1、第5讲：函数图像上点的存在性问题中的特殊三角形和特殊四边形题型一：存在问题中的三角形中考说明：函数图象上因动点产生的特殊三角形（包括等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形）. 解决此类问题可分三步：找点求点定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.典题精练【例1】 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 由等腰三角形两腰相等，线段可分别充当“腰”与“底”的角色，分别以、为圆心，以的长为半径画圆与对称
2、轴的交点，以及线段的垂直平分线与对称轴的交点为点. 【解析】 存在符合条件的点由，当时，当时，当时，连接，过作对称轴的垂线，由勾股定理可得综上所述，符合条件的点的坐标为，.【例2】 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），在抛物线上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点，并求出以为直角边时点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】 由直角三角形一个角为直角，可充当直角边和斜边的角色，当为直角边，分别过、两点作线段的垂线，与抛物线的交点即为点；当为斜边，以为直径所画的圆与抛物线的交点即为点.【解析】 存在符合条件的点，所有符合条件的点如图所示：由，可知，坐
3、标为由，易得，的解析式为，联立可得解得或（舍）可得坐标为综上所述，以为直角边时点的坐标为，.【例3】 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），设为轴正半轴上的一个动点，请在抛物线上求一点，使得为等腰直角三角形.【分析】 线段可以充当“斜边”和“直角边”的角色当为直角边时，又存在两种情况：或因此，共有种情况【解析】 当为直角边时，或若，则与或重合，若，则，分别作与的角平分线交抛物线于两点，即为，直线与直线解析式分别为、，分别与抛物线解析式联立，可得坐标为，坐标为当为斜边时，点坐标同上综上所述，所求的点坐标为，.题型二：存在问题中的四边形中考说明：函数图象上因动点产生的特殊四边形（包
4、括平行四边形、梯形）问题.解决此类问题可分三步：找点求点定点.找点可利用尺规作图；求点需利用等量关系或联立解析式；定点指依题意确定符合要求的点坐标.典题精练【例4】 已知抛物线： 求抛物线的顶点坐标. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线 的解析式. 如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是 否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存 在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）依题意 ， 顶点坐标是（2，2）（2）根据题意可知y2解析式中的二次项系数为 且y2的顶点坐标是（4，3）y2，即：y2（
5、3）符合条件的N点存在如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，则，且，作轴于点A，轴于点B，则有（AAS）点P的坐标为（4,3）10分点N在抛物线、上，且P点为、的最高点符合条件的N点只能在轴下方点N在抛物线上，则有：解得：或 点N在抛物线上，则有：解得：或符合条件的N点有四个：【例5】 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴交于点，设为抛物线上一个动点，则以点、为顶点的四边形能否是梯形？若能，请求出所有符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由.【分析】 由梯形为一组对边平行，另一组对边不平行.可分别过、作对边的平行线与抛物线相交，当过、两点作平行线时，所
6、形成的四边形恰为平行四边形，需舍去【解析】 存在这样的点使得以点、为顶点的四边形是梯形当过、两点作平行线时，所形成的四边形恰为平行四边形，需舍去.当过作的平行线，与抛物线的交点即为，此时，四边形与均为梯形，如图.由的解析式为，与联立，可得，【例6】 如图，在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，与轴交于点，将沿翻折后，点落在点处求点、的坐标；求经过、三点的抛物线的解析式；若抛物线的对称轴与交于点，点为线段上一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点 当四边形为等腰梯形时，求出点的坐标；当四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标 【解析】 如图所示，点关于轴的对称点为，与轴交于点，轴于， ，由题意可知
7、， 过点作轴于，轴于，在中，由矩形得点在第四象限， 设经过、三点的抛物线的解析式为依题意得 解得 此抛物线的解析式为 ，点为抛物线的顶点直线为抛物线的对称轴，交于，由题意可知 ，是等边三角形，当点在上时，四边形为等腰梯形，与不平行，四边形为梯形要使梯形为等腰梯形，只需满足，点在上由、求得直线的解析式为又点在抛物线上， 解得（与点重合，舍）点横坐标为由、求得直线的解析式为点在上， ， 当点在上时，四边形为平行四边形，点在点的上方，且，解得，（与点重合，舍）此时点坐标为 综上所述，当时，为等腰梯形；当时，为平行四边形思维拓展训练(选讲)训练1. 如图，抛物线的顶点为，与轴相交点，与轴交于两点（点在
8、点的左边）求抛物线的解析式；连接，试证明为直角三角形；若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 解得，所以抛物线的解析式为； 因为，可得，所以有所以，所以为直角三角形； 可知，下面需要分类讨论：情况一：线段为所求四边形的对角线，因为平行四边形的对角线互相平分，点在对称轴上，点在抛物线上，且点、关于对称轴对称，故要平分线段，故点为顶点满足条件.情况二：线段为所求四边形的边，则且假设存在这样的点，设，所以，要使以四点为顶点的四边形为平行四边形，只需要，即，所以或，因此点的坐标为或.综上所述，符合条件
9、的点为：，.训练2. 已知：抛物线与轴有两个不同的交点求的取值范围；当为整数，且关于的方程的解是负数时，求抛物线的解析式；在的条件下，若在抛物线和轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长 【解析】 ，依题意，得的取值范围是且 解方程，得方程的解是负数， 综合，及为整数，可得抛物线解析式为 如图，设最大正方形的边长为，则、两点的纵坐标为，且由对称性可知：、两点关于抛物线对称轴对称抛物线的对称轴为：点的坐标为 点在抛物线上，整理，得，（舍） 复习巩固题型一 存在问题中的三角形 巩固练习【练习1】 在如图的直角坐标系中，
10、已知点，将线段绕点按逆时针方向旋转至求点的坐标；若抛物线经过点求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点（点除外），使是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】 过点作轴，垂足为，在和中，由已知有，,而，又，且由已知有，点的坐标为 抛物线经过点，解得抛物线的解析式为. i) 当为直角顶点时 ，延长至点，使,则是以为直角边的等腰直角三角形,如果点在抛物线上,则满足条件，过点作轴, ，,可求得的坐标为，经检验点在抛物线上，因此存在点满足条件；ii）当点为直角顶点时，过点作直线，在直线上分别取，得到以为直角边的等腰直角和等腰直角，作轴于点，同理可证，可得点的坐
11、标为，经检验点在抛物线上,因此存在点满足条件同理可得点的坐标为，经检验点不在抛物线上综上：抛物线上存在点，两点，使得和是以为直角边的等腰直角三角形题型二 存在问题中的四边形 巩固练习【练习2】 如图，已知抛物线过点，与轴交于另一点求抛物线的解析式；若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标；在的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以，为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【解析】 把，代入中，得解得抛物线的解析式为 令，得解得，点为等腰直角三角形过点作轴，垂足为，所以可设点则有，（舍）所以点坐标为 由知，当为直角梯形一底时，由图象可知点不可能在抛物线上，若为直角梯形一底，为直角梯形腰时，直线的解析式为直线，且直线的解析式为联立方程组得得解得（舍），即点符合条件的点的坐标为