1、 第第 4 章万有引力定律及航天章万有引力定律及航天 一、单项选择题一、单项选择题 1.2022 浙江强基联盟联考如图,S1、S2、S3为火星与太阳连线在相等时间内扫过的三个面积,由开普勒行星运动定律可知 ( ) A.S1S2S3 B.S1S2=S3 C.S1=S2S3 D.S1=S2=S3 2.2022 广东省茂名市二模截至 2021 年 12 月,被誉为“中国天眼”的 500 米口径球面射电望远镜(FAST)已取得一系列重大科学成果,发现脉冲星数量超过 500 颗。脉冲星就是旋转的中子星,某中子星的质量是太阳质量的 20 倍,自转周期为 0.01 s,半径是地球绕太阳运动的轨道半径的110
2、6。已知地球绕太阳做匀速圆周运动的向心加速度约为 6.010-3 m/s2,则该中子星两极表面的重力加速度大小约为 ( ) A.4.0108 m/s2 B.6.01010 m/s2 C.1.21011 m/s2 D.2.01013 m/s2 3.2022 河南省郑州市期末考试北京时间 2022 年 5 月 10 日 8 时 54 分,搭载“天舟四号”货运飞船的“长征七号”遥五运载火箭,在文昌卫星发射中心点火发射,一段时间后,“天舟四号”货运飞船采用自主快速交会对接模式,成功对接空间站“天和”核心舱后向端口,发射取得圆满成功。下列说法正确的是 ( ) A.“天舟四号”货运飞船与火箭成功分离后,火
3、箭立即做自由落体运动 B.“天舟四号”货运飞船与“天和”核心舱对接后的运行速度大于 7.9 km/s C.若“天和”核心舱在轨运行时受阻力作用,则其运行周期将变小 D.中国空间站如果机动变轨到更高轨道需使空间站减速 4.如图所示,“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B,只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动,彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”,视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次,已知引力常量为G,则 ( ) A.恒星A、B运动的周期为T B.恒星A的质量小于B的质量 C.恒星A、B的总质量为232
4、 D.恒星A的线速度大于B的线速度 5.水星是太阳系八大行星中最小的一个,已知地球的质量约为水星质量的18倍,地球半径约为水星半径的 2.6 倍,地球表面的重力加速度为 9.8 m/s2。忽略地球和水星的自转,则水星表面的重力加速度约为 ( ) A.26.1 m/s2 B.67.8 m/s2 C.1.42 m/s2 D.3.68 m/s2 6. 2021 年 10 月,中国发射了首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”,用于实现太阳 H波段光谱成像的空间探测。 该卫星轨道为圆轨道,通过地球南北两极上方,离地高度约为 517 km。 如图所示,a为“羲和号”,b为地球同步卫星,c为赤道上随地球一起
5、转动的物体。下列说法正确的是 ( ) A.卫星a运行的速度大于第一宇宙速度 B.a的角速度小于c的角速度 C.a的向心加速度大于c的向心加速度 D.a的向心加速度小于b的向心加速度 7.2022 河北石家庄二中月考同步卫星距地面高度为h,地球表面重力加速度为g,地球半径为R,地球自转周期为T1,近地卫星周期为T2,引力常量为G,则下列说法正确的是 ( ) A.地球的质量为42312 B.地球的质量为2 C.地球的平均密度为33123 D.地球的平均密度为31 二、多项选择题二、多项选择题 8.2022 湖北宜昌一中月考三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动,A、C为地球
6、同步卫星,某时刻A、B相距最近,如图所示,已知地球自转周期为T1,B的运行周期为T2,则下列说法正确的是( ) A.C加速可追上同一轨道上的A B.经过时间122(1;2),A、B相距最远 C.A、C向心加速度大小相等,且大于B的向心加速度 D.在相同时间内,C与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积 9.2022 辽宁东北育才学校模拟预测“天问一号”火星探测器现正在火星地面上进行各项研究探测活动。如图所示是“天问一号”发射轨迹示意图,已知火星的公转周期为 1.8 年,下列说法正确的是 ( ) A.从火星与地球相距最近至下一次相距最近所需的时间约为 2.25 年 B.“天问一号”在地球轨
7、道上的发射速度大于 7.9 km/s 小于 11.2 km/s C.“天问一号”在绕地球的轨道上需要减速才能进入霍曼转移轨道 D.“天问一号”选择在海南文昌发射场发射,是为了利用地球自转线速度的影响 10.2022 山东省日照市三模如图所示,极地轨道卫星a从北极的正上方第一次运行到南极的正上方所用时间为 1.5 h。已知地球表面重力加速度在两极和赤道的大小分别为g0和g,地球自转的周期为T=24 h,同步卫星离地面的高度约为地球半径的 5.6 倍,引力常量为G,地球可视为质量分布均匀的球体,物体b静止在赤道上。下列说法正确的是 ( ) A.地球的密度为302(0;) B.a与同步卫星的运行速度
