1、 专题专题 9 9 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1 （2022 九上 柳林期中）一元二次方程22 6 5 = 0的一次项系数是（ ） A2 B6 C-6 D-5 2 （2022 九上 柳林期中）某厂 1 月份生产口罩 60 万箱，第一季度生产口罩共 200 万箱，一位同学根据题意列出了方程60 + 60(1 + ) + 60(1 + )2= 200，则 x 表示的意义是（ ） A该厂二月份的增长率 B该厂三月份的增长率 C该厂一、二月份平均每月的增长率 D该厂二、三月份平均每月的增长率 3 （2022 平定模拟）方程 ( 2)2= 3( 2) 的解是（） A = 5 B1=
2、 5，2= 2 C1= 1，2= 2 D = 2 4 （2021 九上 太原期末）学校计划在长为 12m，宽为 9m 矩形地块的正中间建一座劳动实践大棚大棚是占地面积为 88m2的矩形建成后，大棚外围留下宽度都相同的区域，这个宽度应设计为（ ） A1.8m B1.5m C1m D0.5m 5 （2021 九上 长子期末）一元二次方程2 4 = 0的解为（ ） Ax1x22 Bx12，x22 Cx1x22 Dx1x24 6（2019 九上 偏关期末）若1= 1是关于的方程2+ 5 = 0的一个根， 则此方程的另一个根2=（ ） A-5 B15 C5 D15 7 （2021 九上 平定期末）方程2
3、= 的解是（ ） A = 1 B = 0 C1= 1，2= 0 D1= 0，2= 1 8 （2021 九上 洪洞期末）方程32 2 5 = 0的根的情况，下列说法正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C只有一个实数根 D没有实数根 9 （2021 九上 古县期末）若关于的一元二次方程2 + 2 = 0中，是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6） ，则该方程有两个不相等的实数根的概率为（ ） A23 B12 C13 D16 10 （2021 九上 交口期末）利用配方法解一元二次方程2 6+ 7 = 0时，将方程配方为（x-m）2=n，则、的值分别为（ ） A = 9
4、， = 2 B = 3， = 2 C = 3， = 0 D = 3， = 2 二、填空题二、填空题 11 （2021 九上 长子期末）一元二次方程（2y3）2y（y+2）的一般形式是 12 （2021 九上 尧都期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是1352，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 2. 13 （2021 九上 盂县期末）电影长津湖上映以来，全国票房连创佳绩据不完全统计，某市第一天票房约 2 亿元， 以后每天票房按相同的增长率增长， 三天后累计票房收入达 18 亿元， 将增长率记作 x，则方程可以列为 14 （2021 九上 洪洞期末）在“双减”政策
5、下， 学校开展了丰富多彩的活动， 其中， 要举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为 20cm 和 15cm 的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸经试验，彩纸面积为相片面积的13时较美观若所镶彩纸的宽为 xcm，根据题意，列方程为 15 （2021 九上 阳城期末）不解方程，求出方程2+ 3 5 = 0的两根之和与两根之积是 、 16 （2021 九上 盐湖期中）如图，在长为 32 米，宽为 20 米的矩形地面上：修建如图所示的道路（图中的阴影部分） ，余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为 540 平方米，则可列方程为 17 （2021 九上 灵石期中）如图，在长为 20m，宽为 12m 的矩形地面上
6、修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的 34 ，如果设道路的宽为 x m，则根据题意可列出方程 18 （2021 九上 太原期中）学校秋季运动会上，九年级准备队列表演，一开始排成 8 行 12 列，后来又有 84 名同学积极参加，使得队列增加的行数比增加的列数多 1现在队列表演时的列数是 19 （2021 九上 太原期中）在探究一元二次方程 x2+12x150 的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算结果如表： x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x15 -0.59 0.84 2.29 3.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近
