1、无理方程和二元二次方程及方程组知识结构模块一:无理方程知识精讲1、 方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程有理方程和无理方程统称为初等代数方程,简称代数方程2解无理方程的一般步骤是去根号,方法是两边同时平方,注意要检验增根的情况检验方程的增根从两方面出发:(1) 根号有意义的条件;(2) 方程左右是否相等例题解析【例1】 下列方程是哪些是无理方程? (1);(2);(3); (4); (5); (6)【难度】【答案】(1),(2),(4)【解析】方程中含有根式,且被开方数是含有未知数的代数式,这样的方程叫做无理方程根据无理方程的概念,(1),(2),(4)是无理
2、方程(3),(5),(6)中被开方数中没有未知数,不是无理方程其中(3)是一元二次方程,是整式方程;(5),(6)都是分式方程【总结】考察无理方程的基本概念【例2】 判定下列方程是否有实数根:(1);(2)(p为实数)【难度】【答案】(1)有实数根;(2)没有实数根【解析】根据无理方程有意义的条件,要同时满足,得到:, 代入原方程,左边右边,方程成立,所以该方程有实数根 (2)中,方程左边,而右边,所以,左边右边,故方程没有实数根【总结】考察无理方程有意义的前提条件与方程的实数解的关系【例3】 将下列无理方程化成有理方程: ;【难度】【答案】;【解析】方程中只有一个根号,左右两边同时平方,得,
3、整理得:; 方程中根号里面部分与根号外面部分有倍数关系,所以设 ,则,所以原方程可转化为,化简整理得:【总结】考察解无理方程的思想,即化无理方程为有理方程【例4】 解下列无理方程:; (1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)方程是则得的形式,所以解(1)方程得并且还要保证,解得:,又因为当时,没意义,所以经检验是原方程的根(2)方程只含一个根号,所以整理为,等号两边同时平方去根号得:,整理得,得,经检验都是原方程的根【总结】考察无理方程的基本解法,注意不要忘了最后一步检验所得解是否是增根【例5】 解下列无理方程:(1);(2);(3)【难度】【答案】(1);(2);(3)【解
4、析】(1)方程含两个根号,要尽量分散在等号的两边,原方程整理为,等号两边平方得,整理得,再等号两边平方得,整理得:,从而,得:,经检验是原方程的根,是原方程的增根;(2) 原方程整理为,等号两边平方得,整理得,等号两边再平方得,整理得,从而,得:经检验都是原方程的根;(3) 方程含3个根号,通过观察方程先整理为,然后等号两边平方得,整理得:,等号两边平方得,整理得,从而,经检验是原方程的根【总结】考察含有两个根号或者三个根号无理方程解法,注意最后要验根【例6】 解下列方程: (1); (2)【难度】【答案】(1);(2)x=3【解析】(1)整理得,等号两边平方得 ,整理得,等号两边平方得,整理
5、得:,解得:经检验是原方程的根; (2)方程整理得,为等号左边0,所以右边0,当x=3时,方程成立,当x3时,可得,等号两边平方得,整理得,因为0,所以而左边,所以方程无解综上,原方程的解为x=3【总结】考察含有多个根号的无理方程的解法,注意解完之后进行检验【例7】 若方程有一个根x=1,求m的值及方程的其他的根【难度】【答案】为一切非负数【解析】把代入原方程,得,等号两边平方得,整理得,从而,解得:,经检验是原方程的根把代入原方程,整理得,所以为一切非负数【总结】考察无理方程的根的意义,及解无理方程的方法【例8】 解下列方程:(1);(2);(3)【难度】【答案】(1);(2);(3)【解析
6、】(1)设,则,原方程可转化为,化简整理得:,从而,因为,解得:,即,等号两边平方得,解得:,经检验是原方程的根;(2)原方程可转化为,设,原方程可转化为,整理得,从而,因为解得,即,等号两边得,解得:,经检验是原方程的根;(3)原方程可以转化为,因式分解, 得:,当时,解此无理方程得:经检验是原方程的根;当,解此无理方程得:,经检验是原方程的根,综上所述原方程的根是:【总结】考察利用换元法求无理方程的解,求解后注意进行验根【例9】 解方程:;【难度】【答案】【解析】因为,所以原方程可以转化为,可得,从而因式分解可得,因为,可得,即,解此无理方程可得,经检验是原方程的根【总结】考察整体换元法解
7、无理方程,综合性较大,注意认真分析方程的特点【例10】 用换元法解无理方程:【提示:】【难度】【答案】无实数根【解析】设,则有,又,所以有,得即,得,解此方程可得:, 经检验不是原方程的根,故原方程无实数根【总结】考察利用换元法解特殊无理方程,注意对所求得的根进行检验【例11】 解方程:【难度】【答案】【解析】)设,则,原方程可转化为,化简整理得:,从而, 因为,解得:,即,等号两边平方得,因式分解得,解得:,经检验是原方程的根【总结】考察利用换元法解无理方程,注意对方法的提炼【例12】 设实数、z满足,求、的值【难度】【答案】【解析】原方程可转化为,即,得,解得:,经检验满足原方程【总结】考