8、大小之比为 21 C.b与同步卫星的运行速度大小之比约为 15.6 D.b与同步卫星的向心加速度大小之比约为 6.61 11.如图是“嫦娥一号”探月卫星从发射到进入工作状态四个基本步骤的示意图,卫星先由地面发射,接着从发射轨道进入停泊轨道(实际上有多个停泊轨道,这里进行了简化处理),然后由停泊轨道进入地月转移轨道,最后卫星进入工作轨道。卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动,则关于卫星在各轨道上的运动,下列说法正确的是( ) A.在发射轨道上关闭推进器后,卫星的速度先增大后减小 B.在停泊轨道上,卫星的速度小于第一宇宙速度 C.在转移轨道上,引力对卫星先做负功后做正功 D.在转移轨道
9、上,卫星不受地球引力作用 12. 2020 年 7 月 23 日 12 时 41 分,长征五号遥四运载火箭将“天问一号”探测器发射升空,至 2021 年2 月 10 日 19 时 52 分,探测器顺利进入近火点高度约 400 千米、周期约 10 个地球日、倾角约 10的大椭圆环火轨道,成为中国第一颗人造火星卫星。 环绕火星获得成功标志着实现“绕、 着、 巡”第一步“绕”的目标。如图所示为这一过程的简图,则以下说法正确的是 ( ) A.“天问一号”在B点点火减速由轨道进入轨道 B.“天问一号”在A点点火加速由轨道进入轨道 C.“天问一号”从A点运动到B点过程中,一直处于超重状态 D.“天问一号”
10、在轨道和轨道上经过B点时的加速度不同 13.2022 湖北黄冈中学三模如图所示,质量相等的三颗星组成三星系统,其他星体对它们的引力作用可忽略。 设每颗星体的质量均为m,三颗星分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上,它们绕某一共 同的圆心O在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为G,下列说法正确的是 ( ) A.每颗星体所受的向心力大小为 2G22 B.每颗星体运行的周期均为 233 C.若r不变,星体质量均变为 2m,则星体的角速度变为原来的2倍 D.若m不变,星体间的距离变为 4r,则星体的线速度变为原来的14 14.如图所示,有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动
11、,运行方向相同。A行星的周期为T1,B行星的周期为T2,在某一时刻两行星相距最近,则 ( ) A.经过时间t=122;1,两行星将再次相距最近 B.经过时间t=T1+T2,两行星将再次相距最近 C.经过时间t=122(2;1)(n=1,3,5,),两行星相距最远 D.经过时间t=(1:2)2(n=1,3,5,),两行星相距最远 三、非选择题三、非选择题 15.2022 山东滨州沾化区实验高中期中考试据报道,在太阳系外发现“类地”行星 Kepler-186f。若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星,进行科学观测:该行星自转周期为T;宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球(引力视为恒力
12、,阻力不计),落地时间为t。已知该行星半径为R,引力常量为G。求: (1)该行星的第一宇宙速度; (2)如果该行星存在一颗同步卫星,其距行星表面的高度。 16.2022河北省衡水市月考火星是太阳系中和地球环境最相似的行星,100年后,人类或已能够方便地前往火星度假。地球人小明去火星度假前,在地球上用体重秤测得体重为F,到达火星后,小明参加了为期一个月的减肥训练营,他惊喜地发现,经过一个月的训练,在火星上测得的体重已变为49F。已知火星半径是地球半径的12,火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的23,地球密度为。(忽略地球和火星自转的影响,火星和地球均可看成质量分布均匀的球体) (1)小明减肥是否
13、成功? (2)火星的密度是多少? 17.2022 辽宁沈阳二中月考已知月球半径为R,飞船在绕月球的圆形轨道上运动,轨道半径为 3R,到达轨道的A点时点火变轨进入周期为T的椭圆轨道,到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道绕月球做圆周运动。已知引力常量为G,求: (1)飞船在轨道上的运行周期; (2)月球的质量; (3)月球的平均密度。 18.如图所示为位于月球背面的“嫦娥四号”探测器A通过“鹊桥”中继星B向地球传输电磁波信息的示意图。拉格朗日L2点位于地月连线的延长线上,“鹊桥”的运动可看成如下两种运动的合运动:一是在地球和月球引力共同作用下,“鹊桥”在L2点附近与月球以相同的周期T0一起绕地
