1、 2021-2022 学年河北省秦皇岛市海港区九年级学年河北省秦皇岛市海港区九年级上上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1反比例函数的图象在第二、四象限，那么实数 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm0 Cm2 Dm2 2关于 x 的一元二次方程（k1）x23x20 有实根，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk Ck且 k1 Dk且 k1 3如图，矩形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上若矩形 OA1B1C1与矩形OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA1B1C1的面积等于矩形 OA
2、BC 面积的，则点 B1的坐标是（ ） A（3，2） B（2，3） C（2，3）或（2，3） D（3，2）或（3，2） 4在 RtABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，那么锐角 A 的正切值（ ） A不变化 B扩大 2 倍 C缩小 2 倍 D不能确定 5如图，菱形 ABCD 周长为 8，E 是 AC 的中点，EFCB，交 AB 于点 F，那么 EF（ ） A4 B3 C2 D1 6如图，在平面直角坐标系中，BAy 轴于点 A，BCx 轴于点 C，函数 y （x0）的图象分别交 BA，BC 于点 D，E当 AD：BD1：3，且BDE 的面积为 18 时，则 k 的值是（ ） A9.6 B12
3、C14.4 D16 7若 为锐角，且 tan，则有（ ） A030 B3045 C4560 D6090 8下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ） A B C D 9下列说法： 平分弦的直径垂直于弦 三点确定一个圆， 相等的圆心角所对的弧相等 垂直于半径的直线是圆的切线 三角形的内心到三条边的距离相等 其中不正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：（1）c0；（2）b0；（3）4a+2b+c0；（4）（a+c）2b2，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题：（每题二、填空题：
4、（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11圆的一条弦把圆分为 5：1 两部分，如果圆的半径是 2cm，则这条弦的长是 cm 12已知点 A（1，y1），B（2，y2）和 C（3，y3）都在反比例函数 y（k0）的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系为 （用“”连接） 13已知两个相似三角形，其中一个三角形的三边的长分别为 2，5，6，另一个三角形的最长边为 15cm，则它的最短边是 cm 14如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，点 A 的坐标是（4，0），P 为边 AB 上一点， CPB60， 沿 CP 折叠正方形 OABC， 折叠后， 点 B 落在平面内的点 B处，
5、则点 B的坐标为 15已知关于 x 的二次函数 yax2+（a21）xa 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为（m，0）若 2m3，则 a 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 8 道题，共道题，共 75 分）分） 16（1）解方程（3x1）2（x+1）2； （2）计算 tan60sin30tan45+cos60 17将如图所示的牌面数字分别是 1，2，3，4 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ； （2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是 5 的概率是 ； （3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并
6、重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是 4 的倍数的概率 18已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，且 ABCD，垂足为 E，连接 OC，OC5，CD8，求 BE 的长 19如图，反比例函数 y（x0）的图象上两点 P，R，O 为坐标原点，连接 PO，PR 且 2POPR，x轴正半轴点 A（a，0），PBy 轴于 RBx 轴点，两垂线交于点 B，连接 OB，过 R 点做 x 轴的平行线交OB 于点 N 连接 PN （1）求证，四边形 PNRB 是矩形； （2）求证 2AOBPOB 20某校课外活动小组，在距离湖面 7 米高
