1、2021-2022 学年河南省信阳市淮滨县九年级学年河南省信阳市淮滨县九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列银行标志是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 若 的半径是4，点在 内，则的长可能是( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 下列事件是随机事件的是( ) A. 一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等 B. 直径是圆中最长的弦 C. 方程2+ 2 + 1 = 0是一元二次方程 D. 任意画一个三角形，其内角和是360 4. 如图，弦 ，垂足为点，连接，若
2、 = 4， = 6，则等于( ) A. 22 B. 32 C. 45 D. 35 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后，共有225人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为人，则可列方程( ) A. + = 225 B. (1 ) = 225 C. 1 + + (1 + ) = 225 D. 1 (1 )(1 ) = 225 6. 如图，在 中，点在边上，若 = 3， = 2，且 = ，则线段的长为( ) A. 2 B. 52 C. 3 D. 92 7. 抛物线 = 2+ 4 + 2+ 5(是常数)的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第 2 页，共
3、 18 页 8. 如图，点是平行四边形边上的点， =13，射线交的延长线于点，则：平行四边形等于( ) A. 1：5 B. 1：8 C. 1：12 D. 1：13 9. 如图，双曲线 = 32( 0)经过的对角线交点，已知边在轴上，且 于点，则的面积是( ) A. 32 B. 94 C. 3 D. 6 10. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转45后得到正方形111，依此方式，绕点连续旋转2021次得到正方形202120212021，那么点2021的坐标是( ) A. (1,0) B. (22,22) C. (1,0) D. (22,22) 二、填空题（本大题共 5 小
4、题，共 15.0 分） 11. 若 = 2是一元二次方程2+ 3 + = 0的一个根，则的值为_ 12. 将抛物线 = 32 1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为_ 13. 在 中，若，满足| 32| + (1 tan)2= 0，则的大小是_ 14. 如图所示的转盘， 被分成面积相等的四个扇形， 分别涂有红、 黄、 蓝、 绿四种颜色 固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是_ 15. 如图，在 中， = 90， = 30， = 2，将 绕点逆时针旋转30后得到 ，则图中阴影部分的面积是_
5、 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. (本小题8.0分) (1)计算：8 (13)1+ ( 3) 245； (2)解方程：2+ 5 + 6 = 0 17. (本小题9.0分) 关于的方程( + 2)2 4 + 1 = 0有两个不相等实数根 (1)求的取值范围； (2)当为正整数时，求方程的根 18. (本小题9.0分) 如图， 在 中， = 90， 以为直径的 与边交于点， 过点作 的切线 交于点 (1)求证： = (2)填空：若 = 30， = 23，则 =_； 当 =_度时，以，为顶点的四边形是正方形 19. (本小题9.0分
6、) 如图，已知(3,)，(2,3)是一次函数 = 和反比例函数 =的图象的两个交点 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出 + 0的解集； (3)求 的面积 20. (本小题9.0分) 如图，在 中， = ，、是斜边上的两点， = 45，将 绕点顺时针旋第 4 页，共 18 页 转90，得到 ，连接 (1)求证： = ； (2)若 = 22， = 1，求的长 21. (本小题10.0分) 某商家出售一种商品的成本价为20元/千克， 市场调查发现， 该商品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系： = 2 + 80.设这种商品每天的销售利润为元 (1)求与之间
7、的函数关系式； (2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 22. (本小题10.0分) 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程结合已有的学习经验，请画出函数 = 62+2的图象并探究该函数的性质 4 3 2 1 0 1 2 3 4 13 1 2 2 1 611 13 (1)列表，写出表中，的值： =_， =_； 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)观察函数图
