1、2017-2018 学年湖北省武汉市武昌区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（3 分10=30 分）1 （3 分）下列汉字中，属于 中心对称图形的是（ ）A B C D2 （3 分）方程 x（x2）=0 的解是（ ）A0 B2 C0 或 2 D无解3 （3 分）如图，在ABC 中，CAB=70在同一平面内，将ABC 绕点 A 旋转到 ABC 的位置，使得 CCAB，则BAB=（ ）A30 B35 C40 D504 （3 分）菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的长是方程x 27x+12=0 的一个根，则菱形 ABCD 的周长为（ ）A16 B12 C16 或 12 D245 （3
2、分）将抛物线 y=3x2向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线为（ ）Ay=3（x+2） 21 By=3（x2） 2+1Cy=3（x2 ） 21 Dy=3（x+2） 2+16 （3 分）如图，将ABC 绕点 C（0 ，1）旋转 180得到ABC，设点 A 的坐标为（a，b） ，则点 A的坐标为（ ）A （a，b） B （ab1 ）C （a，b+1 ） D （a，b2）7 （3 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y轴交于点 C，且OBC=45，则下列各式成立的是（ ）Abc1=0 Bb+c1=0 Cbc+1=0 Db+c+1=08 （3 分
3、）下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有 2个三角形，第二个图形中共有 8 个三角形，第三个图形中共有14 个三角形，依此规律，第五个图形中三 角形的个数是（ ）A22 B24 C26 D289 （3 分）如图，ABD 内接于圆 O，BAD=60 ，AC 为圆 O的直径AC 交 BD 于 P 点且 PB=2，PD=4 ，则 AD 的长为（ ）A2 B2 C2 D410 （3 分）ABC 中，AB=AC，BAC=30，将 AB 绕着点 A逆时针旋转 m（0 m360）至 AD，连 BD，CD，且DBC 为等腰三角形，设DBC 的面积为 s，则 s 的值有（ ）个A2 B3 C4 D5二、
4、填空题（3 分6=18 分）11 （3 分）某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是 91，每个枝干长出 小分支12 （3 分）O 的半径为 13cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB=24cm，CD=10cm 则 AB 和 CD 之间的距离 13 （3 分）已知 a，b 是方程 x2+2x=2 的两个实数根，则 + = 14 （3 分）如图，O 的直径 AB 长为 10，弦 AC 的长为6，ACB 的角平分线交O 于 D，则 CD 长为 15 （3 分）设 a 为实数，若方程|（x+3） （x+1 ）|=x+a 有且仅有三个实数根，
5、则 a 的值为 16 （3 分）如图三角形 ABC 中，AB=3 ，AC=4 ，以 BC 为边向三角形外作等边三角形 BCD，连 AD，则当BAC= 度时，AD 有最大值 三、解答题17 （8 分）解方程： x22x=818 （8 分）. 已知抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且过点C（0，3 ）（1）求此抛物线的解析式；（2）证明：该抛物线恒在直线 y=2x+1 上方19 （8 分）如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1 ，1） ，B（4，2 ） ，C（3 ，4 ） （1）请画出ABC 向左平移 5 个单位长度后得到的A 1B1C1；（2）请画出ABC 关于原点对称的A 2
6、B2C2；（3）在 x 轴上求作一点 P，使PAB 的周长最小，请画出PAB，并直接写出 P 的坐标20 （8 分）已知，P 为等边三角形内一点，且 BP=3，PC=4，将BP 绕点 B 顺时针旋转 60至 BP的位置（1）试判断BPP的形状，并说明理由；（2）若BPC=150 ，求 PA 的长度21 （8 分）如图，C，D 两点在以 AB 为直径的半圆上， AD 平分BAC（1）求证：ODAC ；（2）若 AB=20，AD=4 ，求 AC 的长22 （10 分）某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果售价超过 50 元但不超过 80 元，每件商品
7、的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每月少卖 3 件设每件商品的售价为 x 元，每个月的销售量为 y 件（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；（2）设每月的销售利润为 W，请直接写出 W 与 x 的函数关系式；（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？23 （10 分）在OAB，OCD 中，OA=OB，OC=OD， AOB=COD=90 （1）若 O、C、A 在一条直线上，连 AD、 BC，分别取 AD、BC的中点 M、N 如图（1） ，求出线段 MN、AC 之间的数量关系
8、；（2）若将OCD 绕 O 旋转到如图（2）的位置，连 AD、BC，取BC 的中点 M，请探究线段 OM、AD 之间的关系，并证明你的结论；（3）若将OCD 由图（1）的位置绕 O 顺时针旋转角度 （0360） ，且 OA=4，OC=2，是否存在角度 使得OCBC？若存在，请直接写出此时ABC 的面积；若不存在，请说明理由24 （12 分）已知，如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（4，0 ） ，点 B 坐标为 （0，4） ，点 E 为射线 BA 上的动点（点 E 不与点 A，B 重合） ，抛物线上存在动点 T，使得EOT=45，C 为 y 轴正半轴上一点，且 OC= AB，抛物线 y=x
