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七年级春季数学培优讲义1:实数的概念与数的开方(教师版)

1、教师姓名 学生姓名 年 级 初一 上课时间 学 科 数学 课题名称 实数的概念与数的开方 (尚孔教研院彭(尚孔教研院彭知识模块:知识模块:无理数的概念及特征无理数的概念及特征 1、概念:无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数与负无理数,如,3,2是正无理数,2,7,2是负无理数. 注:有理数是指有限小数和无限循环小数,而无理数包括: 实数的概念与数的开方 开方开不尽的数,如33,7,2 ,. 有特定意义的数,如及含的数. 有一定结构的无限小数,如 1.010010001. 无限不循环小数. 2、无理数的特征: (1)无理数的小数部分是无限的. (2)无理数的小数部分不循环,不能表示成分

2、数的形式 【例 1】写出下列各数中的无理数: 3.1415926,2,16,.0.5,0,23,0.1313313331(两个 1 之间依次多一个 3) ,0.2121121112 【答案】2、0.1313313331 【例 2】判断正误,在后面的括号里对的用“”,错的记“ ”表示 (1)无限小数都是无理数 ( ) (2)无理数都是无限小数 ( ) (3)带根号的数都是无理数 ( ) (4)不带根号的数一定不是无理数 ( ) 【答案】(1); (2); (3); (4) 知识模块:知识模块:实数的概念及分类实数的概念及分类 1、 有理数和无理数统称为实数 2. 按定义分类: 负无理数正无理数无

3、理数负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数实数 按大小分类: 负实数零正实数实数 【例 3】用“是” 、 “不是” 、 “统称” 、 “包括” 、 “叫做”填空,并体会这些词的含义: (1)2 分数. (2) 0 有理数. (3) 无限不循环小数 无理数. (4) 实数 有理数和无理数. (5) 正整数、0 和负整数 为整数. (6) 有理数 有限小数或无限循环小数. 【答案】 (1)不是; (2)是; (3)叫做; (4)包括; (5)统称; (6)包括 【例 4】若 a+bx=c+dx(其中 a、b、c、d 为有理数,x 为无理数),则 a=c,b=d,反之, 亦成立,这种说法正

4、确吗?说明你的理由 【答案】移项得:acdb x, 因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数, 而ac是有理数(两个有理数的差仍是有理数) ,忧伤0db,从而0ac, 于是有:acbd,当acbd,时,等式abxcdx成立 知识模块:数的开方知识模块:数的开方 (一)开平方(一)开平方 1. 平方根的定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做二次方根.用数学语言表达即为:若ax 2,则x叫做a的平方根. 2. 平方根的性质: (1)一个正数a的平方根有两个,它们两个互为相反数. (2)0 的平方根是 0. (3)负数没有平方根. 3. 平方根的表示方法: 一个正数a

5、的平方根有两个, 我们用a表示其中正的平方根, 读作“根号a”,负的平方根记为a,a的平方根合记为a.读作“正负根号下a”. 4. 开平方:求一个数的平方根的运算叫做开平方. 注:被开方数可以是正数,也可以是 0. 5. 算术平方根 (1)算术平方根的定义:正数a有两个平方根,其中正数a的正的平方根a叫做a的算术平方根.例如 16 的平方根是 4 和-4,其中 4 又叫做 16 的算术平方根. (2)0 的平方根也叫做 0 的算术平方根,即00 . (3)当数a为非负数时,a表示a的算术平方根. (二)开立方(二)开立方 1. 立方根的概念:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立

6、方根,也叫做三次方根.用数学式子表示为:若ax 3,则x叫做a的立方根或三次方根例:823,所以 2 叫做 8 的立方根. 2. 立方根的表示方法: 类似于平方根的表示方法, 数a的立方根我们用符号“3a”来表示, 读作“三次根号a”,a叫做被开方数,3 叫做根指数. 3. 立方根的性质: (1)正数有一个正的立方根. (2)负数有一个负的立方根. (3)0 的立方根是 0. (4)一个负数的立方根等于它的绝对值的立方根的相反数. 注:任何一个实数都有立方根,而且只有一个立方根. (三)(三)n次方根次方根 1. 定义:如果一个数的n次方(n是大于 1 的整数)等于a,那么这个数称做a的n次方

7、根.当n为奇数时,这个数为a的奇次方根.当n为偶数时,这个数为a的偶次方根.n次方根简称“方根”. 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方,a叫做被开方数,n叫做根指数.开n次方根简称“开方”,“na”读作“n次根号”. 2. 性质: (1)实数a的奇次方根有且只有一个,用“na”表示.其中被开方数a是任意一个实 数,根指数n是大于 1 的奇数. (2)正数a的偶次方根有两个,它们互为相反数,正n次方根用“na”表示,负n次 方根用“na”表示.其中被开方数0a,根指数n是正偶数(当2n时,在na中省略n) (3)负数的偶次方根不存在 零的n次方根等于零,表示为00 n 【例 5】写出下列各数