7、的观测台 A 处，看湖面上空一热气球 P 的仰角为 37，看 P 在湖中的倒影 P的俯角为 53（P为 P 关于湖而的对称点）请你算出这个热气球 P 距湖面得高度 PC约为多少米？ 注：sin37，cos37，tan37，sin53，cos53，tan53 21如图，ABC 中，BAC90，ABAC1，点 D 是 BC 上一个动点（不与 B、C 重合），在 AC 上取 E 点，使ADE45 度 （1）求证：ABDDCE； （2）设 BDx，AEy，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长 22已知：二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、
8、B 两点，其中 A 点坐标为（1，0），与 y 轴相交 于点 C，点 C 坐标为（0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点A 点在 B 点左侧，N 为抛物线上的点 （1）求抛物线的解析式； （2）若NCB 的面积 SNCB2SMCB求 N 点的坐标 23 如图， 已知ABC 是等腰直角三角形， BAC90， 点 D 是 BC 的中点 作正方形 DEFG， 使点 A，C 分别在 DG 和 DE 上，连接 AE，BG （1）试猜想线段 BG 和 AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论； （2）将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0，小于或等于 360）
9、，如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； （3）若 BCDE2，在（2）的旋转过程中，当 AE 为最大值时，求 AF 的值 参考答案参考答案 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1反比例函数的图象在第二、四象限，那么实数 m 的取值范围是（ ） Am0 Bm0 Cm2 Dm2 【分析】由于反比例函数的图象在二、四象限内，则 m20，解得 m 的取值范围即可 解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内， 则 m20， 解得 m2 故选：D 2关于 x 的一元二次方程（k1）x23x20 有实根
10、，则 k 的取值范围是（ ） Ak Bk Ck且 k1 Dk且 k1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k10 且0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可 解：根据题意得 k10 且（3）24（k1）（2）0， 解得 k且 k1 故选：C 3如图，矩形 OABC 的顶点 O 是坐标原点，边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上若矩形 OA1B1C1与矩形OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA1B1C1的面积等于矩形 OABC 面积的，则点 B1的坐标是（ ） A（3，2） B（2，3） C（2，3）或（2，3） D（3，2）或（3，2） 【分析】根据位似图形的位似比求
11、得相似比，然后根据 B 点的坐标确定其对应点的坐标即可 解：若矩形 OA1B1C1与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形 OA1B1C1的面积等于矩形 OABC 面积的， 两矩形的相似比为 1：2， B 点的坐标为（6，4）， 点 B1的坐标是（3，2）或（3，2） 故选：D 4在 RtABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，那么锐角 A 的正切值（ ） A不变化 B扩大 2 倍 C缩小 2 倍 D不能确定 【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角 A 的正切值为对边和邻边的比值 一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关 解：根据锐角三角函数的定义，知 如果各边长
12、度都扩大 2 倍，那么锐角 A 的正切值不变 故选：A 5如图，菱形 ABCD 周长为 8，E 是 AC 的中点，EFCB，交 AB 于点 F，那么 EF（ ） A4 B3 C2 D1 【分析】由菱形的性质得出 BC2，证出 EF 是ABC 的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果 解：菱形 ABCD 周长为 8， BC2， E 是 AC 中点，EFBC， AECE， EF 是ABC 的中位线， EFBC1， 故选：D 6如图，在平面直角坐标系中，BAy 轴于点 A，BCx 轴于点 C，函数 y （x0）的图象分别交 BA，BC 于点 D，E当 AD：BD1：3，且BDE 的面积为 18 时，
13、则 k 的值是（ ） A9.6 B12 C14.4 D16 【分析】首先设 B（4a，b），E（4a，d），利用 AD：BD1：3，则 D（a，b），进而利用BDE 的面积为 18 得出 abad12，结合反比例函数图象上的性质得出 ab4ad，进而得出 ad 的值，即可得出答案 解：如图，过点 D 作 DFx 轴于点 F，过点 E 作 EGy 轴于点 G 设 B（4a，b），E（4a，d） AD：BD1：3， D（a，b） 又BDE 的面积为 18， BD3a，BEbd， 3a（bd）18， a（bd）12，即 abad12， D，E 都在反比例函数图象上， ab4ad， 4adad12，
