1、第8讲：几何三大变换题型一：平移典题精练【例1】 如图所示，是等边三角形，的边、交各边分别于、已知，且，求证：【解析】 要证，只需证明，而已知，但、并不是一个三角形的三条边，不妨设法平移线段、成为一个三角形如图所示，过作的平行线交过所作的的平行线于点，可知是平行四边形故，又因为，所以是等边三角形从而，故，且因此是平行四边形，则，且因为，则，由勾股定理的逆定理可得由于，即；，即，故，即题型二：轴对称典题精练【例2】 在中，点、分别为、上的动点，求的最小周长【解析】 当点固定时，分别作点关于、的对称线段、，应用上面结论可得，是等腰直角三角形，故，当最小时，即为的高，且、四点共线，的周长最小为求高如
2、图所示最小周长为（此三角形即为著名的垂足三角形）【例3】 如图，已知，且求证：是等腰三角形【解析】 延长到，使得，连接，即，是等腰三角形题型三：旋转【例4】 在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）求BAO的度数；（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD点Q在AD上，连结PQ，过作射线PFPQ交x轴于点F，作PGx轴于点G求证：PFPQ ；（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由图1图2【解析】（1）直线与x轴交
3、于点A，与y轴交于点BA（6，0），B（0，6）OA=OB在AOB中， （2）在等腰直角三角形APD中，DA=DP，DPAD于D由（1）可得又PGx轴于G，2x图1ABQGPOFD134yPG = PD 即又PQPF， 在PGF和PDQ中，PGFPDQ(ASA)PF=PQ （3）答：OPDP，OPDP证明：延长DP至H，使得PH=PDP为BE的中点，PB=PE756图2DAEBOyPxH3412在PBH和PED中，PBHPED（SAS）BH=ED BHED在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，AD=BH，.DEx轴，BHx轴， BHy轴由（1）可得 OA=OB在DAO和HBO中，DAOHBO（
4、SAS）OD=OH，5=6 ,. 在等腰直角三角形DOH中，DP=HP，OPDP，.OP=PD 【例5】 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中于点，于点，是的中点，连接和，则下列结论正确的是 （填序号即可）；整个图形是轴对称图形；数学思考：在任意中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连接和，则与具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探究：在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连接和，试判断的形状答： 【解析】 操
5、作发现：数学思考：答：，先证；如图2，分别取、的中点、，连接，是的中点，同理可证，同理可得，又，同理可得，即，又，（SAS），再证：证法一：，即又，其中即；证法二：如图2，与交于点，又，即，又，即；类比探究答：等腰直角三角形（评分说明：仅答等腰三角形或仅答直角三角形的不得分） 【例6】 在RtABC中，ACB=90，A=30，BD是ABC的角平分线， DEAB于点E（1）如图1，连接EC，求证：EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作BMG=60，MG交DE延长线于点G请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
6、（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作BNG=60，NG交DE延长线于点G试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由图1图2C1ADBE图1【解析】（1）证明：在RtABC中，ACB=90，A=30，, BC= BD平分ABC，.DA=DB DEAB于点EADGCBME图2AE=BE=BC=BE. BCE是等边三角形. （2）结论：AD = DGDM （3）结论：AD = DGDN理由如下：延长BD至H，使得DHDN . 图31234567ADGCBNEH由（1）得DA=DB，DEAB于点ENDH是等边三角形 NH=ND， ,.即.在DNG和HNB中，DNGH
7、NB（ASA）DG=HB. HB=HDDB=NDAD,DG= NDAD.AD = DGND. 思维拓展训练(选讲)训练1. 如图，在中，点在上，且，在上，且，与相交于求证：【分析】 由45角想到等腰直角三角形，所以平移使其过点或点，或者平移使其过点或点，将离散的线段集中在特殊三角形中，就能解决问题【解析】 方法一：如图1，分别过、作、的平行线相交于点，连结，可得到弦图模型的全等、平行四边形以及等腰直角三角形，从而可证方法二：如图2，分别过点、点作平行线，可得、平行四边形、等腰直角三角形方法三四：如图3，4，分别过、点作平行线训练2. 如图所示，在四边形中，求证：(1) ；(2) .【解析】(1
8、) 以为对称轴将翻折到的位置，则由可知在上，且，.将平移到的位置，则由可知在的延长线上，且，因此是一个等腰梯形，所以，于是.(2) 由(1)可得，即，而由及勾股定理可得，故.训练3. 如图，是等边内一点，若，求的度数 如图，是等边外一点，若，求的度数 如图所示，是等边内部一点，求的边长【解析】 只要学过勾股定理的同学，看到， 都会想到直角三角形我们用旋转变换把三条边集中到同一个三角形中 如图，过点作，连接，（等于将沿点逆时针旋转）， 以为边向四边形的外面作正，则， 将绕点逆时针旋转，得到连接，则，故是等边三角形，从而，在中，故，过点作，交的延长线于点，则，因此，在中，复习巩固题型一 平移变换 巩固练习【练习1】 如图，三角形的底边长厘米，边上的高是厘米，将该三角形以每秒厘米的速度沿高的方向向上平行移动秒，这时，该三角形扫过的面积（阴影部分） 如图，线段沿着四个方向都平移个单位长度，线段扫过的面积最大的是 （填序号）【解析】 三角形扫过面积相当于矩形的面积，当然也可直接计 算为平方厘米 题型二 轴对称变换 巩固练习【练习2】 如图所示，已知中，分别是三边，上的点，则的最小值为（）ABCD【解析】 如图所示，的最小值为，且当时，去最小值，故选B题型三 旋转变换 巩固练习【练习3】 、是等腰斜边所在直线上的两点，满足；求证：【解析】 将绕点逆时针旋转得到，证明与全等即可