1、 专题专题 7 7 二元一次方程组二元一次方程组 一、单选题一、单选题 1（2022 八下 临汾期末）已知一三角形的三边长 m， n， p 满足2 12 + 36 + 8 + ( 10)2= 0，则这个三角形的面积为（ ） A12 B60 C48 D24 2 （2022 七下 怀仁期末）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地先有一段上坡路后有一段平路如果保持上坡每小时走 3km，平路每小时走 4km，下坡每小时走 5km，那么从甲地到乙地需 54 分钟，从乙地到甲地需 42 分钟，甲地到乙地全程是多少？ 小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，采用间接设法： 设坡路有 x km，平路有 y k
2、m，则全程为（xy）km已经列出一个方程3+4=5460，则另一个方程正确的是（ ） A4+3=4260 B5+4=4260 C4+5=4260 D3+4=4260 3 （2022 七下 怀仁期末）已知二元一次方程组5 + 4 = 2004 5 = 8，如果用加减法消去 n，则下列方法可行的是（ ） A 4+ 5 B 5+ 4 C 5 4 D 4 5 4 （2022 七下 大同期末）盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶 A 与玩偶 B 组合成一批盲盒，一个盲盒搭配 1 个玩偶 A 和 2 个玩偶 B，已知每米布料可做 1 个玩偶 A 或 3 个玩偶
3、 B，现计划用 136 米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗） ，设用 x米布料做玩偶 A，用 y 米布料做玩偶 B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（ ） A + = 136 = 3 B + = 136 = 2 3 C + = 1363 = D + = 1362 = 3 5 （2022 七下 长治期末）在解二元一次方程组时，我们常常采用的方法是消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解下面是甲、乙两个同学解方程组2 + 5 = 18，7 + 4 = 36的解题思路： 甲同学：+，得9 + 9 = 5429得到一元一次方程再求解 乙同学：- 2，得3 6 = 0由，得 = 2再代入原
4、方程组中的任意一个方程中，转化为一元一次方程求解 通过阅读可知，下列对甲、乙两同学的思路判断正确的是（ ） A只有甲同学的思路正确 B只有乙同学的思路正确 C甲、乙两同学的思路都不正确 D甲、乙两同学的思路都正确 6 （2022 七下 交口期末）若方程组3 = 4 52 + 6 = 的解满足 + = 2022，则等于（ ） A20275 B2021 C2023 D2027 7 （2022 七下 侯马期末）6 月 18 日，最开始是京东的周年庆，2013 年后，618 就成了各大电商平台的网购节了在 618 当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选 3 件甲，2 件乙，1 件丙
5、时显示价格为 420 元；当选 2 件甲，3 件乙，4 件丙时显示价格为 580 元，那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款（ ） A200 元 B400 元 C500 元 D600 元 8 （2022 七下 交口期末）九章算术是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出 8 元，多 3 元；每人出 7 元， 少 4 元 求有几个人及该物品的价格 设有 x 人， 该物品价格为 y 元/件， 依题意得 （ ） A8 + 3 = 7 4 = B8 3 = 7 + 4 = C8 3 = 7+ 4 = D8+ 3 = 7
6、 4 = 9 （2021 八上 盐湖期末）若单项式153与14+1+的和仍是一个单项式，则 x，y 的值是（ ） A = 1 = 3 B = 2 = 2 C = 1 = 2 D = 2 = 3 10 （2021 七下 孝义期末）九章算术 中的算筹图是竖排的， 为看图方便， 我们把它改成横排， 如图 1、图 2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数 x，y 的系数与相应的常数项把图 1 所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是2 + 3 = 213 + 2 = 19类似地，图 2 所示的算筹图所对应的二元一次方程组的解为（ ） A = 3 = 2 B = 6 = 1 C =
