1、 黑龙江省绥化市绥棱县九年级黑龙江省绥化市绥棱县九年级上上期末数学试卷（五四学制）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1方程 x25x0 的解是（ ） Ax10，x25 Bx5 Cx10，x25 Dx0 2下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 3下列说法中正确的是（ ） A “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 B任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，正面向上的一定是 5 次 C “概率为 0.0001 的事件”是不可能事件 D “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 4O 的半径为 6，
2、线段 OP 的长度为 8，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A在O 上 B在O 外 C在O 内 D无法确定 5二次函数 y2（x3）2+1 的顶点坐标为（ ） A （3，1） B （3，1） C （3，1） D （3，1） 6如图，O 为ABC 的外接圆，A72，则BCO 的度数为（ ） A15 B18 C20 D28 7某商品原价 200 元，连续两次降价的百分率为 a 后售价为 148 元，下列所列方程正确的是（ ） A200（1+a）2148 B200（1a）2148 C200（12a）148 D200（1a2）148 8如图，将ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20，B 点落在
3、B位置，A 点落在 A位置，若 ACAB，则BAC 的度数是（ ） A50 B60 C70 D80 9三角板 ABC 中，ACB90，B30，AC2，三角板绕直角顶点 C 逆时针旋转，当点 A 的对应点 A落在 AB 边的起始位置上时即停止转动，则 B 点转过的路径长为（ ） A B C2 D3 10已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法： c0；该抛物线的对称轴是直线 x1；当 x1 时，y2a；am2+bm+a0（m1） 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 11已知 2 是一元二次方
4、程 x23kx+20 的根，则 k 的值是 12正八边形的每个内角为 13已知点 P（7，5）关于原点的对称点为 M（a，b） ，则 a+b 14 如图， 用圆心角为120， 半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽， 则这个纸帽的高是 cm 15如图是二次函数 yax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2+bx+c0 的解集是 16将二次函数 y6x2的图象先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的函数解析式是 17一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和
5、等于 4 的概率是 18O 为ABC 的外接圆，BOC100，则A 19 如图， 把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40， 得到 RtABC， 点 C恰好落在边 AB 上， 连接 BB，则BBC 度 20将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1、A2An分别是各正方形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 cm2 三、解答题（共三、解答题（共 60 分）分） 21 （6 分）解方程： （1）x27x+120； （2） （x3）2+2x（x3）0； 22 （7 分）我区的数学爱好者申请了一项省级课题中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究 ，
6、为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中， “理解”所占扇形的圆心角是多少度？ （3）我区七年级大约 8000 名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？ 23 （7 分）如图，ABC 各顶点的坐标分别是 A（2，4） ，B（0，4） ，C（1，1） （1）在图中画出ABC 向左平移 3 个单位后的A1B1C1； （2）在图中画出ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90后的
7、A2B2C2； （3）在（2）的条件下，AC 边扫过的面积是 24 （7 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a20 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 25 （6 分） 一个口袋中有 1 个黑球和若干个白球， 这些球除颜色外其他都相同 已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为 （1）求口袋中白球的个数； （2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率用列表法或画树状图法加以说明 26 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上，且B2A，M 是
8、 OA 上一点，过 M 作 AB的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，EFFC （1）求证：CF 是O 的切线 （2）设O 的半径为 2，且 ACCE，求 AM 的长 27 （9 分）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯已知这种节能灯的出厂价为每个 10 元某商场试销发现：销售单价定为 15 元/个，每月销售 量为 350 个；每涨价 1 元，每月少卖 10 个 （1）求出每月销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围； （2）设该商场每月销售这种节能灯获得的利
9、润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯 300 个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？ 28 （10 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点
