1、2021-2022 学年湖北省恩施州来凤县九年级学年湖北省恩施州来凤县九年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 若 = 1是一元二次方程2+ 2 + = 0的根，则 =( ) A. 3 B. 1 C. 1 D. 3 3. 在平面直角坐标系中，点(3,1)关于坐标原点中心对称的点的坐标是( ) A. (3,1) B. (3,1) C. (3,1) D. (1,3) 4. 抛物线 = 2( 1)2+ 6的顶点坐标是( ) A. (1,6) B. (1,6) C. (
2、1,6) D. (1,6) 5. 下列事件中，属于不可能事件的是( ) A. 掷一枚骰子，朝上一面的点数为5 B. 某个数的相反数等于它本身 C. 任意画一个三角形，它的内角和是178 D. 在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直 6. 如果关于的一元二次方程2+ + = 0的两根分别为1= 2，2= 1，那么，的值分别是( ) A. 3，2 B. 3，2 C. 2，3 D. 2，3 7. 如图， 将 绕点逆时针旋转100， 得到 .若点在线段的延长线上，则的度数为( ) A. 95 B. 100 C. 105 D. 110 8. 如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有
3、圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”.用几何语言可表述为：为 的直径，弦 于点， = 1寸， = 10寸，则直径的长为( ) A. 12.5寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸 9. 如图， 点、 、 、 都在边长为1的网格格点上， 以为圆心， 为半径画弧，弧经过格点，则扇形的面积是( ) A. 54 B. 98 C. D. 2 10. 如图，用长为20的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1的两扇小门若花圃的面积刚好为402，设段的长为 ，则可列方程为( )
4、A. (22 3) = 40 B. (20 2) = 40 C. (18 3) = 40 D. (20 3) = 40 11. 如图，是 直径，过 上的点作 切线，交的延长线于点，若 = 40，则大小是( ) A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 12. 如图，已知二次函数1= 2+ + ( 0)的图象与轴交于(3,0)，顶点是(1,)， 则以下结论： 0； 4 + 2 + 0； 若 ，则 2或 0； + =12.其中正确的是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 12 分） 13. 把方程( + 2)( 3) = 4化成一般形式是_ 14. 不透明的布袋
5、中有红、黄、蓝3种只是颜色不同的钢笔各1支，先从中摸出1支，记录下它的颜色，将它放回布袋并搅匀，再从中随机摸出1支，记录下颜色，那么这两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为_ 15. 如图点是正五边形的中心， 是正五边形的外接圆，的度数为_ 16. 1= 1 +112+122，2= 1 +122+132，3= 1 +132+142，= 1 +12+1(+1)2，其中为正整数，则1+2+ 3+ + 2020的值是_ 三、解答题（本大题共 8 小题，共 72 分） 17. (1)(2 1)2 25 = 0； (2)2( 3) = 5(3 ) 18. 如图， 在等腰 中， = ， = 90， 点在
6、上， 将 绕点沿顺时针方向旋转90后，得到 (1)求的度数； (2)若 = 4， = 3，求的长 19. 在一次促销活动中， 某商场为了吸引顾客， 设立了一个可以自由转动的转盘(如图， 转盘被平均分成16份)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元 (1)求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数； (2)如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由 20. 已知：如图，
7、在 中， = ，以腰为直径作半圆，分别交，于点， (1)求证： = (2)若 = 40，求，的度数 21. 已知关于的方程：2 (6 + ) + 9 + 3 = 0 (1)求证：无论为何值，方程都有实数根 (2)若该方程的两个实数根恰为斜边为5的直角三角形的两直角边长，求的值 22. 如图， 与 的边相切于点，与、边分别交于点、，/，是 的直径 (1)求证：是 的切线； (2)若 的半径是32， = 2，求的长 23. 春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为30元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于120%.分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量(件)与销售单价
8、(元/件)近似的满足一次函数关系，数据如表： 销售单价(元/件) 40 50 60 每天销售量(件) 300 250 200 (1)直接写出与的函数关系式_； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于5000元， 请预测今年销售单价的范围是多少？ 24. 如图，抛物线 = 2+ + 2( 0)与轴交于(5,0)，(1,0)两点，与轴交于点 (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若是线段上方抛物线上一点，过点作 轴，交于，是的右侧，线段上方抛物线上一点，过点作 轴，交于，与间的距离为2，连接，当四边