8、察几个非负数的和为零的基本模型,注意根据题目中的条件先进行配方模块二:二元二次方程及方程组知识精讲1、 仅含有两个未知数,各方程是整式方程,并且含有未知数的项的最高次数为2像这样的方程组叫做二元二次方程组2、 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解3、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解例题解析【例13】 下列方程是二元二次方程的有()个 ; ; ; A1B2C3D4【难度】【答案】【解析】是分式方程;,是二元二次方程是二元三次方程【总结】考察二元二次方程的基本概念【例14】 下列方程组中,不是二元二次方程组的是()A;BC;D【难度】【答案】【解析】是
9、无理方程,二元二次方程是有理方程【总结】考察二元二次方程组的基本概念【例15】 解下列方程组:(1);(2);(3);(4)【难度】【答案】(1);(2); (3);(4)【解析】(1)由,可得,代入式得,整理得,解得:,分别代入得,所以原方程组的解为(2)由可得,所以原方程组可分解为,分别解这两个方程组可得原方程组的解为:;(3)式可转化为,把整体代入,得,所以原方程组可分解为两个方程组,分别解这两个方程组可得原方程组的解为:;(4)式可分解为,所以原方程组可转化为,分别解这两个方程组可得原方程组的解为:【例16】 解下列方程组:(1) ;(2);(3)【难度】【答案】(1);(2); (3
10、)【解析】(1)由得,代入整理得,解得:, 代入,得:,所以原方程组的解为; (2)由因式分解得,由得,可知, 所以原方程组可以转化为四个方程组, 分别解这四个方程组得原方程组的解为:; (3)由可得,即, 所以原方程组可以转化为两个方程, 分别解这两个方程组得原方程组的解为:【总结】考察二元二次方程组的解法,注意代入法和因式分解法的灵活运用【例17】 若方程组有实数解,求实数k的取值范围【难度】【答案】【解析】由得,代入式得,整理得,因为方程组有实数解,所以,即,得,即【总结】考察二元二次方程组有实数解的应用,最终转化为一元二次方程有实数解的问题【例18】 若二元二次方程组有唯一解,求实数的
11、值及方程组的解【难度】【答案】【解析】把代入中,得,整理得,因为方程组有唯一解,故可分为两种情况:当时,即,此时方程为一元一次方程,有唯一解,当时,代入,得:;当时,代入,得:当时,方程有唯一解,即,即,整理得,此方程无实数根综上【总结】考察二元二次方程组有唯一解的应用,注意从多个角度进行分类讨论【例19】 解方程组: (1); (2)【难度】【答案】(1); (2)【解析】(1)由可因式分解得, 从而得,所以原方程组可以转化为两个方程组,分别解这两个方程组得原方程组的解为:;(2)由可因式分解为,由得,所以原方程组可以转化为分别解这四个方程组可得原方程组解为:【总结】考察复杂二元二次方程组的
12、解法,注意方法的灵活运用【例20】 解方程组: (1);(2)【难度】【答案】(1); (2)【解析】(1)原方程组可以转化为,设,则原方程组可转化为,由韦达定理,设以为两根的方程为,因式分解得,解得:,所以,即,再分别解这两个方程组得原方程组的解为:;(2)原方程组可以转化为,所以设以和为两个实数根的一元二次方程为,从而因式分解为,得:即或,用同样方法解方程组,得:,同理解方程组,得,综上,原方程组的解为:【总结】考察利用整体换元法求二元二次方程组的解,注意对方法的归纳总结【例21】 设方程组的解是,求和的值【难度】【答案】;【解析】把方程组中代入中,得,整理得,由韦达定理知,所以,【总结】
13、考察二元二次方程组的应用,利用方程组的解再结合韦达定理求出相应的值【例22】 解下列方程组: (1); (2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)由8-5得,整理得,因式分解得:,解得:;当时,代入,得,解得:,从而得方程组的解为:;同理当时,解得方程组的解为:综上,原方程组的解为;(2) 观察到方程组中前面三个二次项的系数成倍数关系,所以3-2,得:,整理得:,代入,得,整理得:,解得:,所以,综上原方程组的解为:【总结】考察特殊二元二次方程组的解法,注意对两种方法的总结以及所适应的方程的特征的归纳【例23】 解方程组:【难度】【答案】【解析】观察两个方程,+得,从而,-得,即,与联