10、M 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每题一、选择题（每小题只有一个答案符合题意，每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1方程 x25x0 的解是（ ） Ax10，x25 Bx5 Cx10，x25 Dx0 【分析】在方程左边两项中都含有公因式 x，所以可用提公因式法 【解答】解：直接因式分解得 x（x5）0， 解得 x10，x25 故选：C 【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为 0 的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用
11、 2下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项正确； D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选：C 【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3下列说法中正确的是（ ） A “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 B任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，正面向上的一定是 5 次 C “概率为 0.0001 的事件”是不可能事件 D “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图
12、形”是必然事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型 【解答】解： “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，A 错误； 任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，正面向上的不一定是 5 次，B 错误； “概率为 0.0001 的事件”是随机事件，C 错误； “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，D 正确， 故选：D 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件 不可能事件是指在一定条件下， 一定不发生的事件， 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 4O 的半径为 6，线段 OP
13、 的长度为 8，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A在O 上 B在O 外 C在O 内 D无法确定 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径 r，则 dr 时，点在圆外；当 dr 时，点在圆上；当 dr 时，点在圆内 【解答】解：OP8，r6，则 OPr， 点 P 在圆外 故选：B 【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论 5二次函数 y2（x3）2+1 的顶点坐标为（ ） A （3，1） B （3，1） C （3，1） D （3，1） 【分析】根据顶
14、点式 ya（xh）2+k，其顶点坐标是（h，k） ，对照求二次函数 y2（x3）2+1 的顶点坐标 【解答】解：二次函数 y2（x3）2+1 是顶点式， 顶点坐标为（3，1） 故选：D 【点评】此题主要考查了顶点式 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k） ，考查了学生的应用能力，是中考中考查重点注意必须熟练掌握其性质 6如图，O 为ABC 的外接圆，A72，则BCO 的度数为（ ） A15 B18 C20 D28 【分析】连接 OB，如图，先根据圆周角定理得到BOC2A144，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算BCO 的度数 【解答】解：连接 OB，如图，BOC2A272144，
15、 OBOC， CBOBCO， BCO（180BOC）（180144）18 故选：B 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰三角形的性质 7某商品原价 200 元，连续两次降价的百分率为 a 后售价为 148 元，下列所列方程正确的是（ ） A200（1+a）2148 B200（1a）2148 C200（12a）148 D200（1a2）148 【分析】设平均每次降价的百分率为 a，根据某商品原价为 200 元，连续两次降价后售价为 148 元，可列出方程 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 a，根据题意得 200（
16、1a）2148 故选：B 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，降价两次，关键知道降价前和降价后的价格，列出方程即可求解 8如图，将ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20，B 点落在 B位置，A 点落在 A位置，若 ACAB，则BAC 的度数是（ ） A50 B60 C70 D80 【分析】根据旋转的性质可知，BCBACA20，又因为 ACAB，则BAC 的度数可求 【解答】解：ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 20，B 点落在 B位置，A 点落在 A位置 BCBACA20 ACAB， BACA902070 故选：C 【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的
17、距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角度 9三角板 ABC 中，ACB90，B30，AC2，三角板绕直角顶点 C 逆时针旋转，当点 A 的对应点 A落在 AB 边的起始位置上时即停止转动，则 B 点转过的路径长为（ ） A B C2 D3 【分析】首先根据勾股定理计算出 BC 长，再根据等边三角形的判定和性质计算出ACA60，进而可得BCB60，然后再根据弧长公式可得答案 【解答】解：B30，AC2， BA4，A60， CB6， ACAC， AAC 是等边三角形， ACA60， BCB60， 弧长 l2， 故选：C 【点评】此
18、题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，以及弧长计算，关键是掌握弧长计算公式 10已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法： c0；该抛物线的对称轴是直线 x1；当 x1 时，y2a；am2+bm+a0（m1） 其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】 由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系， 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：抛物线与 y 轴交于原点， c0， （故正确） ； 该抛物线的对称轴是：， 直线 x1， （故正确） ； 当 x1 时，ya+b+c 对称轴是直线 x1， b/2