9、形的面积最大时，求点的坐标以及四边形面积的最大值； (3)将抛物线向右平移1个单位的距离得到新抛物线，点是平面内一点，点为新抛物线对称轴上一点若以，为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 故选： 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称
10、轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合 2.【答案】 【解析】解： = 1是一元二次方程2+ 2 + = 0的一个根， 12+ 2 + = 0， = 3 故选： 根据一元二次方程的解的定义把 = 1代入方程得到关于的一次方程，然后解一次方程即可 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 3.【答案】 【解析】解：点(3,1)关于坐标原点中心对称的点的坐标为(3,1)， 故选： 根据关于原点对称的两个点的坐标之间的关系，即横纵坐标均互为相反数，可得答案 本题考查关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的两个
11、点坐标之间的关系是得出正确答案的前提 4.【答案】 【解析】解：抛物线 = 2( 1)2+ 6， 该抛物线的顶点坐标为(1,6)， 故选： 根据抛物线的顶点式，可以直接写出顶点坐标 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出顶点坐标 5.【答案】 【解析】解：、掷一枚骰子，朝上一面的点数为5是随机事件，因此选项 A 不符合题意； B、某个数的相反数等于它本身是随机事件，因此选项 B 不符合题意； C、任意画一个三角形，它的内角和是178是不可能事件，因此选项 C 符合题意； D、在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直是随机事件，因此选项 D不符合题意； 故选： 根据不可能事件的
12、意义，结合具体的问题情境进行判断即可 本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提 6.【答案】 【解析】解：由题意得，1+ 2= ，12= ， 1= 2，2= 1， = (1+ 2) = 3， = 12= 2 故选 A 根据根与系数的关系，即可求得、的值 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系 7.【答案】 【解析】解：将 绕点逆时针旋转100，得到 ， = ， = 100， = ， 点在线段的延长线上， = =12 (180 ) =12 (180 100) = 40， = = 40， = 180 = 180 40 40 = 100， 故选
13、： 由旋转的性质得 = ， = 100， = ， 因为点在线段的延长线上， 所以 = =40，则 = 40，即可求得 = 100 此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，根据旋转角等于100求得 = = 40是解题的关键 8.【答案】 【解析】解：连接， ，过圆心， = 10寸， = = 5寸， = 90， 设 = = 寸， 由勾股定理得：2= 2+ 2， 即2= 52+ ( 1)2， 解得： = 13， 即 = 13寸， 所以直径 = 2 = 26寸， 故选： 连接， 根据垂径定理得出 = = 5寸， 根据勾股定理得出2= 2+ 2， 求出2= 52+ ( 1)2，
14、求出即可 本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键 9.【答案】 【解析】解：由题意，扇形的半径 = 12+ 32= 10， = 45， 扇形的面积=45(10)2360=54 故选： 利用扇形的面积公式，求出扇形的半径，圆心角即可 本题考查扇形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 10.【答案】 【解析】解：设 = 米，则 = (20 3 + 2)米， 依题意，得：(20 3 + 2) = 40，即(22 3) = 40 故选： 设 = 米，则 = (20 3 + 2)米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于的一元二次方程 本
15、题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 11.【答案】 【解析】解： 是 的切线， ， = 90， = 40， = 50， = ， = ， + = = 50， =12 = 25， 故选： 根据切线的性质得到， = 90，根据直角三角形的性质得到 = 50，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论 本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，求得 = + 是解题的关键 12.【答案】 【解析】解： 抛物线开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴， 0， 0， 0， 0， 故结论正确； 由题意可知对称轴为：直线 = 1， = 2= 1， =
16、 2， 把 = ， = 2代入 = 2+ + 得： 2+ 2 + = ， 2+ 2 = 0， 解得 = 0或2， 当 ，则 2或 0， 故结论正确； 把(1,)，(1,0)代入 = 2+ + 得： + = ， + + = 0， = 12， = 2， = 14， 抛物线与轴的另一个交点为(1,0)， + + = 0， =34， + = 12 +34 =14， 故结论错误； 故选： 由抛物线的开口方向、对称轴以及与轴的交点，可得、的符号，进而可得的符号，结论错误； 由抛物线与轴交于(3,0)，顶点是(1,)，可判断出抛物线与轴的另一个交点为(1,0)，当 = 2时， = 4 + 2 + 0，结论正
