1、2023届上海市崇明区高三数学一模试卷一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中16题每题4分，712题每题5分)【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1.已知集合,则 2.不等式 的解集为 3.已知复数若是纯虚数,则实数 .4.已知对数函数的图像经过点,则实数 .5.设等比数列满足,则 .6.已知方程组无解,则实数的值等于 .7.已知角的终边与单位圆 交于点 则 8.将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为 .9.已知函数, 则曲线在点处的切线方程是 .10.设函数 若 对任意的实数都成立，则的最小取值等于 .11.在边长为2的正六边形中,点为其内部或边界上
2、一点，则 的取值范围为 .12.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数,且它们有共同的焦点是与在第一象限的交点，当时,双曲线的离心率等于 .二、选择题(本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分)【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】13.下列函数中，既是奇函数又在区间上是严格增函数的是( ) B. D.14.设,则是“”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件15.设函数若对于任意 在区间上总存在唯一确定的,使得,则的最小值为( ) D.16.已知
3、曲线C:,命题：曲线仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是( )A.都是真命题 B.是真命题，是假命题C.是假命题，是真命题 D.都是假命题三、解答题(本大题共有5题，满分78分)【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分)如图，长方体中，与底面所成的角为45(1)求四棱锥的体积;(2)求异面直线与所成角的大小.18.( 本期满分15分，本题具有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分8分)已知函数(1)求的单调递增区间:(2
4、)在中,为角的对边,且满足,且求 的取值范围.19、(本题满分15分，本题共有3个小题，第(1)小题满分3分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分)某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段及曲线段围成.经测量，,米,曲线是以为对称轴的抛物线的一部分,点到 的距离都是50米，现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点D在线段AC或曲线段BC上，点E、F分别在线段OA、OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；(2)求面积关于的函数解析式;(3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.(结果精确到0.1米)20、(本题满分16分
5、，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分)已知椭圆 的右焦点为，左右顶点分别为，直线过点且与轴垂直，点是椭圆上异于的点，直线交直线于点D.(1)若是椭圆的上顶点，且是直角三角形，求椭圆的标准方程；(2)若求的面积;(3)判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明.21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分)已知数列满足(1)若数列的前4项分别为求的取值范围;(2)已知数列中各项互不相同.令 求证：数列 是等差数列的充要条件是数列是常数列；(3)已知数列是且个连续正整数的一个排列. 若求
6、的所有取值.参考答案及评分标准一、填空题1. ; ; 3. ; 4. ; 5.; 6.; 9. ; 10. ; 11 二、选择题13.D;14.A; 15.B;16.A.三、解答题17.解(1)因为平面,所以是与底面所成的角所以2分所以4分所以7分(2) 联结,则所以就是异面直线与所成的角3分中,所以6分所以异面直线与所成角的大小为7分18.解 (1)由题意 5分由 解得所以单调递增区间为7分(2)由正弦定理，得,因为在三角形中,所以,即, 2分当时,当时, 由于 所以 5分故又所以由 所以的取值范围是 8分19.解 (1)以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示,则设曲
7、线段所在抛物线的方程为由题意可知,点和在此抛物线上,故所以曲线段的方程为：4分(2)由题意，线段AC的方程为：当点D在曲线段BC上时，当点D在线段AC上时，所以 4分(3)当时, 令, 得 (舍去)当 时, 当 时,因此当 时,是极大值,也是最大值4分当时当时,是最大值6分因为所以时,取得最大值，此时 所以当点D在曲线段BC上且其到OA的距离约为66.7米时，游乐场的面积最大7分20.解 (1)由题意由题意，,故 所以又, 所以所以椭圆的标准方程为 4分(2)当时,椭圆方程为由对称性，不妨设点在轴上方，则直线AP的方程为，代入椭圆方程，得, 解得 (舍去), 所以3分所以5分(3)设则直线的方
8、程为所以 BD 中点直线PF方程为 3分点到直线的距离 所以以为直径的圆与直线相切7分21.解(1)由题意,解得4分(2)必要性：若数列是等差数列，设公差为，则 所以数列是常数列.2分充分性：若数列 是常数列，则 即 所以 或因为数列 的各项互不相同，所以所以数列 是等差数列.6分(3)当时,因为 所以 ,不符合题意；当时,数列为.此时, 符合题意；当时,数列为.此时, 符合题意;3分下证当时，不存在满足题意.令则 且 所以 有以下三种可能： 当 时，因为由(2)知: 是公差为1(或)的等差数列。当公差为1时，由 得 或 所以 或，与已知矛盾.当公差为时，同理得出与已知矛盾所以当 时，不存在满足题意.其它情况同理可得.综上可知,的所有取值为4或58分