14、解得：ad4， k4ad16 故选：D 7若 为锐角，且 tan，则有（ ） A030 B3045 C4560 D6090 【分析】首先明确 tan451，tan60，再根据正切值随着角的增大而增大，进行分析 解：tan451，tan60， 为锐角， 越大，正切值越大 又 1， 4560 故选：C 8下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（ ） A B C D 【分析】分别确定四个几何体从正面和上面看所得到的视图即可 解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误； B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确； C、此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误
15、； D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误； 故选：B 9下列说法： 平分弦的直径垂直于弦 三点确定一个圆， 相等的圆心角所对的弧相等 垂直于半径的直线是圆的切线 三角形的内心到三条边的距离相等 其中不正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】举出反例图形，即可判断；根据角平分线性质即可推出 解：如图 弦 CD 和直径 AB，符合 AB 平分弦 CD，且 AB 是直径，但 AB 和 CD 不垂直，错误； 在同一直线上的三点不能确定一个圆，错误； 如图圆心角CODAOB，但弧 AB 和弧 CD 不相等，错误； 如图 CD半径 OA，但 CD 不是圆的切线，错
16、误； 根据角平分线的性质即可得出三角形的内心到三角形的三边距离相等，正确； 不正确的有 4 个， 故选：D 10二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：（1）c0；（2）b0；（3）4a+2b+c0；（4）（a+c）2b2，其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】（1）由图象与 y 轴交于 y 轴负半轴可以确定 c 的符号； （2）由对称轴 x1 和开口向下可以得到 a0，由此可以确定 b 的符号； （3）由于当 x2 时，y0，由此可以确定 4a+2b+c 的符号； （4）由于（a+c）2b2可化为（ab+c） （a+b+c）0，由于当 x1
17、 时，a+b+c0，所以当 x1 时，可以确定 ab+c 的符号，最后确定（a+c）2b2是否正确 解：（1）图象与 y 轴交于 y 轴负半轴，则 c0，正确； （2）对称轴 x1，开口向下， a0，故 b0，正确； （3）由于对称轴 x1，可知当 x2 时，y0，即 4a+2b+c0 错误； （4）（a+c）2b2可化为（ab+c）（a+b+c）0， 而当 x1 时，a+b+c0，当 x1 时，ab+c0，故（a+c）2b2正确 故选：C 二、填空题：（每题二、填空题：（每题 3 分，共分，共 15 分）分） 11圆的一条弦把圆分为 5：1 两部分，如果圆的半径是 2cm，则这条弦的长是 2
18、 cm 【分析】先利用“圆的一条弦把圆分为 5：1 两部分”求出这条弦对的圆心角的度数，则弦长易求 解：圆的一条弦把圆分为 5：1 两部分， 这条弦对的圆心角的度数360660， 所以由这条弦与这条弦的两个端点与圆心的连线成等边三角形， 圆的半径是 2cm， 这条弦的长是 2cm 故答案为：2 12已知点 A（1，y1），B（2，y2）和 C（3，y3）都在反比例函数 y（k0）的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系为 y3y2y1 （用“”连接） 【分析】先根据函数解析式中的比例系数 k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答 解：在反比例函数 y（k0）中，
19、k0， 此函数图象在二、四象限， 210， 点 A（1，y1），B（2，y2）在第二象限，y10，y20， 函数图象在第二象限内为增函数，210，0y2y1 30，C（3，y3）点在第四象限， y30， y1，y2，y3的大小关系为 y3y2y1 故答案为 y3y2y1 13已知两个相似三角形，其中一个三角形的三边的长分别为 2，5，6，另一个三角形的最长边为 15cm，则它的最短边是 5 cm 【分析】首先根据相似三角形的性质求出相似比，找出最长边和最短边，然后求出另一个三角形的最短边 解：由题意知，两个三角形的相似比是 2：5； 设另一个三角形的最短边为 x； 则得到 2：x2：5； 解得
20、 x5 则它的最短边是 5cm 14如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是正方形，点 A 的坐标是（4，0），P 为边 AB 上一点，CPB60， 沿 CP 折叠正方形 OABC， 折叠后， 点 B 落在平面内的点 B处， 则点 B的坐标为 （2，42） 【分析】过点 B作 BDOC，因为CPB60，CBOCOA4，所以BCD30，BD2，根据勾股定理得 DC2，故 OD42，即 B点的坐标即可求解 解：过点 B作 BDOC，如图所示： 四边形 OABC 是正方形，点 A 的坐标是（4，0）， BBDC90，CBCBOCOA4， CPB60， BCP90CPB30， 由折叠的性质可得：
