1、第3讲：代数综合在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等典题精练【例1】 已知：，则代数式 已知和，且，则代数式的 值 已知，则 已知，则 【解析】 【点评】 这道例题和备选主要复习配方法和代入降次等恒等变形方法.【例2】 抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，OB=OC 求这条抛物线的解析式； 若点P与点Q在（1）中的抛物线上，且，PQ=n. 求的值； 将抛物线在
2、PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时，b的取值范围是 .【解析】 关于的一元二次方程有实数根,有,. .,. ，设. 解关于的一元二次方程，得 或.当时，由得.当时，由得（不合题意，舍去）.(舍去)，. 当时，二次函数与轴的交点为、 与轴交点坐标为，顶点坐标为.画出函数和 的图象，若直线平行移动时，可以发现当直线经过点时符合题意， 此时最大的值等于. 【例3】 已知：关于的一元二次方程（为实数）. 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； 求证：抛物线总过轴上的一个定点； 若是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整 数
3、根时，把抛物线向右平移3个单位长度，求平移后的解 析式【解析】 . 方程有两个不相等的实数根，. ，m的取值范围是. 证明：令得，. ，. 抛物线与x轴的交点坐标为（），（）.无论m取何值，抛物线总过定点（）. 是整数 只需是整数.是整数，且,. 当时，抛物线为把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为. 【例4】 已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上. 求抛物线与x轴的交点坐标； 当a=1时，求ABC的面积； 是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证 明；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）由=0，得，抛物线与x轴的交点坐标为
4、（0，0）、（，0）（2）当a=1时，得A（1，0）、B（2，1）、C（3，3），分别过点B、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，则有= - - =（个单位面积）（3）如： ， 又3（）= = 【例5】 二次函数，其顶点坐标为M(1，) 求二次函数的解析式； 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到 一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线与这个新图象有两个公共 点时，求的取值范围【解析】(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标， 所以 令解之得.A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）(2) 如图1，当直线经过A点时，可得 当直线经过B点时，可得由
5、图可知符合题意的的取值范围为 【例6】 已知关于m的一元二次方程=0. 判定方程根的情况； 设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时， 求m的值【解析】（1） 所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根. (2) 设 的两根都在和之间， 当时，即： 当时，即： 为整数， 当时，方程， 此时方程的根为无理数， 不合题意 当时，方程，不符合题意 当时，方程，符合题意 综合可知， 【例7】 已知二次函数在和时的函数值相等。 求二次函数的解析式； 若一次函数的图象与二次函数的图象都经过点，求和的值； 设二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），将二次函数的图象在点间的
6、部分（含点和点）向左平移个单位后得到的图象记为，同时将（2）中得到的直线向上平移个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象有公共点时，的取值范围。【解析】 由题意可知依二次函数图象的对称轴为则。 因二次函数图象必经过点又一次函数的图象经过点， 由题意可知，点间的部分图象的解析式为，则向左平移后得到的图象的解析式为此时平移后的解析式为由图象可知，平移后的直线与图象有公共点，则两个临界的交点为与则 思维拓展训练(选讲)训练1. 已知是关于的一元二次方程的根若，求的值【解析】 ，方程为，训练2. 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，其中为非 负整数，点是一次函数与反比例函数图象的交点，且、为常
7、数 求的值； 求一次函数与反比例函数的解析式； 当时，直接写出的最小值.【解析】 依题意得解得且 为非负整数，. 当时，原方程化为解得把和代入，得一次函数的解析式是把代入，得反比例函数的解析式是 当时，最小值为.训练3. 某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰
8、好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【解析】 （1）设件数为x，依题意，得300010（x10）=2600，解得x=50。答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。（2）当0x10时，y=（30002400）x=600x；当10x50时，y=3
9、00010（x10）2400x，即y=10x2+700x；当x50时，y=（26002400）x=200x。（3）由y=10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y最大，此时，销售单价为300010（x10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。复习巩固【练习1】 阅读题：材料一：已知、为整数，其中，求、解：且或材料二：一元二次方程的解为，若为有理数，则为完全平方数，（为自然数）根据上面材料及解题思路，解答下列各题： 已知、为整数，其中，则 已知关于的一元二次方程 的解为有理数，则整数 如图，点在射线上一动点，其中，为正整数，若，求的值【解析】 ， ， ，【练习2】 已
10、知抛物线yax2x2.(1)当时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；(2)若代数式的值为正整数，求x的值；(3)若是负数时，当aa1时，抛物线yax2x2与x轴的正半轴相交于点M(m，0)；当aa2时，抛物线yax2x2与x轴的正半轴相交于点N(n，0). 若点M在点N的左边，试比较a1与a2的大小.【解析】 当时，. 抛物线的顶点坐标为(，)，对称轴为直线(2)代数式的值为正整数，函数的值为正整数.又因为函数的最大值为，的正整数值只能为1或2. 当时，解得， 当时，解得 的值为，0或1.（3）当时，即a. 经过点的抛物线的对称轴为, 经过点的抛物线的对称轴为点M在点N的左边，且抛物线经过点(0,2)直线在直线的左侧