1、第13章三角形中的边角关系、命题与证明一、单选题1如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是（）A2B3C4D52若ABC的边长分别为a，b，c，且（abc）（ac）0，则ABC一定是（）A等腰直角三角形B等边三角形C等腰三角形D直角三角形3如图，人字梯中间一般会设计一 “拉杆”，以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是（）A两点之间的所有连线中线段最短B三角形具有稳定性C经过两点有一条直线，并且只有一条直线拉杆D在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短4下列长度的三条线段中
2、，能围成三角形的是（）A5cm，6cm，12cmB3cm，4cm，5cmC4cm，6cm，10cmD3cm，4cm，8cm5已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是()A5B6C12D166一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）Ax5Bx7C2x12D1x67用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（）ABCD8如图，已知AE是ABC的角平分线，AD是BC边上的高若ABC=34，ACB=64，则DAE的大小是（）A5B13C15D209下列语句不是命题的是（）A对顶角不相等B不平行的两条直线有一个交点C两点之间线段最短Dx与y
3、的和等于0吗10下列命题中，真命题的个数是（）同位角相等；a，b，c是三条直线，若ab，bc，则ac；a，b，c是三条直线，若ab，bc，则ac；过一点有且只有一条直线与已知直线平行A1个B2个C3个D4个11判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（）A2BC0D12下面四个命题：对顶角相等；同旁内角互补，两直线平行；全等三角形的对应角相等；如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，其中逆命题是真命题的个数是（）A1B2C3D4二、填空题13如图，AD是的中线，DE是的中线，EF是的中线，FG是的中线，若的面积，则的面积_14如图，在ABC中，B42，ABC的外角
4、DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC_15如图，在中.是的平分线.为上一点，于点.若，则的度数为_16如图，BP是ABC中ABC的平分线，CP是ACB的外角的平分线，如果ABP20，ACP50，则P_ 17命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_命题（填入“真”或“假”）18命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为_.三、解答题19已知在ABC中，A：B：C=2：3：4，CD是ACB平分线，求A和CDB的度数20如图，在ABC中，BAC=90，B=50，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求BAD和AOC的度数21如图，在ABC中，AE是BC边上的高（1）若AD是
5、边BC上的中线，AE=5cm，SABC=30cm，求DC的长；（2）若AD是BAC的平分线，B=30，C=60，求DAE的度数22如图，已知ABC(1)若AB4，AC5，则BC边的取值范围是_；(2)点D为BC延长线上一点，过点D作DEAC，交BA的延长线于点E，若E55，ACD125，求B的度数23如图，在中，直线分别交的边、和的延长线于点、（1）若，则_（2）、有什么数量关系？请说明理由24如图，点D是ABC的BC边上的一点，且1=2，3=4，BAC=66， 求DAC的度数25如图，在ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O,BOA=125.求DAC的度数.26如图，点，都
6、落在网格的格点上（1）写出点，的坐标；（2）求的面积：（3）把先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得，画出27平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图1，若ABCD，点P在AB、CD内部，B=50，D=30，求BPD（2）如图2，将点P移到AB、CD外部，则BPD、B、D之间有何数量关系？（不需证明）（3）如图3，写出BPDBDBQD之间的数量关系？请证明你的结论（4）如图4，求出A+B+C+D+E+F的度数参考答案1C【解析】根据三角形ABC的面积为2，可知三角形的底边长为4，高为1，或者底边为2，高为2，可通过在正方形网格中画图得出结果C点所有的情况如图所示：故选C.