7、似解这个近似解的十分位是 20 （2021 九上 尧都期中）抛物线 y=(k+1)x2-x-2 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 三、计算题三、计算题 21 （2021 九上 太原期末）解方程： （1） （x4） （5x+7）0； （2）x24x60 22 （2019 九上 偏关期末）解下列方程： （1）22 2 1 = 0 （2）( 5)( + 7) = 1 23 （2021 九上 平定期末） （1）解方程：42 3 2 = 0 （2）解方程：3( 3) = 5 15 四、综合题四、综合题 24 （2022 山西模拟）“网上买年货，安心过大年”.2022 年 1 月 9 日“全晋乐购”
8、网上年货节启动公众可通过多个电商平台参与减免、直降、秒杀等促销活动，享受无接触配送等服务某网店专售一款中国结，其成本为每个 40 元，当销售单价为 80 元时，每天可销售 100 个为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施据市场调查发现该款中国结销售单价每降 1 元，每天可多销售 5 个设该款中国结的销售单价为元（为正整数） ，每天的销售量为个 （1）请直接写出与的函数关系式 （2）当该网店每天销售利润为 4500 元时，求该款中国结的销售单价 25 （2021 九上 尧都期末）已知关于 x 的方程1110 无解，方程 x2+kx+60 的一个根是 m （1）求 m 和 k 的值； （2）求方程
9、x2+kx+60 的另一个根 26 （2021 九上 长子期末）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为 10 元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 18 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价 x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？ 27 （2019 九上 偏关期末）阅读材料并回答问题： （1） 方程2+ 2 + 1 = 0的根为1= 1， 2= 1， 1+ 2= 2， 12= 1 方程32+ 4
10、 7 = 0的根为1= 1，2= 73，1+ 2= 43，12= 73程2+ + = 0(2 4 0)的根为1=+242，2=242，1+ 2= ，12= （2）从（1）中你一定发现了一定的规律，这个规律是 （3）用你发现的规律解答下列问题： 不解方程，直接计算：方程2 2 1 = 0的两根分别是1、2，则1+ 2= ，1 2= ； 方程2 3 + 1 = 0的两根分别是1、2，则12+ 22= 已知一元二次方程2 3 3 = 0的一个根为 6，求及方程的另一个根 28 （2022 山西）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 用函数观点认识一元二次方程根的情况 我
11、们知道，一元二次方程2+ + = 0(a 0)的根就是相应的二次函数 = 2+ +( 0)的图象（称为抛物线）与 x 轴交点的横坐标抛物线与 x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根因此可用抛物线与 x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况 下面根据抛物线的顶点坐标（2，424）和一元二次方程根的判别式= 2 4，分别分 0和 0时，抛物线开口向上 当= 2 4 0时，有4 2 0，顶点纵坐标424 0，顶点纵坐标424= 0 顶点在 x 轴上，抛物线与 x 轴有一个交点（如图 2） 一元
12、二次方程2+ + = 0(a 0)有两个相等的实数根 当= 2 4 = 0时， 0时的分析过程，写出中当 0， 0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图； （3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解请你再举出一例为 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：一元二次方程 22 6 5 = 0 ，其一次项系数是-6 故答案为：C 【分析】根据一元二次方程 22 6 5 = 0 ，求系数即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得：二月份生产口罩 60(1 + ) 万箱，三月份生
