1、 2021-2022 学年浙江省宁波市江北区八年级上期末数学试卷学年浙江省宁波市江北区八年级上期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分。 ） 1. 下列图形是轴对称图形的是) A. B. C. D. 2. 若 ，则下列不等式正确的是( ) A. 2 2 B. 3 3 D. 3 + 2 ，则2 2”是假命题的反例为( ) A. = 1， = 0 B. = 2， = 1 C. = 1， = 2 D. = 2， = 3 4. 一次函数 = 3 1的图象不经过( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图， 在 和 中， 点， ， ， 在同一直线
2、上， 已知/， 且 = ， 若利用“”证明 ，则需添加的条件是( ) A. = B. = C. = D. = 6. 已知点( + 2,3)与点(4, + 5)关于轴对称，则 + 的值为( ) A. 8 B. 0 C. 6 D. 14 7. 的三个内角满足下列条件： ： ： = 3： 4： 5； + = ； ： ： = 1： 2：3.其中能判定 是直角三角形的为( ) A. B. C. D. 8. 在 中，若 = ，其周长为12，则的取值范围是( ) A. 6 B. 3 C. 3 6 D. 4 7 9. 把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就
3、分不到3本(且至少有一本).这些图书有( ) A. 23本 B. 24本 C. 25本 D. 26本 10. 如图， 在 中， 和的平分线相交于点， 过点作/交于点，交于点，过点作 于点.有下列结论： = + ； = 90 +12； 当 = 90时， ， 分别为， 的中点； 设 = ， + = 2，则= .其中正确的结论是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 8 小题，共 24.0 分） 11. 当 = 1时，二次根式2 7的值为_ 12. 计算(2 + 23)(2 23)的结果是_ 13. 写出一个根为1和3的一元二次方程：_ 14. 点(2,4)到轴的距离是_ 15. 已知
4、直线 = + 与 = 2 + 3平行，且与轴的交点坐标是(0,5)，则 =_ 16. 对、三个数这样规定：,表示、这三个数中的最小数，如1,2,3 = 1，如果23+ 1,2,6 2 = 2，则的取值范围是_ 17. 如图， 在平面直角坐标系中， 点在轴上， 其坐标为(0,4)， 轴上的一动点从原点出发，沿轴正半轴方向运动，速度为每秒1个单位长度，以为直角顶点在第一象限内作等腰 .当 = 2时，点的坐标为_；当点的横坐标为时，点的纵坐标是_ 18. 如图，已知 中， = 90， = 3， = 4，点是边上的一个动点，点与是关于直线的对称点，当 是直角三角形时，的长=_ 三、解答题（本大题共 6
5、 小题，共 46.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. (本小题6.0分) 解下列不等式(组)和方程： (1) 5 83+ 1 (2)1 + 2 + 0的解集 23. (本小题8.0分) 在近期“抗疫”期间，某药店销售，两种型号的口罩，已知销售80只型和45只型的利润为21元，销售40只型和60只型的利润为18元 (1)求每只型口罩和型口罩的销售利润； (2)该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中型口罩的进货量不少于型口罩的进货量且不超过它的3倍，则该药店购进型、型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？最大值是多少？ 24. (本小题12.0分) 如图，在平面直角
6、坐标系中，已知直线 = + 2和 = + 6与轴分别交于点和点，设两直线相交于点， 点为的中点， 点是线段上一个动点(不与点和重合)， 连接， 并过点作 交于点 (1)判断 的形状，并说明理由； (2)当点在线段上运动时，四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当点的横坐标为12时，在轴上找到一点使得 的周长最小，请直接写出点的坐标 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选： 利用轴对称图形的
7、定义进行解答即可 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 2.【答案】 【解析】解：、不等式 的两边同时减去2，不等号的方向不变，即 2 2，原变形正确，故此选项符合题意； B、不等式 的两边同时除以3，不等号的方向不变，即33，原变形错误，故此选项不符合题意； C、不等式 的两边同时乘3，不等号的方向改变，3 的两边同时乘3再加上2，不等号的方向不变，即3 + 2 3 + 2，原变形错误，故此选项不符合题意 故选： 根据不等式的性质分析判断 本题主要考查了不等式的性质解题的关键是掌握不等式的性质：