7、有4个点.故选C.本题考查了学生阅读图象的能力，解决本题关键突破口是找准与 AB平行的两条直线2C【解析】根据题意得出，即可进行判断（abc）（ac）0， ABC一定是等腰三角形故选：C本题主要考查三角形形状的判断，掌握等腰三角形的定义是解题的关键3B【解析】根据三角形的稳定性解答即可人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：B本题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答4B【解析】根据三角形的三边关系“三角形的两边之和大于第三边”进行分析判断A、5+612，所以不能围成三角形；B、3+45，所以能围成三角形；C、4+610，所以不能围
8、成三角形；D、3+48，所以不能围成三角形故选：B本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的两边之和大于第三边在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形5C【解析】设此三角形第三边长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找到符合条件的x值即可解：设此三角形第三边长为x，则10-4x10+4，即6x14，四个选项中只有12符合条件，故选：C本题考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键6D如图所示:AB=
9、5，AC=7，设BC=2a，AD=x，延长AD至E，使AD=DE，在BDE与CDA中，AD=DE，BD=CD，ADC=BDE，BDECDA，AE=2x，BE=AC=7，在ABE中，BE-ABAEAB+BE，即7-52x7+5，1x6故选D7D【解析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高根据高线的定义即可得出结论解：A作出的是ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B作出的是ABC中AB边上的高线，故本选项正确；C不能作出ABC中BC边上的高线，故本选项错误；D作出的是ABC中AC边上的高线，故本选项错误；故选：D本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答
10、此题的关键8C【解析】由三角形的内角和定理，可求BAC=82，又由AE是BAC的平分线，可求BAE=41，再由AD是BC边上的高，可知ADB=90，可求BAD=56，所以DAE=BAD-BAE，问题得解在ABC中，ABC=34，ACB=64,BAC=180BC=82，AE是BAC的平分线，BAE=CAE=41.又AD是BC边上的高，ADB=90，在ABD中BAD=90B=56，DAE=BAD BAE =15.在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角
11、的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.9D【解析】判断一件事情的语句叫做命题. x与y的和等于0吗是询问的语句, 故不是命题.解：A. 正确, 符合命题的定义;B. 正确, 符合命题的定义;C. 正确, 符合命题的定义;D. 错误.故选D.本题主要考查命题的定义.10A解：两直线平行，同位角相等，故是假命题；在同一平面内，a，b，c是三条直线，若ab，bc，则ac，故是假命题；a，b，c是三条直线，若ab，bc，则ac，故是真命题；在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故是假命题.故选A.11A【解析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答21，（2）210，当n
12、2时，“如果n1，那么n210”是假命题，故选：A本题考查的是命题的真假判断，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可12B【解析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可解：对顶角相等的逆命题是相等的解是对顶角，是假命题；同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补是真命题；全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等的逆命题为：如果两个实数相等，那么它们的平方相等，是真命题，其中逆命题是真命题的有2个，故选：B此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命
13、题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题13【解析】根据三角形中线与三角形的面积关系即可得是的中线，同理可得：，故答案为：本题考查了三角形中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键1469#69度解：因为ABC的外角DAC和ACF的平分线交于点E，所以EAC=DAC，ECA=ACF，因为AEC180-EAC-ECA，所以AEC180-DAC-ACF=（360-DAC-ACF）=（180-DAC+180-ACF）=（BAC+ACB）=(180-B)=69.故答案是：691565【解析】先求出ADB的度数，继而根据三角形外角的性质
14、求出CAD的度数，再根据角平分线的定义求出BAC的度数，进而根据三角形内角和定理求解即可得EFBC，EFD=90，又DEF=15，ADB=90-DEF=90-15=75，C=35，ADB=C+CAD，CAD=75-35=40，AD是BAC的平分线，BAC=2CAD=80，B=180-BAC-C=180-80-35=65，故答案为：65本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等知识，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键1630【解析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出P的度数解：BP是ABC中ABC的平分