13、产口罩 60(1 + )2 万箱， 60 + 60(1 + ) + 60(1 + )2= 200 中，x 表示的意义是该厂二、三月份平均每月的增长率 故答案为：D 【分析】根据题意先求出60 + 60(1 + ) + 60(1 + )2= 200，再求解即可。 3 【答案】B 【解析】【解答】解： ( 2)2= 3( 2) ( 2)2 3( 2) = 0 ( 2)( 5) = 0 5 = 0， 2 = 0 1= 5，2= 2 故答案为：B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。 4 【答案】D 【解析】【解答】解：设这个宽度应设计为，则矩形大棚的长为(12 2)，宽为(9 2)， 由题意
14、得：(12 2)(9 2) = 88， 解得 = 0.5或 = 10， 因为当 = 10时，12 2 = 8 0 解得：22或 22 在 1-6 中，满足条件的有：3、4、5、6 这 4 个数 概率 P=46=23 故答案为：A 【分析】根据题意先求出()2 4 1 2 0，再求出22或 22，最后求概率即可。 10 【答案】D 【解析】【解答】解：2 6 + 7 = 0 2 6 = 7 2 6 + (3)2= 7 + (3)2 ( 3)2= 2 = 3， = 2 故答案为：D 【分析】根据题意先求出2 6 = 7，再求出( 3)2= 2，最后求解即可。 11 【答案】32 14 + 9 =
15、0 【解析】【解答】解：(2 3)2= ( + 2)， 去括号得：42 12 + 9 = 2+ 2， 移项合并同类项为：32 14 + 9 = 0 故答案为：32 14 + 9 = 0 【分析】根据一元二次方程的一般式求解即可。 12 【答案】9 【解析】【解答】解：因为大长方形的面积是 1352， 所以小长方形的面积是 135 5=272， 设宽为 x cm，则长为 3x cm， 所以 3 = 27， 即2= 9， 所以以小长方形的宽为边长的正方形面积是 92 故答案为：9 【分析】先求出小长方形的面积是 27cm2，再列方程求解即可。 13 【答案】2 + 2(1 + ) + 2(1 +
16、)2= 18 【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为 x，根据题意得：2 + 2(1 + ) + 2(1 + )2= 18 故答案为：2 + 2(1 + ) + 2(1 + )2= 18 【分析】根据 三天后累计票房收入达 18 亿元， 列方程即可。 14 【答案】(20 + 2)(15 + 2) 20 15 =13 20 15（答案不唯一） 【解析】【解答】 解： 设所镶彩纸的宽为 xcm， 则大长方形的长和宽分别为(20 + 2)、 (15 + 2)， 由题意得(20 + 2)(15 + 2) 20 15 =13 20 15， 故答案为：(20 + 2)(15 + 2) 20 15
17、=13 20 15（答案不唯一） 【分析】先求出大长方形的长和宽分别为(20 + 2)、(15 + 2)，再列方程即可。 15 【答案】3；5 【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得方程 x2+3x-5=0 的两根之和为-3，两根之积为-5 故答案为：-3；-5 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求解即可。 16 【答案】32 20 20 32 + 2= 540 【解析】【解答】根据题意，可列方程为： 32 20 20 32 + 2= 540 故答案为： 32 20 20 32 + 2= 540 【分析】设道路宽为 x，根据题意即可列出方程。 17 【答案】（20 x） （12x）
18、34 20 12 【解析】【解答】 如图， 把水平方向的道路向上平移， 竖直方向的道路向右平移， 得到如图所示的图形， 则草坪变为一个的长为(20-x)m，宽为(12-x)m 的矩形 由题意得： （20 x） （12x） 34 20 12 故答案为： （20 x） （12x） 34 20 12 【分析】根据题意可得余下的部分为(20-x)m，宽为(12-x)m 的矩形，根据使草坪的面积为整个矩形面积的 34，即可得出关于 x 的方程。 18 【答案】15 【解析】【解答】 解： 设现在队列表演时的行数是 x， 则现在队列表演时的列数是 12 + ( 8 1) = +3 ， 由题意得： ( +
19、3) = 8 12 + 84 = 180 ， 2+ 3 180 = 0 ( + 15)( 12) = 0 ， = 12 或 = 15 （舍去） 现在队列表演时的行数是 12， 现在队列表演时的列数是 15， 故答案为：15 【分析】先求出( + 3) = 8 12 + 84 = 180，再计算求解即可。 19 【答案】1 【解析】【解答】由表可知，当 x 取 1.1 与 1.2 之间的某个数时， = 0 ，即此时这个数是方程的一个解， 方程的一个解 x 的取值范围是 1.1 0 =(3)4124 1=3+418，2=3418 （2）解：原方程可变形为： 3( 3) 5( 3) = 0 ( 3)