14、立相加得:,解得,;把代入式中得,整理得:,得,得,从而得原方程的解为;同理把代入式中得,解得:,代入,得,故原方程组的解为:【例24】 解方程组:【难度】【答案】【解析】设,则,原方程组可转化为,因为,所以可得,又因为,联立得,即,根据韦达定理设以为两实数解的一元二次方程为,因式分解得,得所以方程组的解为即原方程组的解为【总结】考察利用整体换元法解二元二次方程组,综合性较强【例25】 已知方程组(1)求证:不论为何值时,此方程组一定有实数解;(2)设等腰ABC的三边长分别为,其中,且,是该方程的两个解,求ABC的周长【难度】【答案】(1)见解析;(2)10【解析】(1)将代入,得, 整理得,
15、所以不论为何值时,此方程组一定有实数解;(2)可分为两种情况,或者第一种情况,即方程组有两个相等的实数根,可知,从而,由韦达定理得,此时不能构成三角形,舍去;第二种情况,将代入,得,由韦达定理得,可得:,此时能构成三角形,故周长=4+4+2=10【总结】考察二元二次方程组的应用及对方程组有解的准确理解【例26】 已知方程组只有一组实数解,求a的值【难度】【答案】或【解析】由,知,由可知,把代入,可得,整理得,当时,整理得,因式分解得,解得:当时,得,解得:,经检验是原方程根;当时,得,解得:,经检验是原方程增根 当有两个异号实数根时,则0且2a+120且a0,2a+12=0,综上所述:或【总结
16、】本题综合性较强,考察二元二次方程组的唯一解的应用,注意从多个角度去分类讨论随堂检测【练习1】 下列方程是哪些是无理方程?(1);(2);(3);(4);(5);(6)【难度】【答案】(1)(2)(3)(4)(6)【解析】无理方程的概念即被开方数是涵未知数的代数式,根据概念可知只有(5)不符合要求【总结】考察无理方程的基本概念【练习2】 不解方程试说明下列方程为什么没有实数根? (1);(2)【难度】【答案】见解析【解析】(1)有题意知且,两不等式无交集,所以方程无实数根 (2)由题意知,且,要,只有0+0=0, 此时且,不符合实际情况,所以无实数根【总结】考察无理方程中增根的理解,即要注意验
17、根【练习3】 (1)若关于的方程有实数根,则的取值范围是_; (2)将化成整式方程是_【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)由题知,所以; (2)由题知,原方程可转化为, 即【总结】(1)考察无理方程中增根的产生过程,解无理方程中一定要验根(2)考察解无理方程的一般方法【练习4】 下列方程组中哪一个是二元二次方程组() AB C D【难度】【答案】B【解析】二元二次方程组是含两个未知数,且最高次为两次的整式方程组A中最高次为1次;C 中含,是无理方程;D中分母中含未知数,为分式方程所以答案是B.【总结】考察二元二次方程组的基本概念【练习5】 由方程组,消去后得到的方程是_【难度】【答案】
18、【解析】由得代入中得,整理得【总结】考察代入消元法解二元二次方程组的方法【练习6】 解下列方程: (1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)由题得,两边同时平方得,整理得,因式分解得,从而得,经检验,是原方程的解;(2)由题得,两边同时平方得,整理得,因式分解得,从而得:经检验是原方程的解,是增根【总结】考察无理方程的基本解法,注意最后要验根【练习7】 解下列方程: (1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)由得,代入中得,整理得,因式分解得,解得:,代入,得,所以原方程组的解为;(2)由得,代入中得,整理得,因式分解得,得,故得:,所以原方程组的解为【总结】考
19、察二元二次方程组的方法,注意对代入法的正确理解及运用【练习8】 解下列方程组: (1); (2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)由得,代入得,整理得,因式分解得:,解得:,代入中得综上原方程组的解为:;(2)由得,所以原方程组可转化为和两个方程组,分别解上述两个方程组得方程组的解为:【总结】考察利用因式分解法求二元二次方程组的解【练习9】 解下列方程: (1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)原方程可以转化为,设,则,原方程可以转化为,整理为,因式分解为,因为,所以,即,整理得,因式分解为,得,经检验是原方程的解;(2)原方程可以转化为,整理得,从而因式分解为,所