17、确； 由题意可知对称轴为：直线 = 1，即2= 1，得 = 2，把 = ， = 2代入 = 2+ + 并化简得：2+ 2 = 0，解得 = 0或2，可判断出结论正确； 把(1,)，(1,0)代入 = 2+ + 并计算可得 = 12，由对称轴可得 = 2， = 14，由 + + = 0可得 =34，再计算 + 的值，可判断错误 本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，观察函数图象结合二次函数图形与系数关系，逐一分析四条结论的正误是解题的关键 13.【答案】2 2 = 0 【解析】解：( + 2)( 3) = 4， 去括号，得2 6 = 4， 移项，合并
18、同类项，得2 2 = 0， 故答案为：2 2 = 0 根据一元二次方程的一般形式是：2+ + = 0(,是常数且 0)，可得答案 本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键 14.【答案】29 【解析】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有2种， 两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的概率为29， 故答案为：29 画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出的钢笔为红色、黄色各一支的结果有2种，再由概率公式求解即可 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的
19、事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 15.【答案】36 【解析】解：如图：连接、， 在正五边形中， = 360 5 = 72， =12 =12 72 = 36， 故答案为：36 首先求得正五边形的中心角，然后利用圆周角定理求得答案即可 本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造正五边形的中心角，难度不大 16.【答案】40844402021 【解析】解： 1= 1 +112+122= (32)2， 2= 1 +122+132= (76)2， 3= 1 +132+142= (1312)2， = 1 +12+1(+1)2= (+1)+1(+1)2， 1+2+ 3
20、+ + 2020， =32+76+1312+ +20202021+120202021， = 1 +12+ 1 +16+ 1 +112+ + 1 +120202021， = 2020 + (1 12+1213+1314+ +1202012021)， = 2020 + 1 12021， =40844402021 故答案为40844402021 先求出1，2，3，的值，代入原式利用算术平方根和公式1(+1)=11+1进行化简与计算，即可求解 本题考查数式规律问题、算术平方根、有理数的加减混合运算等知识点，解题的关键是用裂项法将分数进行化简与计算 17.【答案】解：(1)(2 1)2 25 = 0，
21、(2 1)2= 25， 2 1 = 5， 1= 3，2= 2； (2)2( 3) = 5(3 )， 2( 3) + 5( 3) = 0， ( 3)(2 + 5) = 0， 3 = 0或2 + 5 = 0， 1= 3，2= 52 【解析】(1)利用直接开平方法解方程； (2)利用因式分解法把方程转化为 3 = 0或2 + 5 = 0，然后解一次方程即可 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 18.【答案】解：(1) 为等腰直角三角形， = = 45， 由旋转的性质可知 =
22、= 45， = + = 45 + 45 = 90； (2) = = 4， = 90， = 2+ 2= 42， = 3， = 2， = 32， 由旋转的性质可知： = = 2， = 90， = 2+ 2= 25 【解析】(1)首先由等腰直角三角形的性质求得、的度数，然后由旋转的性质可求得的度数，故此可求得的度数； (2)由(1)可知 是直角三角形，先由勾股定理求得的长，然后依据比例关系可得到和的长，由旋转的性质可得 = ，最后依据勾股定理求解即可 本题主要考查的是旋转的性质、 勾股定理的应用、 等腰直角三角形的性质， 求得 = 90是解题的关键 19.【答案】解：(1)50116+ 30 216
23、+ 20 416= 11.875(元)； (2) 11.875元 10元， 选择转转盘 【解析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等 关键是得到转一次转盘得到奖券的平均金额 20.【答案】解：(1)连接、， 是圆的直径， = 90，即 ， = ， (2) 是圆的直径， = = 90， = 90 40 = 50， ， = ， = 40， = =12 = 20， 由圆周角定理得：弧所对的圆心角的度数是2 = 40， 弧所对的圆心角的度数是2 = 40， 弧所对的圆心角的度数是2 = 100
24、 【解析】(1)连接、，根据等腰三角形的性质即可得到结论； (2)根据直径得出 = = 90，求出、的度数，根据圆周角定理求出即可 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半 21.【答案】 (1)证明： 关于的方程2 (6 + ) + 9 + 3 = 0的判别式 = (6 + )2 4(9 + 3) = 20， 无论为何值方程都有两个实数根； (2)解：直角三角形的两直角边、的长是该方程的两个实数根， + = + 6， = 9 + 3， 是直角三角形， 2+ 2= 2， ( + )2