19、a1，b2a， 又c0， y3a， （故错误） ； xm 对应的函数值为 yam2+bm+c， x1 对应的函数值为 yab+c， 又x1 时函数取得最小值， ab+cam2+bm+c，即 abam2+bm， b2a， am2+bm+a0（m1） （故正确） 故选：C 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 yax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 11已知 2 是一元二次方程 x23kx+20 的根，则 k 的值是 1 【分析】2 是方
20、程的根，把 2 代入方程就可求出 k 值 【解答】解：2 是一元二次方程 x23kx+20 的根， 把 2 代入此方程有： 46k+20 k1 故本题的答案是 1 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，只须把解代入方程就可求出 k 值 12正八边形的每个内角为 135 【分析】根据多边形的内角和和公式（n2） 180求出内角和，然后再除以边数即可； 或：先求出多边形的每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是平角，等于 180列式计算 【解答】解： （82） 1801080， 10808135； 或：360845， 18045135 故答案为：135 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用
21、正多边形的外角和 360除以边数求外角的度数是常用的方法，一定要熟练掌握 13已知点 P（7，5）关于原点的对称点为 M（a，b） ，则 a+b 2 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得 a、b 的值 【解答】解：点 P（7，5）关于原点的对称点为 M（a，b） ，则 a7，b5， a+b752， 故答案为：2 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律 14如图，用圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 4 cm 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形的弧长4，根据圆
22、锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为 2，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高 【解答】解：圆心角为 120，半径为 6cm 的扇形的弧长4， 圆锥的底面圆的周长为 4， 圆锥的底面圆的半径为 2， 这个纸帽的高4（cm） 故答案为 4 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长也考查了弧长公式和勾股定理 15 如图是二次函数yax2+bx+c的部分图象， 由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是 x1或x5 【分析】根据二次函数的对称性求出函数图象与 x 轴的另一交点，再写
23、出 x 轴下方部分的 x 的取值范围即可 【解答】解：由图可知，对称轴为直线 x2，与 x 轴的一个交点坐标为（5，0） ， 函数图象与 x 轴的另一交点坐标为（1，0） ， ax2+bx+c0 的解集是 x1 或 x5 故答案为：x1 或 x5 【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便，求出函数图象与x 轴的另一交点坐标是解题的关键 16将二次函数 y6x2的图象先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的函数解析式是 y6（x2）23 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可 【解答】解：y6x2的图象向右平移 2 个单位，再
24、向下平移 3 个单位，得 y6（x2）23 故答案为：y6（x2）23 【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 17一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率是 【分析】先画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于 4 的占 3 种，然后根据概率的概念计算即可 【解答】解：如图， 随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有 16 种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于 4 的占 3 种，
25、所有两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率 故答案为： 【点评】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数 n，再找出某事件所占有的结果数 m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率 18O 为ABC 的外接圆，BOC100，则A 50或 130 【分析】分为两种情况：当 O 在ABC 内部时，根据圆周角定理求出A50；当 O 在ABC 外部时，根据圆内接四边形性质求出A180A 即可 【解答】解：分为两种情况：当 O 在ABC 内部时， 根据圆周角定理得：ABOC10050； 当 O 在ABC 外部时，如图在 A时， A、B、A、C 四点共圆， A+A180， A1
26、8050130， 故答案为：50或 130 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，圆内接四边形等知识点，注意：本题分为圆心 O 在ABC 内部和外部两种情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目 19 如图， 把 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40， 得到 RtABC， 点 C恰好落在边 AB 上， 连接 BB，则BBC 20 度 【分析】 根据旋转的性质可得 ABAB， BAB40， 然后根据等腰三角形两底角相等求出ABB，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解 【解答】解：RtABC 绕点 A 逆时针旋转 40得到 RtABC， ABAB，BAB40， 在ABB中，
27、ABB（180BAB）（18040）70， ACBC90， BCAB， BBC90ABB907020 故答案为：20 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小得到等腰三角形是解题的关键 20将 n 个边长都为 1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点 A1、A2An分别是各正方形的中心，则 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 cm2 【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则 n 个这样的正方形重叠部分即为 n1 阴影部分的和 【解答】解：