21、PCBBCP30， BCD30， BDCB2， 在 RtBCD 中，根据勾股定理得 DC2， OD42， 即 B点的坐标为（2，42）， 故答案为：（2，42） 15已知关于 x 的二次函数 yax2+（a21）xa 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为（m，0）若 2m3，则 a 的取值范围是 a或3a2 【分析】先用 a 表示出抛物线与 x 轴的交点，再分 a0 与 a0 两种情况进行讨论即可 解：yax2+（a21）xa（ax1）（x+a）， 当 y0 时，x1，x2a， 抛物线与 x 轴的交点为（，0）和（a，0） 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标为（m，0）且 2m3， 当 a0 时，
22、23，解得a； 当 a0 时，2a3，解得3a2 故答案为：a或3a2 三、解答题（共三、解答题（共 8 道题，共道题，共 75 分）分） 16（1）解方程（3x1）2（x+1）2； （2）计算 tan60sin30tan45+cos60 【分析】（1）方程利用平方差公式因式分解求解即可； （2）利用特殊角的三角函数值计算即可 解：（1）（3x1）2（x+1）2， （3x1）2（x+1）20， （3x1+x+1）（3x1x1）0， 8x（x1）0， 8x0 或 x10， 解得 x10，x21； （2）tan60sin30tan45+cos60 17将如图所示的牌面数字分别是 1，2，3，4 的
23、四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上 （1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是 ； （2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是 5 的概率是 ； （3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是 4 的倍数的概率 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可 解：（1）A，2，3，4 共有 4 张牌，随意抽取一张为偶数的概率为； （2）1+45；2+35，但组合一共有 3+2+16，故概率为； （3）根据题
24、意，画树状图： 由树状图可知，共有 16 种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44 其中恰好是 4 的倍数的共有 4 种：12，24，32，44 所以，P（4 的倍数） 或根据题意，画表格： 第一次 第二次 1 2 3 4 1 11 12 13 14 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 4 41 42 43 44 由表格可知，共有 16 种等可能的结果，其中是 4 的倍数的有 4 种，所以，P（4 的倍数） 18已知：如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，且 ABCD，垂足为 E，连接 OC，OC5
25、，CD8，求 BE 的长 【分析】 由于 ABCD， 而 AB 是直径， 根据垂径定理易求 CE， 再根据勾股定理可求 CE， 进而可求 BE 解：AB 为直径，ABCD， CEDECD4， 在 RtCOE 中，OE3， BEOBOE532， 故 BE2 19如图，反比例函数 y（x0）的图象上两点 P，R，O 为坐标原点，连接 PO，PR 且 2POPR，x轴正半轴点 A（a，0），PBy 轴于 RBx 轴点，两垂线交于点 B，连接 OB，过 R 点做 x 轴的平行线交OB 于点 N 连接 PN （1）求证，四边形 PNRB 是矩形； （2）求证 2AOBPOB 【分析】（1）直接利用坐标的
26、特点和反比例函数的解析式即可得出结论； （2）先判断出 PR，BN 是矩形的对角线，设 PR 与 BN 交于点 S，进而得出PSO2AOB，再由 PR2OP 即可得出 PSOP，即：PSOPOS，最后代换即可得出结论 【解答】证明：（1）设点 B 的坐标为（t，n）， 直线 OB 的解析式为：yx， BRx 轴，BPy 轴，点 P，R 在反比例函数 y（x0）图象上， R（t，），P（，n）， NPx 轴， N（，）， PNx 轴， PNRPBRBRN90， 四边形 PNRB 是矩形 （2）由（1）四边形 PNRB 是矩形，设 PR，BN 交于点 S， PSRSNS， BNRPRN， PSO2
27、BNR， NROA， BNRBOA， PSO2BOA， PR2OP，PR2PS， POPS， PSOPOS， POS2BOA 20某校课外活动小组，在距离湖面 7 米高的观测台 A 处，看湖面上空一热气球 P 的仰角为 37，看 P 在湖中的倒影 P的俯角为 53（P为 P 关于湖而的对称点）请你算出这个热气球 P 距湖面得高度 PC约为多少米？ 注：sin37，cos37，tan37，sin53，cos53，tan53 【分析】过点 A 作 ADPP，垂足为 D，构造矩形 ABCD 和直角三角形，根据三角函数的定义求出 AD的长，根据 ADAD，列出方程解答即可 解：过点 A 作 ADPP，