9、 2+mx+n 的图象经过 A，C 两点（1）求此抛物线的函数解析式；（2）若点 E 的横坐标为 3，求点 T 的坐标；（3）抛物线上是否存在点 P，使得 SACP =2SABC ，若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由参考答案一、选择题1D2C3C4A5A6D7D8C9B10C二、填空题119127cm 或 17cm131147 153 或 16120，7三、解答题17解：方程整理得：x 22x8=0，因式分解得：（x4） （x+2）=0，解得：x 1=4，x 2=218解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2， =2，得，b=4，抛物线 y=x2+bx+c 过点 C（0
10、 ，3 ） ，c=3，此抛物线的解析式为：y=x 24x+3 ；（2）证明：设 y1=x24x+3 ，y 2=2x+1，则 y1y 2=（ x24x+3 ）（2x+1）=x 22x+2=（x1）2+10，y 1y 2，该抛物线恒在直线 y=2x+1 上方19解：（1）A 1B1C1如图所示；（2）A 2B2C2如图所示；来源:学. 科.网 Z.X.X.K（3）PAB 如图所示， P（2，0） 20解：（1）BPP 是等边三角形 来源 :学*科*网 Z*X*X*K理由：BP 绕点 B 顺时针旋转 60至 BP，BP=BP，PBP=60；BPP是等边三角形（2）BPP是等边三角形， BPP=60，
11、PP=BP=3，PPC=BPCBPP=15060=90 ；在 RtPPC 中，由勾股定理得 PC= =5，PA=PC=521 （1）证明：AD 平分BAC，CAD=DAO，来源:学_科_网OA=OD，DAO=ODA，CAD=ODA，ODAC；（2）解：连接 BD、 BC，作 DEAB 于 E，如图，AB 为直径，ACB=ADB=90，在 RtADB 中，BD= =4 ， DEAB= ADBD，DE= =4 ，OE= =2，ODAC，DOE=CAB，RtACBRtOED， = ，即 = ，AC=422解：（1）当 50x80 时，y=210（x50 ） ，即y=260x，当 80x140 时，
12、y=210（8050） 3 （x80 ） ，即y=4203x则 ，（2）由利润=（售价成本）销售量可以列出函数关系式w=x 2+300x10400（50 x80）w=3x 2+540x16800（80x140） ，（3）当 50x80 时，w=x 2+300x10400，当 x=80 有最大值，最大值为 7200，当 80x140 时， w=3x 2+540x16800，当 x=90 时，有最大值，最大值为 7500，故售价定为 90 元利润最大为 7500 元23解：（1）如图 1 中，作 BHOB，AHOA，连接 OM 延长OM 交 BH 于 P，连接 ON 延长 ON 交 AH 于 Q，
13、连接 PQOA=OB，AOB=OAH=OBH=90，四边形 OAHB 是正方形，CM=MB，OM=MB，MBO=MOB，MBO+MBP=90，MOB+MPB=90， MBP=MPB，BM=PM=OM，同理可证 ON=NQ，MN= PQ，MC=MB，MO=MP，CMO=PMB，CMOBMP，PB=OC，同理可证 AQ=OD，OC=OD，AQ=PB=OC=OD，OA=OB=AH=BH，AC=BD=PH=QH，PQ= PH= AC，MN= AC（2）结论：OM= AD，OMAD理由：如图 2 中，延长 OM 到 H，使得 MH=OM，设 AD 交 OH于 G，交 OB 于 KCM=BM，CMO=BM
14、H，OM=MH，CMOBMH，OC=BH=OD，COM= H，OCBH，OBH+COB=180，AOD+COB=180，OBH=AOD，OB=OA，OBHAOD，AD=OH，OAD=BOH，OAD+AKO=90，BOH+AKO=90，OGK=90，ADOH，来源:学科网 ZXXKOM= AD，OMAD（3）如图 3 中，当 OCBC 设，作 CHOAY 于 HOCB=90，OB=2OC，OBC=30，OCB=60，COH=30，CH= OC=1，BC= OC=2 ，S ABC =SAOB S AOC S BOC =62 如图 4 中，作 CHAO 于 H易知BOC=60，COH=30，可得 C
15、H=1，BC=2 ，S ABC =SAOB +SBOC S AOC =6+2 ，综上所述，ABC 的面积为 6+2 或 62 24解：（1）点 A 坐标为（4 ，0 ） ，点 B 坐标为（0，4 ） ，OA=OB=4，AB=4 ，OC= AB=6，C（0，6） ，把 A（4，0）和 C（0 ，6）代入 y=x 2+mx+n 得 ，解得 ，抛物线的解析式为 y=x 2 x+6（2）如图 1 中，A（4，0） ，B（ 0，4） ，直线 AB 的解析式为 y=x+4，x=3 时，y=1，点 E 坐标（3，1） ，作 EGOA 于 G，取点 H（1，3 ） ，作HMx 轴于 M，连接 EH 交抛物线于
16、 TEG=OM=1，OG=HM=3 ，EGO=HMO=90，EOGOHM，EO=OH，EOG=OHM，MOH+MHO=90，EOG+HOM=90 ，EOH=90，OEH=EHO=45，E（3 ， 1） ，H（1，3） ，直线 EH 的解析式为 y= x+ ，由 解得 或 ，T 在第二象限，T（ ， ） （3）如图 2 中，由图象可知点 P 只有在直线 AC 下方，设点H（0，2） ，过点 H 作 AC 的平行线交抛物线于 P1，P 2S ACH =2SABC ，SP1AC=SP2AC=2S ABC ，直线 AC 的解析式为 y= x+6，直线 P1P2的解析式为 y= x+2，由 解得 或 ，满足条件的点 P 坐标为（2+2 ，1+3 ）或（22 ，13 ）