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八年级数学暑假培优讲义:11:函数基础(教师版)

1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 函数基础 知识模块:知识模块:平面直角坐标系基础平面直角坐标系基础 1. .象限的划分:象限的划分: 函数基础 2. .垂直于坐标轴的直线垂直于坐标轴的直线:经过点 A(a,b)且垂直于 x 轴的直线可以表示为直线 x=,经过点 A(a,b)且垂直于 y 轴的直线可以表示为直线 y=b. 3. .点的坐标点的坐标 有了平面直角坐标系,平面内的点就可以用一个有序数对来表示,a 点对应 x 轴的数值 为横坐标,b 点对应 y 轴的数值为纵坐标,有序数对就叫做点点 A 的坐标的坐标,记作(a,b) 。 在直角坐标平面内,平行于 x

2、轴的直线上的两点1,A xy、2,B xy的距离12ABxx; 平行于 y 轴的直线上的两点1,C x y、2,D x y的距离12CDyy. 4. .点的平移点的平移 在平面直角坐标系中,(m0) 将点(x,y)向右平移 m 个单位长度,可以得到对应点(xm ,y) ; 将点(x,y)向左平移 m 个单位长度,可以得到对应点(xm,y) ; 将点(x,y)向上平移 m 个单位长度,可以得到对应点(x,ym) ; 将点(x,y)向下平移 m 个单位长度,可以得到对应点(x,ym) 。 5. .坐标平面图坐标平面图 坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的,也可以说坐标平面内的点可以分为 六个区

3、域:x 轴上,y 轴上,第一象限,第二象限,第三象限,第四象限。在这六个区域中,除 x 轴与 y轴的一个公共点(原点)之外,其他区域之间都没有公共点。 6. .在平面直角坐标系中对称点的特点:在平面直角坐标系中对称点的特点: 关于 x 成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。 (横同纵反) 关于 y 成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。 (横反纵同) 关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。 (横纵皆反) 一般地,在直角坐标平面内,与点 M(x,y)关于 X 轴对称的点的坐标为(x,y);与点 M(x,y)关于 y 轴对称的点的

4、坐标为(-x,y). 一般地,在直角坐标平面内,与点 M(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y)。 【例 1】经过点 P(1,5)且垂直于x轴的直线可以表示为直线_ 【答案】5y 【例 2】在直角坐标平面中,如果点 A 在第四象限内,且到 x 轴的距离为 3,到 y 轴的距 离为 4,那么点 A 的坐标是( ) A (3,4) B (3,4) C (4,3) D (4,3) 【答案】C 【例 3】在平面直角坐标系中,点 P(3a,2)到两坐标轴的距离相等,那么 a 的值是_ 【答案】15或 【例 4】点 P(3,7) 、Q(5,7)之间的距离是_ 【答案】113 【例 5】如果点 M(

5、a+3,a+1)在直角坐标系的 x 轴上,那么点 M 的坐标为_ 【答案】2 , 0 【例 6】在平面直角坐标系中,将点 A(a,b)向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长 度,得到对应点 A1的坐标是_ 【答案】2 ,5ab 【例 7】在平面直角坐标系中,点 M(2,)向下平移 3 个单位到达点 N,则点 N 在第_ 象限 【答案】三 【例 8】如图,已知棋子“车”的坐标为(2,3) ,棋子“马”的坐标为(1,3) ,那么棋子“炮”的坐标为( ) A、 (3,0) B、 (3,1) C、 (3,2) D、 (2,2) 【答案】C 【例 9】在平面直角坐标系中,点 P(m+1,m+

6、3)在 y 轴上,那么点 P 的坐标是_ 【答案】0 , 2 【例 10】已知点 A(1,2)与点 B(m,n)关于 y 轴对称,那么 m+n 的值等于 ( ) A3 B1 C1 D3 【答案】C 【例 11】在平面直角坐标系中,点 P(4,5)与点 Q(4,m+1)关于原点对称,那么 m=_ 【答案】6 【例 12】点 M(5,7)关于原点的对称点坐标为_ 【答案】5 , 7 知识点二:变量与函数知识点二:变量与函数 1. .变量与常量变量与常量 第 17 题图 在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量。 2、函数、函数:在某个变化过程中有两个变量,设为x和y,如

7、果在变量x允许范围内,变量y随着的变化而变化,它们之间存在确定的依赖关系,那么变量y叫做变量x的函数(function) ,叫做自变量(indepent vareable). 3、函数解析式:、函数解析式:表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式。 【例 13】在圆周长计算公式 C=2r 中,对半径不同的圆,变量有( ) AC,r BC,r CC, DC,2,r 【答案】A 【例 14】圆的面积 S 与半径 R 的关系是_,其中常量是_,变量是_ 【答案】2SRSR、 【例 15】要画一个面积为 20cm2的长方形,其长为 xcm,宽为 ycm,在这一变化过程中,常量与变 量分别为(

