1、第6讲：图形运动产生的函数关系题型一：动点问题动点问题：一般指由于点的运动，引起线段的变化和图形的变化，一般考查线段特殊时或图形特殊时，求动点的位置或运动时间典题精练【例1】 已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点的坐标为，点是直线上的一动点，直线与轴交于点.问： 当点运动到何位置时，直线平分矩形的面积，请简要说明理由，并求出此时直线的函数解析式； 当点沿直线移动时，是否存在使与相似的点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】 连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积由已知可得此时点的坐标为设直线的函数解析式为则有解得，所以，直线的函数解析式为：
2、 存在点使得与相似不妨设直线与轴的正半轴交于点因为，若与相似，则有或当时，即，解得所以点满足条件当时，即，解得所以点满足条件由对称性知，点,过点、的直线与过点、的直线平行，舍去.综上所述，满足使与相似的点有个，分别为、 【例2】 如图，是边长为的等边三角形，动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为设动点、动点的运动时间为. 当为何值时，两个动点第一次相遇 从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，点、为顶点的三角形的面积为 【解析】 当为时，两个动点第一次相遇 是边长为的等边三角形，有种情况：如图1，当点在上时，点在上时.过作于，由三角形面积公式得：，解得
3、：，（舍去）；如图2，当点在上时，点在上时.过作于，由三角形面积公式得：，解得：或，当时，在上，舍去，；如图3，当点在上时，点在上时.， ，此方程无解；的值是，.【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是能进行分类讨论求出的值此题难度较大题型二：动直线问题动直线问题：一般指由于直线的平移，引起图形变化，在运动过程中，考查图形的特殊状态，图形的面积和周长等图形的基本特征典题精练【例3】 如图，在中，动线段（端点从点开始）沿边以的速度向点运动，当端点到达点时运动停止过点作交于点（当点与点重合时，与重合），连接，设运动的时间为秒（
4、） 直接写出用含的代数式表示线段、的长； 在这个运动过程中，能否为等腰三角形？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； 设、分别是、的中点，求整个运动过程中，所扫过的面积【答案】，分三种情况讨论：当时，有，点与点重合，当时，解得： 当时，有，即，解得： 综上所述，当、或秒时，为等腰三角形设是的中点，连接，又，点沿直线运动，也随之平移如图，设从位置运动到位置，则四边形是平行四边形 、分别是、的中点，且分别过点、作，垂足为，垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，当时，；当时，整个运动过程中，所扫过的面积为题型三：图形相对运动问题图形的相对运动问题：一般涉及两类问题，两个形状固定的图形相对运动，在运动的
5、过程中，求两图形重叠部分的面积在运动的过程中，图形的形状随着运动时间在变化，可考查点的重合问题，线的共线问题和图形重叠面积典题精练【例4】 如图，在中，点在上，点、同时从点出发，分别沿、以每秒1个单位长度的速度向点、匀速运动，点到达点后立刻以原速度沿向点运动，点运动到点时停止，点也随之停止在点、运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧设、运动的时间为秒（，正方形与重叠部分面积为当时时，正方形的边长是_当时，正方形的边长是_当时，求与的函数关系式；直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，最大？最大面积是多少？【解析】当时时，则，正方形边长是2；当时，正方形的边长是4；：当时，与的函数关系式
6、是；时，最大值为【点评】本题属于大综合题目，主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形的相似等知识点解决本题的关键是理顺各知识点间的关系，还要善于分解，化整为零，各个击破 【例5】 如图，在梯形中，点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接若设运动时间为解答下列问题：AEDQPBFC 当为何值时，？ 设的面积为，求与之间的函数关系式； 是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由; 连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由【解析】 而，当，.方法一：平行且等于，来源:学科网四边形是平行四边