14、球做匀速圆周运动;二是在与地月连线垂直的平面内绕L2点做匀速圆周运动。已知地球的质量为月球质量的n倍,地球到L2点的距离为月球到L2点的距离的k倍,地球半径、月球半径以及“鹊桥”绕L2点做匀速圆周运动的半径均远小于月球到L2点的距离。(提示:“鹊桥”绕L2点做匀速圆周运动的向心力由地球和月球对其引力在过L2点与地月连线垂直的平面内的分量提供,电磁波的传播速度v=3.0108 m/s) (1)若月球到L2点的距离r=6.5107 m,k=7,“鹊桥”接收到“嫦娥四号”传来的信息后需经t0=60.0 s处理才能发出,试估算“嫦娥四号”从发出信息到传回地球的最短时间(保留 3 位有效数字); (2)
15、试推导“鹊桥”绕L2点做匀速圆周运动的周期T的(近似)表达式。若k=7,n=81,T0=27.3 天,求出T的天数(取整数)。 参考答案参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1.D 根据开普勒第二定律可知,同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等,则有S1=S2=S3,选项 D 正确。 2.C 在该中子星两极表面,由万有引力等于重力得mg中=G中中2,地球绕太阳做匀速圆周运动,根据万有引力等于向心力有m地a=G太地2,根据题意有M中=20M太,R中=1106r,联立可得,该中子星两极表面的重力加速度大小g1.21011 m/s2,选项 C 正确。 3.C “天舟四号”货运飞船与火箭成功分
16、离后,火箭不会立即做自由落体运动,而是先上升一段距离再下落,选项 A 错误;7.9 km/s 是地球的第一宇宙速度,是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速 度,“天舟四号”货运飞船与“天和”核心舱对接后的运行速度小于 7.9 km/s,选项 B 错误;由2=mr422得T=423,若“天和”核心舱在轨运行时受阻力作用,则轨道半径将减小,则其运行周期将变小,选项 C 正确;中国空间站如果机动变轨到更高轨道需使空间站在变轨处点火加速,选项 D 错误。 4.C 每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次,则两恒星的运动周期为T=2T,选项A错误;根据万有引力等于向心力得G2=mA42(2)2rA=mB42(
17、2)2rB,因为rAmB,选项B错误;可得两恒星总质量M=mA+mB=232,选项 C 正确;两恒星角速度相等,根据v=r可得vAvB,选项 D 错误。 5.D 根据天体表面上的物体受到的重力大小近似等于万有引力大小,有mg=G2,解得g=2,依题意,可得水地=水地(地水)2,代入数值,解得g水3.68 m/s2,选项 D 正确。 6.C 在“羲和号”做匀速圆周运动过程中,根据牛顿第二定律有G2=m2=m422r,分别解得v=,T=2r。第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度,“羲和号”的轨道半径比地球半径大,根据式可知其运行速度小于第一宇宙速度,选项 A 错误;b卫星的轨道半
18、径大于a卫星的轨道半径,由=3知a的角速度大于b的角速度,又b的角速度等于c的角速度,所以a的角速度大于c的角速度,选项 B 错误;b卫星的轨道半径大于a卫星的轨道半径,由an=2知a的向心加速度大于b的向心加速度,选项 D 错误;又由an=422知b的向心加速度大于c的向心加速度,所以a的向心加速度大于c的向心加速度,选项 C 正确。 7.B 同步卫星周期与地球自转周期相同,为T1,则有G(:)2=m(R+h)4212,解得地球质量M=42(:)312,则地球的平均密度=433=3(:)3123,选项 AC 错误;已知地表重力加速度为g,则G2=mg,可得地球质量M=2,选项B正确;对近地卫
19、星有G2=mR4222,地球的平均密度=,地球的体积V=433,解得=322,选项 D 错误。 二、多项选择题二、多项选择题 8.BD 卫星C加速后做离心运动,轨道变高,不可能追上同一轨道上的A,选项 A 错误;卫星A、B由相距最近到相距最远,两卫星做匀速圆周运动转过的角度差为 ,所以Bt-At=,其中B=22,A=21,解得经历的时间t=122(1;2),选项 B 正确;根据万有引力提供向心力,可得向心加速度a=2,可知A、C的向心加速度大小相等,且小于B的向心加速度,选项 C 错误;绕地球运动的卫星与地心的连线在相同时间t内扫过的面积S=12vtr,由万有引力提供向心力,可得2=m2,解得