25、2 = 2， 即( + 6)2 2 (9 + 3) = 52， 解得： = 7或 = 1， 又 = 9 + 3，为正数， 的值是1 【解析】(1)求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明； (2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可得到一个关于的方程，求得的值 本题主要考查勾股定理，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式以及运用公式法解一元二次方程，考查的知识点较多，但难度不大 22.【答案】(1)证明：连接，如图， 为 切线，是 的直径， ， = 90， /， = ， = ， = ， = ， = ， 在 和 中， =
26、 = = ， ()， = = 90， ， 而为半径， 是 的切线； (2)在 中， = 2+ 2= (32)2+ 22=52， = + =52+32= 4， 由和为圆的切线， = ，令为， 则在 中， 2+ 2= 2， 即42+ 2= (2 + )2， 解得 = 3， = 3 【解析】 (1)先根据切线的性质得 = 90，再根据平行线的性质得到 = ， = ，接着证明 ，所以 = = 90，然后利用切线的判定定理得到结论； (2)先利用勾股定理得到 =52， 则 = 4， 再由 = ， 令为， 则根据勾股定理可求出 = 3， 即为的长 本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理 23.【
27、答案】 = 5 + 500 【解析】解：(1)设与的函数关系式为 = + ( 0)， 把 = 40， = 300和 = 50， = 250分别代入得： 40 + = 30050 + = 250， 解得： = 5 = 500， 与的函数关系式为 = 5 + 500； 故答案为： = 5 + 500； (2)设每天获得的利润为元，则， = (5 + 500)( 30)， = 52+ 650 15000， 0 30 30 + 30 120%， 30 66， 抛物线开口向下，对称轴是直线 = 65， 当 = 65时，有最大值，最大值为5 652+ 650 65 15000 = 6125元 答：销售单价
28、为65元时，销售利润最大，最大利润为6125元； (3)设表示扣除捐款后的日利润，当 = 5000时， (5 + 500)( 30) = 5000 1= 50，2= 80， 由二次函数的图象可知， 5000时，50 80， 66， 50 66 (1)设与的函数关系式为 = + ( 0)，用待定系数法求解即可； (2)设每天获得的利润为元，根据利润等于每件的利润乘以销售量可得关于的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案； (3)将 = 5000代入函数， 可求出不低于5000时的范围， 再由题干中的条件， 根据二次函数的性质可得答案 本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练
29、掌握二次函数的性质是解题的关键 24.【答案】解：(1)将(5,0)和(1,0)代入抛物线解析式 = 2+ + 2得： 0 = 252 5 + 20 = + + 2，解得 = 25 = 85， 抛物线的解析式为 = 25285 + 2； (2)将 = 0代入 = 25285 + 2得 = 2， 为(0,2) 设直线解析式为 = + ， 代入(5,0)、(0,2)得0 = 5 + 2 = ，解得 =25 = 2 直线解析式为 =25 + 2， 设为(,25285 + 2)，则为( + 2,25( + 2)285( + 2) + 2)， 为(,25 + 2)，为( + 2,25( + 2) + 2
30、)， = (25285 + 2) (25 + 2) = 252 2， = 25( + 2)285( + 2) + 2 25( + 2) + 2 = 252185 285， 与间的距离为2， 四边形=12 2 +12 2 = + = (252 2) + (252185 285) = 452285 285 = 45( +72)2+215， 45 0， 当 = 72时，四边形最大为215， 此时将 = 72代入 = 25285 + 2得 =2710， (72,2710)，四边形面积的最大值为2710； (3)抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线 =5+12+ 1 = 1， 在直线 = 1
31、上， 为(1,0)，为(0,2)， = 12+ 22= 5， 分以下三种情况讨论： 当和互为对边时，如图： 四边形是菱形， 、互相垂直平分， 为(0,2)； 当和互为对边时，如图： = = 5， (1,1)或(1,1)， 将平移，移动到，则移动到， 为(2,3)或(2,1)； 当垂直平分时，如图： 设(1,)，(,)， 中点即是中点， 1 + = 0 + 1 + = 2 + 0，即 = 2 + = 2， 又 = ， (1 1)2+ ( 0)2= (1 )2+ ( 0)2，即4 + 2= (1 )2+ 2， 解得 =14， = 2， =74， (2,74)， 综上，的坐标为(0,2)或(2,1)
32、或(2,3)或(2,74). 【解析】(1)代入、两点坐标值到解析式，得到方程组并求解得到、的值，即可求得抛物线角析式 (2)求出直线的解析式，利用两点的纵坐标之差再求得、两条线段的长；将四边形分割为 和 ，这两个三角形等的高即是与间的距离2，利用三角形面积计算公式可推导得四边形的面积即为 + 的值；再利用四边形面积的表达式求最值和点坐标 (3)抛物线向右平移1个单位得到的新抛物线的对称轴为 = 1，线段的长为5，再分类讨论点的位置并借助图象即可求出点的坐标 本题是二次函数综合题，涉及的知识点较多：二次函数解析式的确定、求二次函数的最值、平面直角坐标系内线段长度的求法、抛物线的平移、分类讨论求二次函数中的系数、勾股定理、一次函数解析式的确定、求线段中点坐标等，同时也涉及到代数式的计算求四边形面积最值易在计算上出现失误，求点坐标可能会出现分类情况不完全，都需要在解题过程中多加注意