7、形,，过作，交于，过作，交于，又，若，则有，解得在和中，.在运动过程中，五边形的面积不变思维拓展训练(选讲)训练1. 如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点、的坐标分别为、点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，到点停止；点在轴上，横坐标为点的横、纵坐标之和抛物线经过、两点过点作轴的垂线，垂足为，交抛物线于点设点的运动时间为（秒）， 的面积为（平方单位） 求抛物线对应的函数关系式; 分别求和时，点的坐标; 当时，求与之间的函数关系式，并直接写出的最大值【解析】 由抛物线经过点，得解得抛物线对应的函数关系式为： 当时，点坐标为，点坐标为 当时，点坐标为，点坐标为 当时， 当时， 当时，的最
8、大值为 训练2. 如图直角梯形和正方形的边、在同一条直线上，于点，直角梯形的面积与正方形的面积相等，将直角梯形沿向右平行移动，当点与点重合时停止移动设梯形与正方形重叠部分的面积为 求正方形的边长； 设直角梯形的顶点向右移动的距离为，求与的函数关系式； 当直角梯形向右移动时，它与正方形的重叠部分面积能否等于直角梯形面积的一半？若能，请求出此时运动的距离的值；若不能，请说明理由【解析】 设正方形边长为，（不合题意，舍去），正方形的边长为6 当时，重叠部分为 过作于，可得， 当时，重叠部分为直角梯形 存在 ，当时，（取正值）此时值不存在 当时， 综上所述，当时，重叠部分面积等于直角梯形面积的一半训练
9、3. 如图，在等腰梯形中，点从点出发沿折线段以每秒5个单位长的速度向点匀速运动；点从点出发沿线段方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点向上作射线，交折线段于点点、同时开始运动，当点与点重合时停止运动，点也随之停止设点、运动的时间是秒（） 当点到达终点时，求的值，并指出此时的长； 当点运动到上时，为何值能使？ 设射线扫过梯形的面积为，分别求出点运动到 、上时，与的函数关系式；（不必写出的取值范围） 能否成为直角三角形？若能，写出的取值范围；若不能，请说明理由【解析】 （秒）时，点到达终点 此时，的长为 如图1，若，又，则四边形为平行四边形，从而，由，得，解得经检验，当时，有 当点在上运动时，如
10、图2分别过点、作于点，于点，则四边形为矩形，且，从而，于是又，从而； 当点在上运动时，如图1过点作于点，由知，又，从而 能成为直角三角形 当为直角三角形时，的取值范围是且或 下面是第问的解法，仅供教师参考：当点在（包括点）上，即时，如图2过点作于点 ，则，又有，易得四边形为矩形，此时总能成为直角三角形当点、都在（不包括点但包括点）上，即时，如图1由和可知，此时为直角三角形，但点、不能重合，即，解得当点在上（不包括点但包括点），即时，由，可知，点在以为直径的圆的外部，故不会是直角由，可知一定是锐角对于，只有当点与重合，即时，为直角三角形综上所述，当为直角三角形时，t的取值范围是且或复习巩固题型一
11、 动点问题 巩固练习【练习1】 如图，在正方形中，动点自点出发沿方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折线以每秒的速度运动，到达点时运动同时停止，设的面积为，运动时间为，则下列图象中能大致反映与之间的函数关系的是（ ）【解析】 B题型二 动直线问题 巩固练习【练习2】 某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度（米/秒）与时间（秒）的关系如图， 求该同学骑自行车上学途中的速度与时间的函数关系式； 计算该同学从家到学校的路程（提示：在和段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程平均速度时间）.【解析】 （米）题型三 图形相对运动问题 巩固练习【练习3】 如图，在中，的面积为，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点设的长度为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为 用表示的面积； 求出与的函数关系式； 当取何值时，的值最大？最大值是多少？【解析】 ， ，即 ，边所对的三角形的中位线长为，当 时 当时，点落在三角形的外部，其重叠部分为梯形，边上的高由已知求得，由知，. 在函数中，当时最大为 在函数中，当时，最大为 ，当时，最大为