8、(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 3.【答案】 【解析】解：当 = 1， = 2时，1 2，但是(1)2 12 2 + 12 2 ， 解得3 6 故腰长的取值范围是3 6 故选： 根据三角形的性质，两边之和大于第三边列出不等式可求出腰长的取值范围 考查了等腰三角形的性质，本题的关键是掌握等腰三角形的性质，根据三角形两边的和大于第三边列出不等式组即可 9.【答案】 【解析】解：设共有名学生，则图书共有(3 + 8)本， 由题意得，0 3 + 8 5(
9、1) 3， 解得：5 6.5， 为非负整数， = 6 书的数量为：3 6 + 8 = 26 故选： 设共有名学生，根据每人分3本，那么余8本，可得图书共有(3 + 8)本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，可得出不等式，解出即可 本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时根据题意中的不相等关系建立不等式组是关键 10.【答案】 【解析】解： 和的平分线相交于点， =12， =12， = 180 = 180 12 12 = 180 12(180 ) = 90 +12，正确； /， = ，又 = = ， = ， 同理 = ， + = ，正确； 当
10、 = 90时， + = + ， ，不是，的中点，错误； 作 于，如图， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， = ， =12 +12 = ，正确 综上所述，正确的有， 故选： 根据角平分线的定义和平行线的性质判断；角平分线的定义和三角形内角和定理判断；根据三角形三边关系判断；根据角平分线的性质判断 本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，掌握角的平分线上的点到角的两边的距 离相等是解题的关键 11.【答案】3 【解析】解：当 = 1时，二次根式2 7 = 2 7 (1) = 3 故答案为：3 直接把的值代入进而得出答案 此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关
11、键 12.【答案】11 【解析】解：(2 + 23)(2 23) = (2)2 (23)2 = 2 12 = 11， (2 + 23)(2 23)的结果为11 故答案为：11 根据平方差公式：( + )( ) = 2 2，求出算式(2 + 23)(2 23)的结果为多少即可 (1)此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看“多项式” (2)此题还考查了平方差公式的应用：( + )( ) = 2 2，要熟练掌握 13.【
12、答案】( 1)( 3) = 0(答案不唯一) 【解析】解：一个根为1和3的一元二次方程：( 1)( 3) = 0(答案不唯一) 故答案为：( 1)( 3) = 0(答案不唯一) 一个根为1和3的一元二次方程有无数个，只要含有因式( 1)和( 3)的一元二次方程都有一个根为1和3 本题考查的是一元二次方程的根，有一个根为1和3的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行 14.【答案】2 【解析】解：点(2,4)到轴的距离为2 故答案为：2 根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值解答 本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键 15.【答案】10 【
13、解析】解：直线 = + 与 = 2 + 3平行， = 2， 故直线的表达式为 = 2 + ，将点(0,5)代入上式并解得 = 5， 故 = 10， 故答案为10 直线 = + 与 = 2 + 3平行，直线的表达式为 = 2 + ，将点(0,5)代入上式并解得 = 5，即可求解 本题考查了两条直线平行问题，难度不大，关键求出未知方程的解析式 16.【答案】32 2 【解析】解：根据题意，得：23+ 1 26 2 2， 解不等式，得： 32， 解不等式，得： 2， 则的取值范围是32 2， 故答案为：32 2 先根据新定义列出关于的不等式组23+ 1 26 2 2，分别求出每一个不等式的解集，根据
14、口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 17.【答案】(6,2) 4 【解析】解：过点作 轴于点， 为等腰直角三角形， + = 180 90 = 90 又 + = 90， = 在 和 中， = = = 90 = ， ()， = ， = 点(0,4)，点(,0)， = + = + 4， = = ， 点( + 4,)， 当 = 2时，点的坐标为(6,2)； 当点的横坐标为时， + 4 = ， = 4， 点的纵坐标是 4 故答案为：(6,2)； 4 过点作