28、由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为4， n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（n1）cm2 故答案为： 【点评】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到 n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积 三、解答题（共三、解答题（共 60 分）分） 21 （6 分）解方程： （1）x27x+120； （2） （x3）2+2x（x3）0； 【分析】 （1）利用因式分解法把方程转化为 x40 或 x30，然后解两个一次方程即可； （2）利用因式分解法解方程 【解答】解： （1） （x4）
29、 （x3）0， x40 或 x30， 所以 x14，x23； （2） （x3） （x3+2x）0， x30 或 x3+2x0， 所以 x13，x21 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法： 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法 22 （7 分）我区的数学爱好者申请了一项省级课题中学学科核心素养理念下渗透数学美育的研究 ，为了了解学生对数学美的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，按照“理解、了解、不太了解、不知道”四个类型，课题组绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图中提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名
30、学生？并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中， “理解”所占扇形的圆心角是多少度？ （3）我区七年级大约 8000 名学生，请估计“理解”和“了解”的共有学生多少名？ 【分析】 （1）根据统计图中的数据可以求得本次抽取的学生数；补全条形统计图即可； （2）根据统计图中的数据可以求得“理解”所占扇形的圆心角为360108； （3）由 8000（40%+）5600（名）即可 【解答】解： （1）本次调查共抽取学生为：400（名） ， 不太了解的学生为：40012016020100（名） ， 补全条形统计图如下： （2） “理解”所占扇形的圆心角是：360108； （3）8000（40%+）560
31、0（名） ， 答：估计“理解”和“了解”的共有学生大约 5600 名 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答 23 （7 分）如图，ABC 各顶点的坐标分别是 A（2，4） ，B（0，4） ，C（1，1） （1）在图中画出ABC 向左平移 3 个单位后的A1B1C1； （2）在图中画出ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90后的A2B2C2； （3）在（2）的条件下，AC 边扫过的面积是 【分析】 （1）如图，画出ABC 向左平移 3 个单位后的A1B1C1； （2）如图，画出ABC 绕原点 O 逆时针旋转
32、90后的A2B2C2； （3）在（2）的条件下，AC 扫过的面积即为扇形 AOA2的面积减去扇形 COC2的面积，求出即可 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1为所求的三角形； （2）如图所示，A2B2C2为所求的三角形； （3）在（2）的条件下，AC 边扫过的面积 S5 故答案为： 【点评】 此题考查了作图旋转变换， 平移变换， 以及扇形面积公式， 作出正确的图形是解本题的关键 24 （7 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a20 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 【分析】 （1）关于 x 的
33、方程 x22x+a20 有两个不相等的实数根，即判别式b24ac0即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围 （2）设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出 a 的值和方程的另一根 【解答】解： （1）b24ac（2）241（a2）124a0， 解得：a3 a 的取值范围是 a3； （2）设方程的另一根为 x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则 a 的值是1，该方程的另一根为3 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 25 （6 分
34、） 一个口袋中有 1 个黑球和若干个白球， 这些球除颜色外其他都相同 已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为 （1）求口袋中白球的个数； （2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率用列表法或画树状图法加以说明 【分析】 （1）根据摸得黑球的概率为，假设出白球个数直接得出答案； （2）利用先随机从口袋中摸出一球，不放回，得出树状图即可 【解答】解： （1）一个口袋中有 1 个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为 假设白球有 x 个， ， x2 口袋中白球的个数为 2 个； （2）先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次
35、摸出的球都是白球的概率 两次都摸到白球的概率为： 【点评】 此题主要考查了树状图法求概率， 根据已知得出树状图注意按要求从口袋中摸出一球， 不放回，容易在这个地方犯错 26 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上，且B2A，M 是 OA 上一点，过 M 作 AB的垂线交 AC 于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，EFFC （1）求证：CF 是O 的切线 （2）设O 的半径为 2，且 ACCE，求 AM 的长 【分析】（1） 连接 OC， 如图， 根据圆周角定理得到ACB90， 则利用B2A 可计算出B60，A30，易得E30，接着由 E
36、FFC 得到ECFE30，所以FCA60，加上OCAA30，所以FCOFCA+ACO90，于是可根据切线的判定得到 FC 是O 的切线； （2） 利用含 30 度的直角三角形三边的关系 在 RtABC 中可计算出 BCAB2， ACBC2，则 CE2，所以 BEBC+CE2+2，然后在 RtBEM 中计算出 BMBE1+， 再计算 ABBM 的值即可 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上， AB 是O 的直径， ACB90， 又B2A， B60，A30， EMAB， EMB90， 在 RtEMB 中，B60， E30， 又EFFC， ECFE