7、8 = 13 D = 2 = 1 二、填空题二、填空题 11 （2021 七下 平定期末）某品牌小台灯已成为初中生学习的时尚单品期末考试完，某中学为表彰优秀学生，计划给三个年级每年级前 20 名学生每人一盏台灯作为奖励已知 3 盏 A 型台灯和 2 盏 B 型台灯共需 210 元，4 盏 A 型台灯和 6 盏 B 型台灯共需 430 元若老师带了 2650 元购买这两种台灯，则 老师至少要购买 A 型台灯 盏 12 （2021 七下 平定期末）已知 + 2 + | 1| = 0，那么( + )2021的值为 13 （2022 七下 大同期末）若关于 x，y 的二元一次方程组3 +6 = + 7
8、8 + 5 = 2 5的解 x，y 满足 x+y1，则a 的取值范围是 14 （2022 七下 长治期末）九章算术是我国古代一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中第八章方程中，有这样一题：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两今有石方三寸，中有玉，并重十二斤问玉、石重各几何？它的大意是：已知一块棱长为 1 寸的正方体玉，重量是 7 两，一块棱长为 1 寸的正方体石头，重量为 6 两；现有一块棱长为 3 寸的正方体石头，在这块石头中含有玉，重量共 11 斤（在古代 1 斤= 16两） ，求这块石头中，玉和石头的重量分别是多少？设这块石头中，玉重 x 两，石头重 y 两，根据
9、题意，列出的方程组是 15 （2022 阳泉模拟）方程组2 + = 4， = 1，的解是 16 （2021 八上 晋中期末）塑料凳子轻便实用，人们生活中随处可见如图，3 支塑料凳子叠放在一起的高度为 55cm， 5 支塑料凳子叠放在一起的高度为 65cm， 当有 10 支塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是 cm 17 （2021 九上 古县期末）若， 均为锐角，且|sin12|+（3tan）20，则+ 18 （2021 九上 运城期中）若 | + 3| + ( 2)2= 0 ，则 = 19 （2021 七上 平定期中）如果|a1|+（b+2）20，那么（a+b）2020的值是 20 （202
10、1 七下 高平期末）写出一个解为 = 1 = 2 且可以用加减消元法来解的二元一次方程组 三、计算题三、计算题 21 （2022 七下 怀仁期末）解方程组： （1） = 43 + = 16； （2）213= 13 + 2 = 10 22 （2020 八上 运城期末）解方程组： 2 = 53 2 = 3 23 （2021 七下 盐湖期末）解方程组：3 4 = 2 + 4 = 6 四、综合题四、综合题 24 （2021 七下 平定期末）山西民间刺绣历史悠久，而且题材广泛，内容丰富，具有反映山西风土人情的特色五一期间，小颖去晋祠博物馆旅游，她决定买一些刺绣工艺品送给亲戚朋友已知 2 件甲刺绣工艺品和
11、 3 件乙刺绣工艺品共需 90 元，3 件甲刺绣工艺品和 5 件乙刺绣工艺品共需 145 元 （1）求甲，乙两种刺绣工艺品的单价各是多少元； （2）若小颖决定用 270 元购买 15 件这两种刺绣工艺品，则她最多可购买多少件乙刺绣工艺品？ 25 （2022 七下 大同期末）阅读下列材料： 张丘建算经是一部数学问题集，其内容、范围与九章算术相仿其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何” 译文： 公鸡每只值五文钱， 母鸡每只值三文钱， 小鸡每三只值一文钱， 现在用一百文钱买一百只
12、鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？结合你学过的知识，解决下列问题： （1）若设公鸡有 x 只，母鸡有 y 只， 则小鸡有 只， 买小鸡一共花费 文钱； （用含 x， y 的式子表示） 根据题意列出一个含有 x，y 的方程： ； （2）若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的 3 倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 26 （2022 七下 大同期末）某学校配备信息化教室， 准备购置甲、 乙两种不同型号的电脑， 经调查发现，购买 3 台甲种型号的电脑和 7 台乙种型号的电脑共需 5.3 万元， 购买 6 台甲种型号的电脑和 5 台乙种型号的电脑共需 6.1 万元 （1）
13、求甲种型号的电脑和乙种型号的电脑每台的售价分别是多少元 （2） 根据学校的实际情况， 需购买甲、 乙两种型号的电脑共 50 台， 且购买的总费用不超过 27 万元 请问最多可以购买甲种型号的电脑多少台？ 27 （2022 八下 交口期末）为加强学生的劳动教育，某校准备开展以“种下希望，共建美好家园”为主题的义务植树活动 经了解，购买 2 棵枣树和 3 棵石榴树共需 44 元；购买 5 棵枣树和 6 棵石榴树共需98 元，该校决定购买( 0)棵枣树和 50 棵石榴树 （1）求枣树和石榴树的单价； （2）实际购买时，商家给出了如下优惠方案： 方案一：均按原价的九折销售； 方案二：如果购买的枣树不超