20、S=2,可知在相同时间内,C与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积,选项 D 正确。 9.AD 根据题意,T火=1.8 年,T地=1 年,根据(2地-2火)t=2 得,从火星与地球相距最近至下一次相距最近所需时间t=火地火;地=2.25 年,选项 A 正确;第一宇宙速度是最小的发射速度,第二宇宙速度是脱离地球引力的速度,因此是以大于第二宇宙速度的速度发射的,选项B错误;“天问一号”在绕地球的轨道上进入霍曼转移轨道时做离心运动,需要加速,选项 C 错误;海南文昌距离赤道较近,选择在海南文昌发射场发射,是为了利用地球自转线速度的影响,选项 D 正确。 10.AB 设地球半径为R,质量为m的
21、物体放在地球两极和赤道处,有G2=mg0,G2=mg+mR(2)2,可得R=(0;)242,则地球的密度为=02433=304=302(0;),选项 A 正确;由题意知卫星a做圆周运动的周期为Ta=21.5 h=3 h,卫星绕地球做圆周运动,有G2=mr(2)2=m2,得T=23,v=,可得同=(同)23=14,则同=(同)12=21,选项 B 正确;b与同步卫星的角速度、周期相等,由v=r,a=2r可知b与同步卫星的运行速度大小之比、向心加速度大小之比都为 16.6,选项 CD 错误。 11.BC 在发射轨道上关闭推进器后,卫星继续向上运动需要克服地球万有引力做功,卫星的速度不断减小,选项
22、A 错误;地球第一宇宙速度等于卫星在地球表面轨道绕地球做匀速圆周运动的线速度,根据2=m2得v=1,可知在停泊轨道上,卫星的速度小于第一宇宙速度,选项 B正确;在转移轨道上,卫星同时受到地球引力和月球引力,一开始地球引力大于月球引力,之后地球引力小于月球引力,故地球、月球对卫星的万有引力的合力先做负功后做正功,选项 C 正确,D 错误。 12.AB “天问一号”从A点运动到B点过程中,处于完全失重状态,故 C 错误。根据牛顿第二定律可知,“天问一号”在轨道和轨道上经过B点时的加速度相同,故D错误;在变轨问题中, 由低轨道进入高轨道需要加速,由高轨道进入低轨道需要减速,因此“天问一号”在B点点火
23、减速由轨道进入轨道,在A点点火加速由轨道进入轨道,故 AB 正确。 13.BC 任意两颗星体间的万有引力为F0=G22,每个星体受到其他两个星体的引力的合力为F=2F0cos 30=3G22,选项A错误;由牛顿第二定律可得F=mr(2)2,其中r=2cos30=33,解得每颗星体运行的周期为T=233,选项 B 正确;星体的角速度=2=33,若r不变,星体质量均变为 2m,则星体的角速度变为原来的2倍,选项 C 正确;星体的线速度大小为v=r=,若m不变,星体间的距离变为 4r,则星体的线速度变为原来的12,选项 D 错误。 14.AC 当A、B再次相距最近时,即A比B多运动一圈,设经过时间t
24、二者再次相距最近,有1-2=1,解得t=122;1,选项 A 正确,B 错误;当A、B相距最远时,即A比B多运动2(n=1,3,5,)圈,设经过的时间为 t,有1-2=2(n=1,3,5,),解得t=122(2;1)(n=1,3,5,),选项 C 正确,D 错误。 三、非选择题三、非选择题 15.解:(1)设行星表面的重力加速度为g,由小球做自由落体运动得h=12gt2 对绕行星表面运行的卫星有mg=m2 解得行星的第一宇宙速度v=2 (2)设行星的质量为M,在行星表面有mg=2 对同步卫星有G(:)2=m(R+H)422 解得同步卫星距行星表面的高度H=hT2R222t23-R 16.解:(
25、1)设火星和地球半径分别为R和R,火星和地球第一宇宙速度分别为v和v,火星和地球表面重力加速度分别为g和g,根据已知条件得,=12,=23 火星上第一宇宙速度满足m0g=m02 地球上第一宇宙速度满足m0g=m02 联立解得=49 设小明在火星和地球上的质量分别为m和m,则 F=mg,49F=mg 联立解得m=m 小明的质量没变,减肥没有成功 (2)设火星和地球的质量分别为M和M,火星密度为,则对火星有m0g=G02,对地球有m0g=G02 联立解得=19,=33=89 则=89 17.解:(1)设飞船在轨道上的运行周期为T,根据开普勒第三定律有22=(3+2)33 解得T=24T (2)设月
26、球的质量为M,当飞船在轨道上运行时,根据牛顿第二定律有G2=mR422 解得M=32232 (3)月球的平均密度为= 又V=43R3 解得=242 18.解:(1)由题意可知,信息先从A传到B的时间t1= 在B处理的时间为t0=60.0 s 再从B传到地球的时间t2=7 则“嫦娥四号”从发出信息到传回地球的最短时间t=t0+t1+t2=61.7 s (2)设地球、月球和“鹊桥”B的质量分别为M1、M2、M3。由题意可知,B绕地球运动时可看成质点,B以周期T0绕地球做匀速圆周运动的向心力为F,有F=M3kr4202 又由B绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球、月球对它的万有引力提供得 F=G13()2+G232 另设B在绕L2点做匀速圆周运动的半径为R,且做圆周运动的向心力F由地球、 月球对它的万有引力的一个分力提供,有 F=G13()2+G232 再由公式F=M3R422 联立解得T=:2:3T0 将k=7,n=81,T0=27.3 天代入中,解得T=15 天