15、线，CP是ACB的外角的平分线，ABPCBP20，ACPMCP50，PCM是BCP的外角，PPCMCBP502030，故答案为：30本题考查了角平分线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键17假解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题故答案为：假本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题18如果a，b互为相反数，那么a+b=0【解析】交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题.解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0.本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多
16、命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理也考查了逆命题19A=40，CDB=80.试题分析:先根据已知条件A:B:C=2:3:4,可知把三角形内角和总共看成了9份,其中A,B,ACB分别占2份,3份,4份,然后根据三角形内角和等于180,按比例分配方法可进行求解A,B,ACB,然后根据角平分线的定义可得ACD,再根据三角形外角性质计算出CDB.试题解析:在ABC中,A:B:C=2:3:4,A+ACB+B=180, A=180=40,ACB=180=80, CD是ACB平分线,
17、ACD= ACB=40,CDB=A+ACD=40+40=80.20BAD=40，AOC=115【解析】先根据直角三角形的两个锐角互余，求得再根据角平分线的定义，求得最后根据三角形内角和定理，求得中的度数AD是高, 中, ABC中, AE，CF是角平分线，AOC中, 21（1）DC6cm；（2）DAE=15【解析】（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出SADC=15cm2，进而利用三角形面积得出CD的长（2）依据B=30，C=60，可知ABC为直角三角形，再根据AD为角平分线，即可得到BAD的度数，即可得到ADE的度数，进而得出DAE的度数解：（1）AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=5
18、cm，SABC=30cm2SADC=15cm2，AECD=15，5CD=15，解得：CD=6（cm）；（2）B=30，C=60，BAC=90，又AD为BAC的平分线，ADE=30+45=75，又AEBC，DAE=9075=15此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线、角平分线、以及高线的性质，根据已知得出SADC是解题关键22（1）1BC9；（2）70【解析】（1）根据三角形三边关系即可得；（2）由ACD=125，求得ACB=55，再由DEAC，求得BDE =55，再根据三角形的内角和即可求得（1）由已知得：5-4BC5+4，即1BC9；（2）ACD=125，ACB=180ACD=55，DEA
19、C，BDE=ACB=55，E=55，B=180EBDE=1805555=7023（1）；（2）F+FEC=2A，理由见解析【解析】（1）在ABC中，利用三角形内角和定理求得C的度数，再在EFC中，利用三角形内角和定理即可求解；（2）根据三角形外角的性质，可得出FEC=A+ADE，F+BDF=ABC，再根据A=ABC，即可得出答案（1）在ABC中，A=ABC，且A=70，C=，F+FEC=；故答案为：；（2）F+FEC=2A，理由：FEC=A+ADE，F+BDF=ABC，F+FEC=F+A+ADE，ADE=BDF，F+FEC=A+ABC，A=ABC，F+FEC=A+ABC=2A本题考查了三角形的
20、内角和定理，以及三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角的性质2428【解析】根据三角形的外角和内角和性质计算即可得出答案.解：由图和题意可知：BAC=180-2-3又3=4=1+2，66=180-2-（12）1=266=180-31，即1=38DAC=BAC-1=66-38=28本题考查的是三角形，外角定理是三角形中求角度的常用定理，需要熟练掌握.25CAD=20.【解析】先根据角平分线定义和三角形内角和定理求出CAB+CBA的度数，再求出C的度数，即可求出答案AE,BF是角平分线，OAB=BAC, OBA=ABC. CAB+CBA=2（OAB+OBA）=2（180-AOB）AOB=12
21、5，CAB+CBA=110.C=70.ADC=90，CAD=20.本题考查了三角形的内角和定理，能求出CAB+CBA的度数是解此题的关键26（1）点，的坐标分别是，；（2）3；（3）见解析【解析】（1）根据点，所在位置直接写出的坐标即可；（2）先求出BC，点A到BC边的距离，利用面积公式BC边上的高求即可；（3）先求A（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A、B、C三点坐标，连结AB、BC、CA即可解：（1）点，的坐标分别是，；（2）BC=4-1=3，点A到BC边的距离为：3-1=2，BC边上的高= ；（3）先把A、B、C三点向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长
22、度，得到A（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A、B、C三点坐标，连结AB、BC、CA，则为所求如图所示本题考查点的坐标，三角形面积，平移性质，掌握点的坐标，三角形面积，平移性质，作图先平移点，再连线得图是解题关键27（1）80；（2）B=BPD+D，证明见解析；（3）BPD=BQD+B+D；（4）360【解答】试题分析：（1）过点P作PEAB，根据两直线平行，内错角相等可得B=1，D=2，再根据BPD=1+2代入数据计算即可得解；（2）根据根据两直线平行，内错角相等可得BOD=B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；（3）连接QP
23、并延长，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答；（4）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得A+E=1，B+F=2，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解试题解析：解：（1）过点P作PEAB，ABCD，ABEPCD，B=1=50，D=2=30，BPD=80；（2）B=BPD+D（3）如图，连接QP并延长，结论：BPD=BQD+B+D理由：略（4）如图，由三角形的外角性质，A+E=1，B+F=2，1+2+C+D=360，A+B+C+D+E+F=360点晴：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键15