1、第7讲：中考中圆的热门考点题型一：圆中的计算每年北京中考第20题中都会对圆的基本性质的进行考察，此题第主要考察切线的证明，第主要考察相似和解直角三角形与圆的结合典题精练BDAOAHACAEAMAFAA【例1】 如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点，为的角平分线，且，垂足为点 求证：是半圆的切线； 若，求的长【解析】证明：连接， 是直径 有于 是的角平分线 又 为的中点 于 ，即 又是直径，是半圆的切线 （2），由（1）知，在中，于，平分，由，得，【例2】 已知：如图，直线PA交O于A、B两点，AE是O的直径，点C是O上一点，且AC平分PAE，过点C作CDPA，垂足为
2、点D（1）求证：CD与O相切；（2）若tanACD=，O的直径为10，求AB的长ABPOCDE【解析】（1）连结OC. 点C在O上，OA=OC， ， ，有. AC平分PAE， 点C在O上，OC为O的半径， CD为O的切线. （2）过点O作OGAB于G.,四边形OCDG是矩形.ABPOCDEGOG=CD, GD=OC. -3分 O的直径为10，OA=OC=5.DG=5.tanACD，设AD=x, CD=2x ,则OG=2x. AG=DG-AD=5- x . 在中，由勾股定理知 解得. . 题型二：辅助圆辅助圆是平面几何的一种重要解题工具，巧妙地添加辅助圆，能够使得那些看似与圆无关的题目通过建立沟
3、通条件和结论的联系，利用圆的性质或其它几何性质，从而通过简捷的方法把复杂的问题转化为较为简单的问题中考中只能利用圆的定义来构造辅助圆，常见的有两种类型：一是多条等线段共端点，而是两个直角三角形共斜边典题精练【例3】 已知四边形，且，且求的值【解析】 以为圆心，以为半径作圆延长交于点，连接 ， 在和中， 是直径，在中，由勾股定理得 【例4】 如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证： 【解析】 连接四边形是正方形，是外角平分线，四点共圆，题型三：坐标系中的圆近年来，北京中考中对圆的考察，从分值和难度上都有相当程度的提升，其中近三年中考最后一题都是将圆放在平面直角坐标系中考察，主要考
4、察对直线与圆各种位置关系的了解与掌握【例5】 如图，在平面直角坐标系中，的外接圆与轴交于点，求的长 【解析】 连接.,AB为直径， ， 在中， 过点作于， ， 在中，由勾股定理得在中， 【例6】 如图1，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点 求抛物线的解析式； 若点在抛物线上，且与面积相等，求点的坐标； 如图2，为外接圆上的中点，直线交轴于点，当绕点旋转时，交直线于点，交轴负半轴于点请你探究：的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围 图2xyACPNDEMFO图1xyOBCA【解析】（1）由直线AC的解析式可得：，； 代入抛物线的解析式中可得：，解
5、得； 故抛物线的解析式为：； （2）易知，按题意本题分两种情况讨论： （I）当Q在直线AC上方的抛物线上时，和同底，若它们的面积相等，则、到直线的距离相等，即； 由于抛物线的对称轴为，故； （II）当在直线下方的抛物线上时，设直线交轴于点，则的面积为：，的面积为：； 若两个三角形的面积相等，则有，即； 易知直线的解析式为：，联立抛物线的解析式得： ，解得 或； 故； 综上所述，存在两个符合条件的点：或；xyACPNDOEMFSR（3）如图，设的外接圆圆心为，连接，作，交轴于点，则； 由于是的中点，由垂径定理知平行于轴，得： ，； 则； 也是等腰三角形，即； ； ； ； 又，； ； 得； 故；
6、的值不变，恒为4 【例7】 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“非常距离”为； 若，则点与点的“非常距离”为. 例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点） （1）已知点，为轴上的一个动点， 若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标； 直接写出点与点的“非常距离”的最小值； （2）已知是直线上的一个动点， 如图2，点的坐标是（0，1），求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标； 如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离
7、”的最小值及相应的点和点的坐标【解析】 或 设坐标当此时距离为此时.最小值1【分析】从第二题第一问的作图中可以发现，过C点向x、y轴作垂线，当CP和CQ长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下或向上移动C点到达C点，其与点D的“非常距离”都会增大故而C、D为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离 思维拓展训练(选讲)训练1. 如图，在ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足BADC，以AD为直径的O与AB、AC分别相交于点E、F. （1）求证：直线BC是O的切线；（2）连接EF，若tanAEF，AD4，求BD的长.【解析】（1）证明：在ABC中， AC=BC， CAB = B.
8、CAB +B+C180，2B+C180.90. BADC，90.ADB90.ADBC.AD为O直径的，直线BC是O的切线.（2）解：如图，连接DF，AD是O的直径，AFD = 90. ADC90，ADF+FDCCD+FDC90.ADFC. ADFAEF，tanAEF，tanCtanADF.在RtACD中，设AD4x，则CD3x.BC5x，BD2x.AD4，x1.BD2. 训练2. 已知，是的平分线将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论； 【解析】 与的数量关系是相等 常规证法：过点作，垂足分别为点，易得，而，是
9、的平分线，又， 辅助圆证法：，四点共圆， 平分，训练3. 已知：如图，在直角坐标系中，经过坐标原点，分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、设的内切圆的直径为，求的值【解析】 设的内切圆与、分别切于点、，且半径为， 解得复习巩固题型一 圆中的计算 巩固练习【练习1】 如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，过点D作O的切线交BC于点E（1）求证：点E为BC中点；（2）若tanEDC=，AD=，求DE的长【解析】 (1)连结OD， AB为直径，ADB=90，又ABC=90， BC是O切线 DE是O切线 BE=DE， EBD=EDB， ADB=90，EBD+C=90，EDB+CDE
10、=90，C=EDC， DE=CE， BE=CE. (2) ABC=90，ADB=90， C=ABD=EDC， RtABD中，DB=， RtBDC中，BC=， 又点E为BC中点，=3 题型二 辅助圆 巩固练习【练习2】 如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，求的长 【解析】 连接，是正方形，四点共圆，在中，设，则，解得，题型三 坐标系中圆 巩固练习【练习3】 如图，O是ABC的外接圆，AB=AC，ABC=2BAC，弦BE交AC于点D，连接AE，若，点C坐标是（a，0），点F坐标是（0，b）请你写出圆心O的坐标（ ， ）；（用含a，b的代数式表示）求线段BD的长【解析】 ， ， 点坐标是（，0），设的长为即 解之得：的长为