20、以原方程可以转化为或者两个方程解得,;解,即,解得,经检验是方程的增根,综上是原方程的根【总结】考察利用整体换元法解无理方程,注意解完后要验根【练习10】 解下列方程组: (1);(2)【难度】【答案】(1); (2)【解析】(1)由因式分解得,得把代入式整理得,解得:,所以原方程组的解为;把代入式整理得,解得:,所以原方程组的解为; 综上原方程组的解为;(2)由可整理为,因式分解为;由因式分解为,所以原方程组可转化为,分别解这四个方程组得原方程组的解为:【总结】考察二元二次方程组的解法,能因式分解的尽量因式分解来降次,从而转化为次数低些的方程组来求解【练习11】 解方程:【难度】【答案】【解
21、析】观察方程,可以转化为,从而得,因式分解为,因为,所以只有,解这个无理方程得,经检验是原方程的解【总结】考察复杂方程的解法,注意整体变形,解完后要检验【练习12】 解方程:【难度】【答案】【解析】由得,由得,则,解得:,所以原方程组的解为;当,得,代入整理得,解得:,代入得,综上原方程组的解为【总结】考察复杂二元二次方程组的解法,注意进行方法的归纳总结【练习13】 已知方程组有两组实数解和,且,设(1) 求m的取值范围;(2) 试用关于m的代数式表示出n;(3) 是否存在这样的值m,使n的值等于-2,若存在,求出这样的所有的m的值;若不存在,请说明理由【难度】【答案】(1);(2);(3)【
22、解析】(1)把代入得,整理得,此一元二次方程有两个实数根,所以,即,得,因为,即两个解都不为0,所以可得,综上;(2),由韦达定理知,代入,整理得(3)因为,即,整理得,解得:,因为,所以【总结】考察二元二次方程组的解的应用,综合性较强,注意韦达定理的熟练用课后作业【作业1】 用换元法解无理方程时,如果设,将原方程化为关于的整式方程,那么这个整式方程是_【难度】【答案】【解析】,则,所以,则无理方程 可以转化为,整理得【总结】考察换元法解无理方程的方法【作业2】 下列方程哪些是二元二次方程:, ,_【难度】【答案】【解析】二元二次方程的概念是含两个未知数且 最高次是2次的整式方程由此可以判断因
23、 为只含有一个未知数,不是二元二次方程是分式方程,也不是二元二次方程【总结】考察二元二次方程的基本概念【作业3】 方程组的一组解是()A BC D【难度】【答案】C【解析】观察知,整理得,解得, 代入,得,从而原方程组的解为所以答案选C【总结】考察方程组的解的概念【作业4】 下列方程有无实数根?并说明理由(1);(2);(3); (4)【难度】【答案】见解析【解析】(1),所以,所以无实数根; (2)由被开方数的意义知,得,又因为等号左边0,所以等号右边0,即,得与冲突,所以方程无实数根;(3)由被开方数的意义知由,得;由得两者冲突,所以方程无实数根;(4)由被开方数的意义知,所以只有即等号的
24、左边=0+0右边=1,所以方程无实数解【总结】考察无理方程有实数根的条件,所以解完方程要注意验根【作业5】 解下列方程组 (1);(2)【难度】【答案】(1); (2)【解析】(1)由因式分解得,所以原方程组可以转化为和两个方程组,分别解这两个方程组得方程组的解为:;(2)由得,所以原方程组可以转化为或,分别解这两个方程组得方程组的解为:【总结】考察二元二次方程组的解法,注意代入法和因式分解法的灵活运用【作业6】 解下列方程: (1); (4)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)整理得,两边平方并整理得:,解得:,经检验,都是原方程的两个根;(2)整理得,即,因式分解得,因为,所以,解
25、得:,经检验都是原方程的根【总结】考察无理方程的解法,注意解完后要验根【作业7】 解方程:【难度】【答案】【解析】观察方程,先分母有理化,化简得,整理得,两边平方得并整理得:,解得:,经检验是原方程的根【总结】考察无理方程的解法,注意验根【作业8】 解下列方程: (1);(2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)由因式分解得,由因式分解得,所以原方程组可转化为或或或,分别解这四个方程组得原方程组的解为;(2)由因式分解得,由整理得,因式分解得,所以原方程组可转化为或或或,分别解这四个方程组得原方程组的解为:【总结】考察利用因式分解法解二元二次方程组【作业9】 解下列方程或方程组: (1
26、); (2)【难度】【答案】(1);(2)【解析】(1)设,则,所以原方程可转化为 ,整理为,因式分解为,因为,所以代入中,两边平方得,整理得,因式分解为,得,经检验都是原方程的解;(2)得,整理得,因式分解为,从而得或者所以原方程组可以转化为和两个方程,分别解这两个方程组得原方程组的解为:【总结】考察方程(组)的解法,注意无理方程解完后要检验【作业10】 若关于x、y的方程组恰有两个不同的实数解,求实数a的范围【难度】【答案】【解析】由得代入,得,整理得, 当方程有两个相等的正实数根时,则两解,当方程有两个不相等的实数根,且两根异号,则,-1a1,综上或-1a1【总结】考察二元二次方程组的应用