14、过 50 棵，按原价销售 如果购买的枣树超过 50 棵，则超出的部分按原价的八折销售，石榴树始终按原价销售 分别求出两种方案的费用1，2关于的函数解析式 28 （2022 七下 侯马期末）已知关于 x、y 的方程满足方程组3 + 2 = + 12 + = 1 （1）若 = 2，求 m 的值； （2）若 x、y 均为非负数，求 m 的取值范围，并化简式子| 3| + | 5|； 29 （2021 八上 晋中期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 解方程组：3 + 4 = 5 2 = 4 解： 2 ，得 2x4y=4 第一步 +，得 5x=9 第二步 =95第三步
15、把 =95代入，得 y=1110 第四步 原方程组的解为 =95 = 1110第五步 任务一： 上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可） ； A.公式法 B.换元法 C.代入法 D.加减法 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变“一元”，在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可） ； A.转化 B.公理化 C.演绎 D.数形结合 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：2 12 + 36 + 8 + ( 10)2= 0 化简可得：( 6)2+ 8 + ( 10)2= 0 6 = 0，
16、8 = 0， 10 = 0 m=6，p=8，n=10 62+ 82= 102 三角形为直角三角形 =12 6 8 = 24 故答案为：D 【分析】先利用非负数之和为 0 的性质求出 m=6，p=8，n=10，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，最后利用三角形的面积公式计算即可。 2 【答案】B 【解析】【解答】解：设从甲地到乙地的上坡的距离为，平路的距离为， 已经列出一个方程3+4=5460， 则另一个方程正确的是：5+4=4260 故答案为：B 【分析】根据题意3+4=5460，求解即可。 3 【答案】B 【解析】【解答】解：已知二元一次方程组5 + 4 = 2004 5 = 8，
17、 如果用加减法消去 n，则下列方法可行的是 5+ 4， 故答案为：B. 【分析】利用加减消元法解方程组即可。 4 【答案】D 【解析】【解答】解：设用 x 米布料做玩偶 A，用 y 米布料做玩偶 B，由题意可得， + = 1362 = 3，故 D 符合题意 故答案为：D 【分析】根据题意求出 + = 1362 = 3即可作答。 5 【答案】D 【解析】【解答】解：在解二元一次方程组时，甲同学运用了加减消元法，乙同学运用了代入消元法，解方程思路都正确， 故答案为：D 【分析】根据解方程组的方法一一判断即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：3 = 4 52 + 6 = +得 5x+5y=5k
18、-5， + = 1， + = 2022， 1 = 2022， k=2023， 故答案为：C 【分析】利用加减消元法可得 + = 1，再结合 + = 2022可得 1 = 2022，最后求出 k 的值即可。 7 【答案】B 【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为 x 元、y 元、z 元， 由题意可得方程组3 + 2 + = 4202 + 3 + 4 = 580， +可得5( + + ) = 1000， 2( + + ) = 400， 故购买甲、乙、丙各两件时应该付款 400 元； 故答案为：B 【分析】 设甲、 乙、 丙三种商品的单价分别为x元、 y元、 z元， 根据题意列出方程组
19、3 + 2 + = 4202 + 3 + 4 = 580求解即可。 8 【答案】B 【解析】【解答】根据题意得：8 3 = 7 + 4 = ， 故答案为：B 【分析】根据题意直接列出方程组8 3 = 7 + 4 = 即可。 9 【答案】C 【解析】【解答】解：单项式153与14+1+的和仍是一个单项式， 单项式153与14+1+为同类项， + 1 + 3， 解得12 故答案为：C 【分析】根据同类项的定义可得 + 1 + 3，再求出12即可。 10 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意可得：第一个方程的系数为 3，的系数为 2，相加的结果为 8；第二个方程的系数为 6，的系数为 1，相加的