15、 轴于点，证明 ()，推出 = ， = ，可得点( + 4,)，即可得出结论 本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键 18.【答案】1或52 【解析】解：如图1中，当 = 90时，设 = = = 3， = 4， = 90， = 2+ 2= 32+ 42= 5， 由翻折的性质可知， = = 5， 在 中，2+ 2= 2， (4 )2+ 22= 2， =52， =52 如图2中，当 = 90，设 = 过点作 交的延长线于点，则四边形是矩形， = = 3， = = 4 ， 在 中，2= 2+ 2， 52= (4 )2+ ( + 3)2， 解得 = 1或0
16、(0舍弃)， = 1， 综上所述，的值为：1或52 分两种情形： = 90， = 90，利用勾股定理构建方程求解即可 本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型 19.【答案】解：(1)去分母得3 15 8 + 3， 移项得3 15 8 + 3， 合并得2 10， 系数化为1得 5； (2)1 + 2 31 24 ， 解得 1， 解得 2， 所以不等式组的解集为2 1； (3)2 6 = 8， 2 6 + 8 = 0， ( 4)( 2) = 0， 4 = 0或 2 = 0， 所以1= 4，2= 2 【解析】(1)先去分母、移项得到3 15 8
17、 + 3，然后合并后把的系数化为1即可； (2)分别解两个不等式得到 + 0的解集为3 5 【解析】(1)利用待定系数法求出直线的解析式； (2)解方程组求出点的坐标； (3)利用数形结合思想解答 本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键 23.【答案】解：(1)设每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元，根据题意得： 80 + 45 = 2140 + 60 = 18， 解得 = 0.15 = 0.2， 答：每只型口罩销售利润为0.15元，每只型口罩销售利润为0.2元； (2)根据题意得， = 0.15 + 0
18、.2(2000 )，即 = 0.05 + 400； 根据题意得，2000 2000 3， 解得500 1000， = 0.05 + 400(500 1000)， 0.05 0， 随的增大而减小， 为正整数， 当 = 500时，取最大值为375元，则2000 = 1500， 即药店购进型口罩500只、型口罩1500只，才能使销售总利润最大为375元 【解析】(1)设每只型口罩销售利润为元，每只型口罩销售利润为元，根据“销售80只型和45只型的利润为21元，销售40只型和60只型的利润为18元”列方程组解答即可； (2)根据题意即可得出关于的函数关系式；根据题意列不等式得出的取值范围，再结合关于的
19、函数关系式解答即可 本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数值的增大而确定值的增减情况 24.【答案】解：(1)结论： 是等腰直角三角形 理由：直线 = + 2和 = + 6与轴分别交于点和点， (2,0)，(6,0)， 由 = + 2 = + 6，解得 = 2 = 4， = 2 = 4， (2,4)， = 8， = 42， = 42， = ， 2= 64，2+ 2= (42)2+ (42)2= 64， 2= 2+ 2， = 90， 是等腰直角三角形 (2)结论：四边形的面积是定值，定值为8 理由：如图1中，连接 是等腰直角三角形， = ，
20、， = = ， = = 45， = = 90， = ， ()， = ， = 四边形= =12=1212 8 4 = 8 四边形的面积是定值，定值为8 (3)如图2中，作点关于的对称点，连接交于点，此时 的周长最小连接，交于点，作 于 点的横坐标为12，点在直线 = + 2上， (12,32)， =12， =32， =52， = = = 90， + = 90， + = 90， = ， = ， ()， = =32， = =52， (72,52)， (12,32)，(72,52)， 设直线的解析式为 = + ， 12 + = 3272 + =52， = 1 = 1 直线的解析式为 = 1， (1,0) 【解析】(1)结论： 是等腰直角三角形利用待定系数法求出，的坐标，求出，的长，利用勾股定理的逆定理判断即可； (2)结论：四边形的面积是定值，定值为8.如图1中，连接.只要证明 ()即可解决问题； (3)如图2中，作点关于的对称点，连接交于点，此时 的周长最小连接，交于点，作 于.想办法求出直线的解析式即可解决问题； 本题属于一次函数综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题