8、象，判断下列关于函数性质的结论是否正确，请把正确结论的序号填在横线上正确的结论是_ 函数 = 62+2的图象关于轴对称； 当 = 0时，函数 = 62+2有最小值，最小值是3； 在自变量的取值范围内，函数的值随自变量的增大而增大； 函数 = 62+2与轴必有两个交点； (3)已知函数 = 13 53的图象如图所示， 结合所画的函数图象， 直接写出不等式62+2 13 53的解集 23. (本小题11.0分) 综合与探究 如图，抛物线 = 122+ 2 + 6与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点，连接，点为抛物线对称轴上一动点 (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求 周长的最小值； (
9、3)在抛物线上是否存在一点.使以、为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选： 根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案 此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义 第 6 页，共 18 页 2.【答案】 【解析】解： 的半径为4，点在 内， 4；
10、2 ；点在圆上台 = ；点在圆内分 是解题关键 3.【答案】 【解析】解：、一个图形平移后所得的图形与原来的图形全等，是必然事件； B、直径是圆中最长的弦，是必然事件； C、当 0时，方程2+ 2 + 1 = 0是一元二次方程，当 = 0时，方程2+ 2 + 1 = 0不是一元二次方程， 方程2+ 2 + 1 = 0是一元二次方程，是随机事件； D、任意画一个三角形，其内角和是360，是不可能事件； 故选： 根据平移的性质、圆的概念、一元二次方程的概念、三角形内角和定理判断即可 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一
11、定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 4.【答案】 【解析】解：弦 ， = 4， = 2， =12 = 3， = 2+ 2= 42+ 32= 5， =45 故选： 先根据垂径定理得出的长，再根据勾股定理得到，然后根据三角函数的定义即可得到结论 本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键 5.【答案】 【解析】解：依题意得1 + + (1 + ) = 225， 故选： 患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是( + 1)
12、人，则传染( + 1)人，依题意列方程：1 + + (1 +) = 225 本题考查的是根据实际问题列一元二次方程找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键 6.【答案】 【解析】解： = ， = ， ， =， = 3， = 2， 3=23， =92， = =92 2 =52 故选： 由 = ， = ， 可判定 ， 从而可得比例式， 再将 = 3， = 2代入， 可求得的长，然后根据 = ，可求得答案 本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键 7.【答案】 【解析】解： = 2+ 4 + 2+ 5 = ( + 2)2+ 2+ 1， 顶点坐标
13、为：(2,2+ 1)， 2 0， 顶点在第二象限 故选： 根据抛物线的顶点式求出抛物线 = 2+ 4 + 2+ 5(为常数)的顶点坐标， 再根据各象限内点的坐标特点进行解答 本题考查的是二次函数的性质及各象限内点的坐标特点，根据题意得出抛物线的顶点坐标是解答此题的关键 8.【答案】 第 8 页，共 18 页 【解析】解：设 的面积为 四边形是平行四边形， = ，/，/， ， = ()2， =13， = 3， = 2， 的面积为9，四边形的面积为8， /， ， = ()2=14， 的面积为4， ：平行四边形= ：(4 + 8) = 1：12， 故选： 设 的面积为.利用相似三角形的性质分别求出四
14、边形和 的面积即可解决问题 本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型 9.【答案】 【解析】解：点为的对角线交点，双曲线 = 32( 0， 解得， 2且 2； (2) 0时，方程有两个不相等的两个实数根、一元二次方程的定义列式计算即可； (2)根据题意求出，利用因式分解法解出方程 本题考查的是一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义，掌握当 0时，方程有两个不相等的两个实数根是解题的关键 18.【答案】(1)证明：连接 = 90，为直径， 为 的切线； 又 也为 的切线， = ， 又 = 90， + = 90， + =
15、90 又 + = 90， = ， = ， = ； (2)33； 45 【解析】 (1)见答案； (2)解： = 90， = 30， = 23， = 2 = 43， = 2 2= 6， 为直径， = = 90， =12 = 3 = 33 故答案为：33； 当 = 45时，四边形是正方形，理由如下： = 90， = 45， = ， = 45， = 90， = 90， = 90， 四边形是矩形， = ， 矩形是正方形 故答案为：45 【分析】 (1)证出为 的切线；由切线长定理得出 = ，再求得 = ，即可得出结论； (2)由含30角的直角三角形的性质得出，由勾股定理求出、； 由等腰三角形的性质，得