20、结果为 13， 所以可列方程组为3 + 2 = 86 + = 13， 解得： = 2 = 1， 故答案为：D 【分析】根据题意可得：第一个方程的系数为 3，的系数为 2，相加的结果为 8；第二个方程的系数为 6，的系数为 1，相加的结果为 13，即可列出方程组3 + 2 = 86 + = 13，再求解即可。 11 【答案】10 【解析】【解答】解：设每盏 A 型台灯 x 元，每盏 B 型台灯 y 元， 由题意得：3 + 2 = 2104 + 6 = 430， 解得： = 40 = 45， 即每盏 A 型台灯 40 元，每盏 B 型台灯 45 元， 设购买 A 型台灯 m 盏，则购买 B 型台灯
21、（60-m）盏， 由题意得：40m+45（60-m）2650， 解得：m10， 即老师至少要购买 A 型台灯 10 盏， 故答案为：10 【分析】根据题意先求出3 + 2 = 2104 + 6 = 430，再求出 40m+45（60-m）2650，最后求解即可。 12 【答案】1 【解析】【解答】解： + 2 + | 1| = 0， + 2 = 0， 1 = 0， 解得： = 2， = 1， ( + )2021= (2 + 1)2021= (1)2021= 1 故答案为：-1 【分析】先求出 + 2 = 0， 1 = 0，再求出 = 2， = 1，最后代入计算求解即可。 13 【答案】 3 【
22、解析】【解答】解：3 + 6 = + 78 + 5 = 2 5， +，得11 + 11 = 3 + 2 + =3+211 + 1， 3+211 1， 解得 3 故答案为： 3 【分析】利用加减消元法解方程组即可。 14 【答案】 + = 1767+6= 27 【解析】【解答】解：依题意，得： + = 11 167+6= 33，即 + = 1767+6= 27 故答案为： + = 1767+6= 27 【分析】先求出 + = 11 167+6= 33，再求解即可。 15 【答案】 = 1 = 2 【解析】【解答】解：2 + = 4， = 1， 可得：3 = 3， 解得 = 1， 把 = 1代入可
23、得： = 2， 所以方程组的解为 = 1 = 2 故答案为： = 1 = 2 【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。 16 【答案】90 【解析】【解答】解：设塑料凳子厚度为 x（cm） ，凳子腿高为 y（cm） 由题意可得3 + = 555 + = 65 ， 解得： = 5 = 40 ， 则 10 支塑料凳子整齐叠放在一起的高度为40 + 5 10 = 90cm 故答案为：90 【分析】设塑料凳子厚度为 x（cm） ，凳子腿高为 y（cm） ，根据题意列出方程组3 + = 555 + = 65，再求出x、y 的值即可。 17 【答案】90 【解析】【解答】解：在|sin12|+（3t
24、an）20 中， |sin12|0， （3tan）20， sin120，3tan0， sin12，tan3， 30 ，60 ， +90 ， 故答案为：90 【分析】 根据题意先求出 sin120，3tan0， 再求出30 ， 60 ， 最后代入计算求解即可。 18 【答案】9 【解析】【解答】解：根据非负数的意义（非负数的和为 0，使它们均为 0） ，可得 a+3=0，b-2=0， 因此可求得 a=-3，b=2， 所以 =9 故答案为：9 【分析】先求出 a=-3，b=2，再代入计算求解即可。 19 【答案】1 【解析】【解答】解：|a1|（b2）20， a10，b20， 解得：a1，b2，
25、（ab）2020（1）20201 故答案为：1 【分析】先利用非负数之和为 0 的性质求出 a、b 的值，再将 a、b 的值代入（a+b）2020计算即可。 20 【答案】 + = 3 = 1（答案不唯一） 【解析】【解答】解：根据题意，得： 方程组可以是 + = 3 = 1， 故答案为： + = 3 = 1（答案不唯一） 【分析】此题属开放型题目，只要给相同字母扩大相同的倍数再相加减就行，答案不唯一，最简单的办法就把两个字母分别相加减就可联立得到方程组，并保证可以用加减消元法求解。 21 【答案】（1）解： = 43 + = 16， +得：4x=20， 解得 x=5， 将 x=5 代入得：5
26、-y=4， 解得：y=1， 所以方程组的解为 = 5 = 1； （2）解：整理得3 2 = 43 + 2 = 10， +得：6x=14， 解得：x=73， 把 x=73代入得：7-2y=4， 解得：y=32， 所以方程组解为 =73 =32 【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可。 22 【答案】解： 2 = 5，3 2 = 3， -得，2 = 2 即 = 1 将代入得 = 3， 方程组的解为 = 1 = 3 【解析】【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。 23 【答案】解：由 + ，得4 = 8， 解得 = 2 把 = 2代入，得2 + 4 = 6， 解得： = 1 所以方程组的