28、垂足为 D，则有 CDAB7 米， 设 PC 为 x 米，则 PCx 米，PD（x7）米，PD（x+7）米， 在 RtPDA 中，AD（x7）， 在 RtPDA 中，AD（x+7）， （x7）（x+7）， 解得：x25 答：热气球 P 距湖面的高度 PC 约为 25 米 21如图，ABC 中，BAC90，ABAC1，点 D 是 BC 上一个动点（不与 B、C 重合），在 AC 上取 E 点，使ADE45 度 （1）求证：ABDDCE； （2）设 BDx，AEy，求 y 关于 x 的函数关系式； （3）当ADE 是等腰三角形时，求 AE 的长 【分析】此题有三问， （1）证明ABDDCE，已经有
29、BC，只需要再找一对角相等就可以了； （2）由（1）证得ABDDCE，有相似就线段成比例，于是利用（1）的结果可证得（2）； （3）当ABDDCE 时，可能是 DADE，也可能是 EDEA，所以要分两种情况证明结论 【解答】（1）证明：ABC 中，BAC90，ABAC1， ABCACB45 ADE45， BDA+CDE135 又BDA+BAD135， BADCDE ABDDCE （2）解：ABDDCE， ； BDx， CDBCBDx ， CExx2 AEACCE1（xx2）x2x+1 即 yx2x+1 （3）解：DAEBAC90，ADE45， 当ADE 是等腰三角形时，第一种可能是 ADDE
30、又ABDDCE， ABDDCE CDAB1 BD1 BDCE， AEACCE2 当ADE 是等腰三角形时，第二种可能是 EDEA ADE45， 此时有DEA90 即ADE 为等腰直角三角形 AEDEAC 当 ADEA 时，点 D 与点 B 重合，不合题意，所以舍去， 因此 AE 的长为 2或 22已知：二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（1，0），与 y 轴相交于点 C，点 C 坐标为（0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点A 点在 B 点左侧，N 为抛物线上的点 （1）求抛物线的解析式； （2）若NCB 的面积 SNCB2SMCB
31、求 N 点的坐标 【分析】（1）将 A（1，0），C（0，5），（1，8）代入 yax2+bx+c，列方程组并且解该方程组求出a、b、c 的值，即得到抛物线的解析式为 yx2+4x+5； （2）作 ADx 轴，作 BDBC 交 AD 于点 D，连接 CD，先求得抛物线的顶点 M 的坐标为（2，9），B（5，0），作 MEy 轴于点 E，即可求得 SMCB15，再证明 ADAB5+16，则 D（1，6），BD6，而 BC5，所以 SDCB5630，可知 SDCB2SMCB，过点 D 作 DNBC交抛物线于点 N、点 N，连接 BN、CN、BN、CN，则 SNCBSNCB2SMCB，再求得直线 D
32、N 的解析式为 yx7，将其与抛物线的解析式联立方程组，解该方程组即可求得点 N 和点 N的坐标 解：（1）抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0），C（0，5），（1，8）， ， 解得， 抛物线的解析式为 yx2+4x+5， （2）如图，作 ADx 轴，作 BDBC 交 AD 于点 D，连接 CD， yx2+4x+5（x2）2+9， 抛物线的顶点 M 的坐标为（2，9）， 当 y0 时，则x2+4x+50， 解得 x11，x25， B（5，0），AB5， 作 MEy 轴于点 E，则 E（0，9）， CE954，EM2， SMCB9（2+5）425515， BOCCBDBAD90，OB
33、OC5， OBCOCB45， ABDADB45， ADAB5+16， D（1，6），BD6， BC5， SDCB5630， SDCB2SMCB， 过点 D 作 DNBC 交抛物线于点 N、点 N，连接 BN、CN、BN、CN， SNCBSNCB2SMCB， 设直线 BC 的解析式为 ykx+5，则 5k+50， 解得 k1， 设直线 DN 的解析式为 yx+m，则 1+m6， 解得 m7， yx7， 解方程组，得， N（，）或 N（，） 23 如图， 已知ABC 是等腰直角三角形， BAC90， 点 D 是 BC 的中点 作正方形 DEFG， 使点 A，C 分别在 DG 和 DE 上，连接 A
34、E，BG （1）试猜想线段 BG 和 AE 的数量关系，请直接写出你得到的结论； （2）将正方形 DEFG 绕点 D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 0，小于或等于 360），如图，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； （3）若 BCDE2，在（2）的旋转过程中，当 AE 为最大值时，求 AF 的值 【分析】（1）在 RtBDG 与 RtEDA；根据边角边定理易得 RtBDGRtEDA；故 BGAE； （2）连接 AD，根据直角三角形与正方形的性质可得 RtBDGRtEDA；进而可得 BGAE； （3）根据（2）的结论，求
35、BG 的最大值，分析可得此时 F 的位置，由勾股定理可得答案 解：（1）BGAE， 证明：ABC 是等腰直角三角形，ADBC， BDDA， 又正方形 DEFG 中：GDDE，GDBEDA； RtBDGRtADE； BGAE； （2）成立： 证明：连接 AD， RtBAC 中，D 为斜边 BC 的中点， ADBD，ADBC， ADG+GDB90， EFGD 为正方形， DEDG，且GDE90， ADG+ADE90， BDGADE， 在BDG 和ADE 中， BDGADE（SAS）， BGAE； （3）由（2）可得 BGAE，当 BG 取得最大值时，AE 取得最大值； 分析可得：当旋转角度为 270时，BGAE 最大值为 1+23， 此时如图：AF