8、) A常量为 20,变量为 x,y B常量为 20、y,变量为 x C常量为 20、x,变量为 y D常量为 x、y,变量为 20 【答案】A 【例 16】在三角形面积公式 S=,a=2cm 中,下列说法正确的是( ) AS,a 是变量,是常量 BS,h 是变量,是常量 CS,h 是变量,是常量 DS,h,a 是变量,是常量 【答案】C 【例 17】据测试,拧不紧的水龙头每分钟滴出 100 滴水,每滴水约 0.05 毫升小明洗手后没有把水龙头拧紧,水龙头以测试速度滴水,当小明离开 x 分钟后,水龙头滴水 y 毫升水,则 y 与 x 之间的函数关系式是( ) Ay=0.05x By=5x Cy=

9、100 x Dy=0.05x+100 【答案】B 【例 18】已知等腰三角形的周长为 20cm,设底边长为 ycm,腰长为 xcm,求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出函数的定义域。 【答案】202510yxx xx 【例 19】弹簧挂上物体后会伸长(物体重量在 010 千克范围内) ,测得一弹簧的长度 y(厘米)与所挂物体的质量 x(千克)有如下关系: x(千克) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y(厘米) 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 (1)此弹簧的原长度是_厘米; (2)物体每增加一千克重量弹簧伸长_厘米; (3)弹簧总长度 y(厘米)与所

10、挂物体的重量 x(千克)的函数关系式是_ 【答案】 (1)12(2)0.5(3)120.5yx 知识点三:函数的定义域与函数值知识点三:函数的定义域与函数值 1、定义域:函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域(、定义域:函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域(domain). . 定义域取值确定常见方法: 解析式是只含有一个自变量的整式的函数,自变量取值范围是全体实数。 解析式是只含有一个自变量的分式的函数,自变量取值范围是使分母不为 0 的实数。来源:学科网 解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数,自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 (注意:在确定函数中自变量的取值

11、范围时,如果遇到实际问题,还必须使实际问题有意义) 2、函数值:、函数值:如果变量是自变量的函数,那么对于在定义域内取定的一个值a,变量的对应值叫做当ax时的函数值(value of a funtion). 【例 20】 函数 f(x)=的定义域是_ 【答案】2x 【例 21】函数的定义域是_ 【答案】2x 【例 22】函数的定义域是_ yxxy【答案】3x 【例 23】函数的定义域是_ 【答案】10 xx 且 【例 24】函数的定义域是_ 【答案】3x 【例 25】函数 y=中,自变量 x 的取值范围是_ 【答案】01xx且 【例 26】已知函数 f(x)=,则 f()=_ 【答案】22 【

12、例 27】如果 f(x)=,那么 f(3)=_ 【答案】32 【例 28】如果 f(x)=,那么 f(2)=_ 【答案】32 【例 29】已知函数 f(x)=,求函数的定义域及 f(4) 【答案】 2644 2xf 【习题 1】 甲乙两地相距s千米, 某人走完全程所需的时间t(时) 与他的速度v(千米/时) 满足vts,在这个变化过程中,下列判断中错误的是( ) As是变量 Bt是变量 Cv是变量 Ds是常量 【答案】A 【习题 2】如图所示是用火柴棒拼成的图案,需用火柴棒的根数m随着拼成的正方形的个数n的变化而变化,在这个变化过程中,下列说法中错误的是( ) Amn、都是变量 Bn是自变量,

13、m是函数 Cm是自变量,n是函数 Dm随着n的变化而变化 【答案】C 【习题 3】已知函数212xyx,当函数值为 1,则x的值是( ) A1 B3 C1 D3 【答案】B 【习题 4】函数11yx的定义域是( ) A1x B1x C1x D1x 【答案】B 【习题 5】在圆的周长公式2Cr中, 是常量, 是变量. 【答案】2 rC 【习题 6】已知5323yx ,则y= . 【答案】265x 【习题 7】市场上一种豆子的单价是 2 元/千克,豆子的销售额y(元)与所售豆子的重量x(千克)之间的函数解析式为 . 【答案】2yx 【习题 8】已知三角形的面积是定值S,则三角形的高h与底a的函数解

14、析式是h= . 【答案】2Sa 【习题 9】一件商品原价 100 元,连续两次降价后(降价率相同) ,售价是y元,写出y与降价率x的函数解析式. 【答案】2100 1yx 【习题 10】若一组有x个人,相互赠送礼物,共赠送礼物y件,写出y与x的函数解析式. 【答案】1yx x 【习题 11】已知 2xf xx,则3f= , 31xg xx,则3g = . 【答案】2 3332 3 【习题 12】若a表示某种水笔的单价,x表示该水笔的数量,y表示x支水笔的总价,则y与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 . 【答案】0yaxx的整数 【习题 13】求下列函数的定义域: (1)234xyx (

15、2)122yx (3)21123yxxx (4)11yxx (5)0121yxx 【答案】 (1)32xx 且(2)26xx且(3)13xx且(4)1x (5)112xx 且 【习题 14】已知 11xf xx,求 1122+12fffff a、的值. 【答案】111021331aa 【习题 15】分别写出下列函数的解析式,并确定自变量的取值范围. (1)已知等腰三角形的周长为 30cm,求其一腰长y cm与底边长x cm的函数解析式; (2)已知等腰三角形的周长为 30cm,求底边长y cm与腰长x cm的函数解析式; (3)求等腰三角形底角y度与顶角x度的函数解析式; (4)求等腰三角形顶角y度与底角x度的函数解析式; 【答案】 (1)300152xyx(2)15302152yxx(3)18001802xyx(4)1802090yxx