1、因式分解综合）内容分析本部分内容包括因式分解的有关概念，因式分解的常用基本方法因式分解在代数学习中具有基础作用，它在代数的恒等变换，分式的通分，约分以及解方程方面都起着重要作用通过学习，可以培养学生的观察、分析、运算能力 知识结构知识精讲一、因式分解基本概念1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式二、四种基本方法：1、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式
2、法提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式（2）提出公因式（3）写成与的乘积形式提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净（2）视“多”为“一”（3）切勿漏1（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 （6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法（1）平方差公式：由平方差公式反过来可得：，这个公式叫做因式分解的平方差公式；（2）完全平方公式：由完全平方公式反过来可得：和，这两个公式叫做因式分解的完全平方公式3、十字
3、相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数, 满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法 4、分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法选择题1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断B正确【总结】本题主要考
4、查因式分解的概念2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A、B、C、D、【难度】【答案】C【解析】把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因此判断C正确【总结】本题主要考查因式分解的概念3. 下列各式的分解因式： ；其中正确的个数有（）A、0B、1C、2D、3【难度】【答案】B【解析】其中应该为；应该为；不能因式分解【总结】本题主要考查因式分解的概念4. 多项式各项的公因式是（）A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】根据公因式的定义【总结】本题主要考查公因式的概念5. 已知多项式分解因式为，则、的值为（）A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】【总结】考查整式的乘法
5、以及待定系数法6. 下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】B选项变形可得【总结】考查平方差公式的定义7. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】D选项变形为【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用8. 已知正方形的面积是（），则正方形的边长是（）A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】【总结】考查二次根式的非负性以及完全平方公式9. 分解因式得（）A、B、C、D、【难度】【答案】C【解析】【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解彻底10. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多
6、项式是（）A、B、C、D、【难度】【答案】B【解析】【总结】本题主要考查整式的乘法与因式分解之间的关系11. 若多项式能分解成，那么=（）A、2B、4C、6D、8【难度】【答案】B【解析】【总结】考查整式的乘法以及幂的运算12. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A、B、C、D、【难度】【答案】D【解析】割补法求面积【总结】直接利用面积公式进行求解，这也是验证平方差公式成立的一种方法13. 直接写出因式分解的结果：（1）_；（2）_【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（
7、1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解14. 填上适当的式子，使等式成立：【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查通过提取公因式进行因式分解，注意不要遗漏提取因式后的115. 的公因式是_【难度】【答案】【解析】【总结】考查如何提取公因式16. 利用分解因式计算：（1）=_；（2）=_；（3）=_【难度】【答案】（1）7；（2）6.32；（3）5000【解析】（1）原式（2）原式；（3）原式【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意进行巧算17. 利用因式分解简便计算：_【难度】【答案】45.8【解析】原式【总结】本题主要考查利
8、用乘法公式进行简便运算18. 若，则=_，=_【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查整式的乘法以及待定系数法19. 分解因式：=_【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解要彻底20. 已知：若，则的值为_【难度】【答案】4或-1【解析】，a = 4b或a = -b，的值为4或-1【总结】本题主要考查利用因式分解解二次方程21. 计算的值为_【难度】【答案】【解析】原式【总结】本题主要考查利用因式分解进行分数简便运算22. 如果已知，则的值为_【难度】【答案】24【解析】【总结】利用因式分解求解代数式的值23. 若，则=_，=_【难度
9、】【答案】30；74【解析】；【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用24. 若时，=_【难度】【答案】4【解析】，又，【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用25. 若=，则_，_【难度】【答案】4；8【解析】【总结】考查整式的乘法以及待定系数法26. 已知两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，则这两个正方形的边长分别是_cm【难度】【答案】32和8【解析】设较大的边长为，较小的边长为，由两个正方形的周长差是96cm，面积差是960，可得；由此变形可得，【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形周长和面积求解中的运用27. 已知正
10、方形的面积是（），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式_【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查因式分解在有关正方形面积求解中的运用28. 甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为乙看错了，分解结果为，则=_，=_【难度】【答案】6，9【解析】由可得：，再由可得：【总结】考查整式的乘法以及待定系数法，要认真理解题意29. 已知为任意整数，且的值总可以被（为自然数，）整除，则的值为_【难度】【答案】13【解析】由，可得总可以被13整除【总结】考查数的整除以及平方差公式的运用30. 因式分解：=_【难度】【答案】【解析】方法一：原式 ；方法二：原式【总结】本题综合性较强，主要利用
11、分组分解法以及添项或者双十字相乘进行分解 解答题填空题31. 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）不是【解析】（1）乘法公式；（3）没有表示成乘积的形式；（4）因式不是整式【总结】本题主要考查因式分解的概念32. 把下列各式因式分解：（1）； （2）；（3）；（4）； （5）；（6）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式【总结】本题主要考查如何选取适当的方法进行因式分解，注意分解时不要漏项33. 把下
12、列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【总结】本题主要考查利用乘法公式进行因式分解，注意对公式的准确运用34. 把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【总结】本题主要考查提取公因式以及利用乘法公式进行因式分解，注意分解一定要彻底35. 把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）； （2）；（3）； （4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；
13、（4）原式【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意分解要彻底，分到不能再分解为止36. 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意分解要彻底，分到不能再分解为止37. 把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【总结】考查利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用38. 把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答
14、案】（1）； （2）；（3）； （4）【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式【总结】考查利用不同的方法进行因式分解，注意代数式系数的化简39. 运有简便的方法计算：【难度】【答案】360【解析】原式【总结】本题主要考查利用数的质因数分解以及平方差公式和提取公因式进行简便运算40. 利用简便方法计算下列各题：（1）；（2）【难度】【答案】（1）999919；（2）1【解析】（1）原式；（2）原式【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算41. 利用分解因式进行计算：【难度】【答案】29.4【解析】原式【总结】本题主要考查利用因式分解的思想进行简便运算42. 已知：，求的值
15、【难度】【答案】2【解析】原式，把代入，得：【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用43. 已知：，求的值【难度】【答案】2【解析】【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用44. 已知：，求的值【难度】【答案】【解析】【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用45. 已知：,求的值【难度】【答案】2【解析】由，可得 ，即【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用46. 若是完全平方式，求与b的值【难度】【答案】【解析】设，则，由此可得：，把代入，求得：【总结】本题综合性较强，难度较大，主要考查利用完全平方公式以
16、及待定系数法求解，注意符号和分类讨论47. 能被198整除吗？能被200整除吗？说明你的理由【难度】【答案】能【解析】因为，所以其能够198整除也能被200整除【总结】考查数的整除性以及因式分解的运用48. 说明：当为正整数时，的值必为6的倍数【难度】【答案】见【解析】【解析】，为整数，为连续整数，则其中必有偶数以及3的倍数，的值必为6的倍数【总结】考查数的整除性以及因式分解的运用49. 根据上述算式所反应出的规律，猜想“任意四个连续正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”，你认为这个猜想正确吗？说说你的理由【难度】【答案】正确，理由见【解析】【解析】设为整数，且为最小整数，则四个连续正整数的积可表示为，由此可得【总结】考查数的整除性以及因式分解的运用