ( 0)的对称轴直线是 = 2，由此即可求解； (2) 1 3时，得出当 = 3时，函数的最大值为4，即可求出的值，从而求出二次函数的顶点坐标； (3)由条件得到抛物线两点(1,1)， (2,2)不关于对称轴 =12对称， 推出1+ 2 1由， 1 + 1， + 2 2 + 3，即可求出的取值范围 本题考查二次函数的性质，关键是掌握
26、二次函数对称轴，顶点坐标的求法及由二次函数的性质列不等式 27.【答案】解：如图， 从图可得：120 1或 ， 线段不是 的以直线为对称轴的“反射线段”， 故答案是：、； (2)如图2， 关于直线的对称弦是， 直线与轴交点(0,12)， 故答案为：(0,12)； 如图3， 以为斜边作等腰直角三角形，连接，交 于，作/，交 于， 则是的反射弦，对称轴是的中垂线， (22,2 +22)，(1 +22,1 +22)， (22,1 +22)， 设交轴于(0,)， 由 = 得，(22)2+ (1 +22 )2= 2， 当 =136时，1= 22(舍去)，2=523， 0 523； (3)如图，根据(2)
27、的方法找到所在的圆心3， 设(2,0)， 则 = 13， = 2， 3是等腰直角三角形， 3 =22= ， = 2 2= 13 12=522， 3= 22， 当点在圆上运动一周时，如图，取3的中点1，的中点， 1是 3的中位线， 1=123 = 2，1/3， 即3的中点1.在以为圆心，半径为2的圆上运动， 若是 的以直线为对称轴的反射线段， 则为 的切线 设 与轴交于点， =12 = 1， = 1= = 2， = 1， = 1， 反射轴与轴交点的纵坐标的取值范围为 1或 1 (1)在圆中找出对应的弦，其中大于圆的直径，故否定； (2)画出的反射弦，找出对应点的垂直平分线； 以为斜边作等腰直角三角形，连接，交 于，作/，交 于，则是的反射弦，对称轴是的中垂线，然后根据垂直平分线上点到线段两端距离相等，求得 =136时的值，从而确定的范围； (3)根据(2)的方法找到所在的圆心3，当点在圆上运动一周时，如图，取3的中点1，的中点，即3的中点1在以为圆心，半径为2的圆上运动，进而即可求得反射轴与轴交点的纵坐标的取值范围 本题考查了圆的综合应用，掌握中心对称与轴对称，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义是解题的关键