20、(3 5) = 0 3 = 0或3 5 = 0 解得1= 3，2=53 【解析】【分析】 （1）利用公式法解方程即可； （2）利用解一元二次方程的方法解方程即可。 24 【答案】（1）解： = 5(80 ) + 100 = 5 + 500 与的函数关系式为 = 5 + 500 （2）解：设销售利润为， 则 = ( 40) = ( 40)(5 + 500) 令 = 4500， 则( 40)(5 + 500) = 4500， 化简得2 140+ 4900 = 0，解得1= 2= 70 所以当该网店每天销售利润为4500元时，该款中国结的销售单价为70元 【解析】【分析】 （1）利用销售数量等于 1
21、00+5 销售单价降低的价格即可得出外语 X 的函数关系式； （2）利用该网点每天的销售利润=每个的销售利润每天的销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论。 25 【答案】（1）解：去分母得 m1x0， 解得 xm1， 分式方程无解， x10，即 x1 m11， 解得 m2， 把 x2 代入方程 x2+kx+60 得 4+2k+60， 解得 k5； （2）解：设方程的另外一个根是 t， 由一元二次方程根于系数的关系得到 2t6， 解得 t3， 方程 x2+kx+60 的另一个根为 3 【解析】【分析】 （1）先求出 xm1， 再求出 4+2k+60， 最后求解即可； （2）利
22、用根与系数的关系先求出 2t6， 再求解即可。 26 【答案】（1）解：由图象知， （10，40） ， （18，24） ， 设 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx+b（k0） ， 把（10，40） ， （18，24）代入得： 10 + = 4018 + = 24， 解得： = 2 = 60， y 与 x 之间的函数关系式 y=-2x+60（10 x18） ； （2）解：根据题意得： （x-10） （-2x+60）=150， 整理，得：x2-40 x+375=0， 解得：x1=15，x2=25（不合题意，舍去） 答：该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 15 元 【解析】
23、【分析】 （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意列出方程（x-10） （-2x+60）=150，再求出 x 的值即可。 27 【答案】（1）； （2）1+ 2= ，12= （3）2，-1；7； 一个根为 6，x1+x2= 另一根为 x2363； x1x2= 6 （3）3a， 解得 a6 【解析】【解答】解： （1）由题意得：1+ 2=+242+242= 1 2=（+242） （242）= 故答案为：； （2）一元二次方程 ax2+bx+c0（a0，且 a，b，c 是常数）的两个根为 x1、x2 则 x1+x2= ，x1x2= （3）x1+x2= ，x1x2，= x1+x2=2
24、，x1x2=-1 故答案为：2；1 x1+x2= ，x1x2，= 12+ 22=（1+ 2)2212 =()2 2 =9-2 =7 故答案为：7 【分析】 （1）利用一元二次方程根与系数的关系计算求解即可； （2）根据（1）所求找出规律即可； （3）根据（2）所求计算即可； 利用完全平方公式计算求解即可； 先求出 另一根为 x2363，再根据 x1x2= 计算求解即可。 28 【答案】（1）AC（或 AD 或 CD） （2）解：a0 时，抛物线开口向上 当=b24ac0 a0， 顶点纵坐标424 0 顶点在 x 轴的上方，抛物线与 x 轴无交点（如图） ： 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)无实数根 （3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解 （答案不唯一又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等） 【解析】【解答】解：(1)上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想， 故答案为：AC（或 AD 或 CD） ； 【分析】 （1）根据上面小论文中的分析过程，体现的数学思想主要是数形结合和分类讨论； （2）参照小论文中的分析过程可得答案； （3）除一元二次方程外，初中数学中，用函数观点还可以认识二元一次方程组的解，认识一元一次不等式的解集等