37、30， 又ECA90， FCA60， OAOC， OCAA30， FCOFCA+ACO90， OCCF， FC 是O 的切线； （2）解：在 RtABC 中，ACB90，A30，AB4， BCAB2，ACBC2， ACCE， CE2， BEBC+CE2+2， 在 RtBEM 中，BME90，E30 BMBE1+， AMABBM413 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系 27 （9 分）响应政府“节能”号召，我市华强照明公司减少
38、了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯已知这种节能灯的出厂价为每个 10 元某商场试销发现：销售单价定为 15 元/个，每月销售量为 350 个；每涨价 1 元，每月少卖 10 个 （1）求出每月销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间的函数关系，并写出自变量的取值范围； （2）设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）如果物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元商场根据公司生产调拨计划得知，每月商场最多可销售这种节能灯 300 个，在这种情况下，商场每月销售这种节能灯最多可获得多少利润？ 【分析】 （1）首先
39、表示出销售单价 x 元时涨价（x10）元，每涨价 1 元，每月少卖 10 个，则少买 10（x15） ，表示出 y 即可； （2）由总利润销售量每件纯赚利润，得 w（x10） （10 x+500） ，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润； （3）由每月商场最多可销售这种节能灯 300 个可得10 x+500300，又因为销售单价不得高于 25 元可得 x 取值范围，根据二次函数的性质得最值 【解答】解： （1）由题意得：y35010（x15）10 x+500（15x50） ； （2）依题意得：w（x10） （10 x+500） 10（x30）2+4000， 100， 当 x3
40、0 时，w 有最大值4000 答：当定价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000 元； （3）依题意得：10 x+500300， x20， x25， 20 x25， 由（2）得 w10（x30）2+4000， 100，当 x30 时， w 随 x 的增大而增大， 当 x25 时，w 有最大值10（2530）2+40003750（元） 答：当定价为 25 元每个时，商场每月可获得最大利润 3750 元 【点评】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解 28 （10 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0
41、） 、C（0，3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】方法一： （1）直接将 A、B、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可 （2） 由图知： A、 B 点关于抛物线的对称轴对称， 那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接 BC，那么 BC 与直线 l 的交点即为符合条件的 P 点 （3） 由于MAC 的腰和底没有明确， 因
42、此要分三种情况来讨论： MAAC、 MAMC、 ACMC；可先设出 M 点的坐标，然后用 M 点纵坐标表示MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解 方法二： （1）略 （2）找出 A 点的对称点点 B，根据 C，P，B 三点共线求出 BC 与对称轴的交点 P （3）用参数表示的点 M 坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解 （4）先求出 AC 的直线方程，利用斜率垂直公式求出 OO斜率及其直线方程，并求出 H 点坐标，进而求出 O坐标，求出 DO直线方程后再与 AC 的直线方程联立，求出 Q 点坐标 【解答】方法一： 解： （1）将 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）
43、代入抛物线 yax2+bx+c 中，得： ， 解得： 抛物线的解析式：yx2+2x+3 （2）连接 BC，直线 BC 与直线 l 的交点为 P； 点 A、B 关于直线 l 对称， PAPB， BCPC+PBPC+PA 设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） ，将 B（3，0） ，C（0，3）代入上式，得： ，解得： 直线 BC 的函数关系式 yx+3； 当 x1 时，y2，即 P 的坐标（1，2） （3）抛物线的对称轴为：x1，设 M（1，m） ，已知 A（1，0） 、C（0，3） ，则： MA2m2+4，MC2（3m）2+1m26m+10，AC210； 若 MAMC，则 MA2MC2，
44、得： m2+4m26m+10，得：m1； 若 MAAC，则 MA2AC2，得： m2+410，得：m； 若 MCAC，则 MC2AC2，得： m26m+1010，得：m10，m26； 当 m6 时，M、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M（1，） （1，） （1，1） （1，0） 方法二： （1）A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3） ， y（x+1） （x3） ，即 yx2+2x+3 （2）连接 BC， l 为对称轴， PBPA， C，B，P 三点共线时，PAC 周长最小，把 x1 代入 lBC：yx+3，得 P（1，2） （3
45、）设 M（1，t） ，A（1，0） ，C（0，3） ， MAC 为等腰三角形， MAMC，MAAC，MCAC， （1+1）2+（t0）2（10）2+（t3）2，t1， （1+1）2+（t0）2（10）2+（03）2，t， （10）2+（t3）2（10）2+（03）2，t16，t20， 经检验，t6 时，M、A、C 三点共线，故舍去， 综上可知，符合条件的点有 4 个，M1（1，） ，M2（1，） ，M3（1，1） ，M4（1，0） 追加第（4）问：若抛物线顶点为 D，点 Q 为直线 AC 上一动点，当DOQ 的周长最小时，求点 Q 的坐标 （4）作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H， 作 HGAO，垂足为 G， AHG+GHO90，AHG+GAH90， GHOGAH， GHOGAH， HG2GOGA， A（1，0） ，C（0，3） ， lAC：y3x+3，H（，） ， H 为 OO的中点， O（，） ， D（1，4） ， lOD：yx+，lAC：y3x+3， x，y， Q（，） 【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解