27、解是 = 2 = 1 【解析】【分析】利用加减消元法求出二元一次方程组即可， 24 【答案】（1）解：设甲刺绣工艺品每件 x 元，乙刺绣工艺品每件 y 元 由题意，得2 + 3 = 903 + 5 = 145， 解方程组，得 = 15 = 20 答：甲刺绣工艺品每件 15 元，乙刺绣工艺品每件 20 元 （2）解：设可购买 m 件乙刺绣工艺品，则可购买(15 )件甲刺绣工艺品 由题意，得15(15 ) + 20 270 解不等式，得 9 答：她最多可购买 9 件乙刺绣工艺品 【解析】【分析】 （1）根据题意先求出 2 + 3 = 903 + 5 = 145， 再求解即可； （2）先求出 15(
28、15 ) + 20 270，再求解即可。 25 【答案】（1）100-x-y；13（100-x-y） ；5x+3y+13（100-x-y）=100 （2）解：设公鸡有 x 只，母鸡有 y 只 根据题意，得：5 + 3 +13(100 ) = 100 = 3 ， 解得 = 12 = 4 ， 100-x-y=100-12-4=84（只） 答：公鸡有 12 只，母鸡有 4 只，小鸡有 84 只 【解析】【解答】 （1）若设公鸡有 x 只，母鸡有 y 只， 则小鸡有（100-x-y）只，买小鸡一共花费13（100-x-y）文钱； 根据题意列出一个含有 x，y 的方程：5x+3y+13（100-x-y）
29、=100； 故答案为100-x-y、13（100-x-y） ； 5x+3y+13（100-x-y）=100； 【分析】 （1）根据题意求解即可； （2）先求出 5 +3 +13(100 ) = 100 = 3 ， 再解方程组即可。 26 【答案】（1）解：设甲种型号的电脑每台的售价是 x 万元，乙种型号的电脑每台的售价是 y 万元根据题意，得3 + 7 = 5.3，6 + 5 = 6.1.解得 = 0.6 = 0.5，答：甲种型号的电脑每台的售价是 0.6 万元，乙种型号的电脑每台的售价是 0.5 万元 （2）解：设购买甲种型号的电脑 m 台 根据题意，得0.6 + 0.5(50 ) 27解得
30、 20m为整数，m 可取的最大值是 20答：最多可以购买甲种型号的电脑 20 台 【解析】【分析】 （1）根据题意先求出 3 + 7 = 5.36 + 5 = 6.1，再求解即可； （2）先求出 0.6 + 0.5(50 ) 27，再解不等式即可。 27 【答案】（1）解：设枣树的单价为 x 元，石榴树的单价为 y 元， 根据题意，得2 + 3 = 45 + 6 = 95，解得 = 10 = 8， 答：枣树的单价为 10 元，石榴树的单价为 8 元； （2）解：根据题意得，1= 10 90%+ 8 90% 50 = 9 + 36； 当0 50时，2= 10 50 + 10 80%( 50) +
31、 8 50 = 8 + 500 1= 9 + 360，2=10+ 400(0 50). 【解析】【分析】 （1）设枣树的单价为 x 元，石榴树的单价为 y 元， 根据题意列出方程组，解之即可； （2）根据题目中的数量关系列出函数解析式。 28 【答案】（1）解：3 + 2 = + 12 + = 1， 2得： = + 3， 解得： = 3， 把代入得：2 6 + = 1， 解得： = + 5， 把和代入 = 2， 得到 3 + 5 = 2，解得： = 5 的值为 5 （2）解：x，y，均为非负数， 3 0 +5 0 ， 3 5， | 3| + | 5| = 3 + 5 =2 【解析】【分析】（1
32、） 利用加减消元法求出 = 3， = + 5， 再结合 = 2可得 3 + 5 =2，再求出 m 的值即可； （2）先求出 m 的取值范围，再去掉绝对值，最后合并同类项即可。 29 【答案】D； A； 一； 方程 2 时漏乘了等号右边 4 这一项任务二： 请你直接写出原方程组的解 【答案】原方程组的解为 =135 = 710 【解析】【解答】解：任务一：上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是加减消元法； 故答案为：D； 上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想； 故答案为：A； 由题意得： 第一步开始出现不符合题意， 这一步错误的原因为方程 2 时漏乘了等号右边 4 这一项； 任务二：3 + 4 = 5 2 = 4 2，得：2x4y=8 +，得：5x=9，解得： =135， 把 =135代入得：135 2 = 4，解得： = 710， 原方程组的解为 =135 = 710 【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可