8、的平方根: (1)9121; (2)2( 9) 【答案】(1)311; (2)3 【例 6】求值: (1)144; (2)2( 0.1); (3)2( 4); (4)2(11) 【答案】(1)12; (2)0.1 ; (3)4; (4)11 【例 7】根据开n次方根的意义,求下列x的值 (1)38(2)270 x; (2)6(2)64x 【答案】(1)因为32728x , 所以322x , 所以12x ; (2)由题可得:22x ,所以04xx 或 【例 8】写出下列各数的整数部分和小数部分: (1)65; (2)56 (3)913 【答案】(1)因为86465819,所以65的整数部分为 8

9、,小数部分为658; (2)因为74956648,所以56的整数部分为 7,小数部分为567; (3)因为3913164,所以59136, 所以913的整数部分为 5,小数部分为413 【例 9】(1)已知:x|4,y2149 且x0,y0,求xy的值; (2)43的整数部分为a,小数部分为b,求ba的值 【答案】(1)044xxx因为, 所以,又2110497yyy 因为,所以, 所以297xy; (2) 因为2433,所以 a=2,23b ,所以232ba 【例 10】填写下表,并回答问题: a 0.000001 0.001 1 1000 1000000 . 3a (1) 数 a 与它的立

10、方根3a的小数点的移动有何规律? (2) 根据这个规律,若已知330.005250.17381.738a,求 a 的值 【答案】(1)由题可知,被开方数a的小数点每向右或向左移动三位,立方根3a的小数点 相应地向右或向左移动一位; (2)由(1)总结的规律可知:5.25a 【例 11】已知实数a满足2|2016|20172016aaaa, 求的值 【答案】2017 【例 12】设等式在()()a xaa yaxaay实数范围内成立,其中 a、x、y 是 两两不相等的实数,求22223xxyyxxyy的值 【答案】13 【例 13】阅读下面材料并完成填空: 你能比较两个数20162017和201

11、72016的大小吗?为了解决这个问题先把问题一般化, 要比较 nn1和 (n1)n的大小(的整数) ,先从分析 n1,2,3,这些简单的情况入手,从中发现规律,经过归纳,猜想出结论. (1)通过计算,比较下列各组中两个数的大小(在横线上填“、”号 12 _21 ;23_32 ;34_43;45_54; 56_65; 67_76; 78_87 (2)对第(1)小题的结果进行归纳,猜想出 nn1和(n1)n的大小关系: : _ (3)根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是:20162017_20172016 【答案】(1);: (2)当 n =1 或 2 时,nn12 的整数时,nn1(n1)n;

12、 (3) 【习题 1】判断下列说法是否正确;若不正确,请说明理由: (1) 一个数的偶次方根总有两个; ( ) (2) 1 的奇次方根是1; ( ) (3) 497 ; ( ) (4) 2是 16 的四次方根; ( ) (5) a 的 n 次方根的个数只与 a 的正负有关 ( ) 【答案】(1); (2); (3); (4); (5) 【习题 2】3为什么是无理数?请说明理由 【答案】假设3是有理数,则3能写成两个整数之比的形式:3pq, 又因为 p、q 没有公因数可以约去,所以pq是最简分数 把3pq两边平方,得223pq,即223qp 由于23q是 3 的倍数,则 p 必定是 3 的倍数

13、设3pm, 则2239qm, 同理 q 必然也是 3 的倍数,设3qn, 既然 p、q 都是 3 的倍数,它们必定有公因数 3,与前面假设pq是最简分数矛盾, 故3是无理数 【例 3】写出下列各数的正平方根: (1)225; (2)9 【答案】(1)15; (2)3 【习题 4】写出下列各数的立方根: (1)216; (2)0; (3)1; (4)3438; (5)27 【答案】(1)6; (2)0; (3)1; (4)72 ; (5)3 【习题 5】已知:31.732,305.477,利用以上结果,求下列各式的近似值 (1)300 _; (2)3000 _; (3)30000 _; (4)0

14、.3 _; (5)0.03 _; (6)0.003 _ 【答案】(1)30031001.732 1017.32; (2)3000301005.477 1054.77; (3)300003100001.732 100173.2; (4)0.3300.015.4770.10.5477; (5)0.0330.011.7320.10.1732; (6) 0.003300.00015.4770.010.05477 【习题 6】写出下列各数的整数部分和小数部分 (1)11; (2)5; (3)234 【答案】(1)因为3911164,所以11的整数部分为 3,小数部分为113; (2)因为24593,所以5的整数部分为 2,小数部分为52; (3)因为41623255,所以234的整数部分为 0,小数部分为234 【习题 7】已知, x y分别是43的整数部分和小数部分,求22xyy的值。 【答案】1 【习题 8】当 x0 时,求x+44x+233x的值. 【答案】0 【习题 9】已知2|2|235)abab(,求236ab的算术平方根 【答案】3 【习题 10】设x、y都是有理数,且满足方程11+()402332xy(),求xy的值 【答案】18