16、到 = = 45，于是 = 90然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论 本题考查了圆的切线性质、切线长定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型 19.【答案】(1)解：把(2,3)代入 =， 得： = 2 (3) = 6， 所以反比例函数解析式为 = 6， 把(3,)代入 = 6， 得：3 = 6， 解得 = 2， 把(3,2)和(2,3)代入 = + ， 得3 + = 2,2 + = 3, 解得 = 1, = 1, 所以一次函数的解析式为 = 1 第 14 页，共 18 页 (2) 不等式 + 0转化为 + ，所以不等式的解集即为一次函
17、数图象位于反比例函数图象下方时的取值， 所以 + 0的解集为3 2 (3)当 = 0时， 1 = 0， 解得 = 1， 所以点(1,0)， 所以= + =12 1 2 +12 1 3 =52 【解析】(1)根据图象上的点满足函数解析式，可得反比例函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式； (2)根据一次函数图象在反比例函数图象下方的部分是不等式的解集，可得答案； (3)根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，利用函数图象与不等式的关系解不等式 20.【答案】证明：(1
18、) = 90， = 45， + = 45， 将 绕点顺时针旋转90，得到 ， = ， = ， = ， = = 45， + = 45 = ， = ， = ， = ， ()， = ； (2) = = 22， = 90， = 4， = 1， = 1， = 3，即 + = 3， = = 45， = 90， 2+ 2= 2， 1 + (3 )2= 2， =53 【解析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用方程的思想解决问题是本题的关键 (1)由旋转的性质可求 = = 45，即可证 ，可得 = ； (2)由旋转的性质可证 = 90，利用勾股定理和方程的思
19、想可求的长 21.【答案】解：(1)由题意得： = ( 20) = ( 20)(2 + 80) = 22+ 120 1600 故与的函数关系式为： = 22+ 120 1600； (2) = 22+ 120 1600 = 2( 30)2+ 200， 2 28， 2= 35不符合题意，应舍去 答：该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元 【解析】(1)根据每天的利润等于每千克的利润乘每天的销售量，可得关于的函数关系式； (2)将 = 22+ 120 1600配方，根据二次函数的性质，可得答案； (3)当 = 150时，可得方程2( 30)2+ 200 = 150，求得的值，
20、并根据问题的实际意义作出取舍即可 本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本、利润的基本数量关系及二次函数的相关性质，是解题的关键 22.【答案】611 3 【解析】解：(1)函数 = 62+2， 令 = 3，可得 = 611， 故 = 611； 令 = 0，可得 = 3， 故 = 3 故答案为：611；3 描点、连线，在画出该函数的图象如下： 第 16 页，共 18 页 (2)由函数的图象可得： 函数 = 62+2的图象关于轴对称， 故正确； 当 = 0时，函数 = 62+2有最小值，最小值是3， 故正确； 自变量 0时，函数的值随自变量的增大而增大； 自变量 0时，函数的值随自变量的增
21、大而减小， 故错误； 由于 = 62+2 0恒成立， 故函数的图象与轴不可能有交点， 故错误 故答案为： (3)不等式62+2 13 53表现在图象上， 即函数 = 62+2的图象比函数 = 13 53的图象低， 因此观察图象可得到62+2 13 53的解集为： 4或2 1 (1)已知解析式，代入的值，即可算出对应的值，即可得出答案； (2)结合图象即可分析函数的对称性、增减性、最值、交点问题； (3)结合图象分析不等式与函数的关系，即可得出结论 本题考查了新函数的研究方法，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数是解答本题的关键 23.【答案】解：(1)当 = 0时， = 6，则点(0,6)，
22、当 = 0时，0 = 122+ 2 + 6， 1= 6，2= 2， 点(2,0)，点(6,0)， 设直线的函数表达式为： = + ， 将点，的坐标代入表达式，得： = 60 = 6 + = 1 = 6 直线的函数表达式为： = + 6； (2) = 122+ 2 + 6 = 12( 2)2+ 8， 对称轴为 = 2， 周长= + + = 6 + + ， + 有最小值时， 的周长存在最小值， 作点关于对称轴 = 2的对称点(4,0)，连接， = 4， + = + ， 当点，点，点共线时， + 的值最小，最小值为， =2+ 2= 36 + 16 = 213， 周长的最小值= 6 + + = 6 +
23、 = 6 + 213； (3) 以、为顶点的四边形是以为边的平行四边形， = ，或 = ， 6 2 = 0 ，或2 0 = 6 = 4或8， 存在点(4,10)或(8,10) 【解析】(1)先求出点，点坐标，用待定系数法可求函数表达式； (2)由 周长= 6 + + ，可得 + 有最小值时， 的周长存在最小值，作点关于对称轴 = 2的对称点(4,0)，当点，点，点共线时， + 的值最小，最小值为的长，即可求解； (3)分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解 第 18 页，共 18 页 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数表达式，函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键