1、 第第 3 章勾股定理解答题专练章勾股定理解答题专练 一解答题（共一解答题（共 19 小题）小题） 1如图，在 77 网格中，每个小正方形的边长都为 1 （1）ABC 的面积为 ； （2）判断ABC 的形状，并说明理由 （3）AB 边上的高是 2一架梯子长 25m，底部长 7m，斜靠在墙，若梯子下滑了 4m，问梯子底部滑动了多少米？ 3如图，四边形 ABCD 中，AB4，BC3，CD13，AD12，B90求四边形 ABCD 的面积 4 （2021 秋栖霞区校级月考）如图，四边形 ABCD 中，ADC90，CD9，AD12，BC8，AB17 （1）求证：ACB90； （2）求四边形 ABCD 的
2、面积 5（2021 秋栖霞区校级月考） 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形， 两直角边的长分别为 a 和 b，斜边长为 c请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠 （1）请你画出拼成的这个图形的示意图； （2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理 6如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB3，BC4，CD12，AD13，B90求四边形 ABCD 的面积 7 （2022 秋玄武区期中）如图，在ABC 中，ABAC10cm，BC16cm，点 M 为 BC 的中点，MNAC于点 N，求（1）MN 的长度； （2）直接写出 CN 的长度 8 （2022 秋南京期中）
3、如图，在四边形 ABCD 中，AB20，AD15，CD7，BC24，A90求证：C90 9 （2022 秋玄武区期中）如图，某人从 A 地到 B 地共有三条路可选，第一条路是从 A 到 B，AB 为 10 米，第二条路是从 A 经过 C 到达 B 地，AC 为 8 米，BC 为 6 米，第三条路是从 A 经过 D 地到 B 地共行走 26米，若 C、B、D 刚好在一条直线上 （1）求证：C90； （2）求 AD 和 BD 的长 10 （2022 秋秦淮区期中）如图，池塘边有两点 A，B，点 C 是与 BA 方向成直角的 AC 方向上一点，测得BC25m，AC7m求 A，B 两点间的距离 11（
4、2021 秋玄武区期中） 如图， 一棵高 5.4m 的大树被台风刮断， 测得树梢着地点到树根的距离 BC3.6m，求大树折断处离地面的高度 AB 12 （2021 秋建邺区期末）如图，每个小正方形的边长都为 1，A、B、C、D 均在网格格点上 （1）求四边形 ABCD 的面积； （2）BCD 是直角吗？为什么？ 13 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，在ABC 中，BAC90，AB15，AC20，ADBC，垂足为D （1）ABC 的面积是 （2）求 BC、AD 的长 14 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，在ABC 中，BAC90，AB15，AC20，ADBC，垂足为D求 AD，BD 的长
5、 15 （2021 春鼓楼区期末） 【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为 a，b 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成如图所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积 （1）方法一可表示为 ； 方法二可表示为 ； （2） 根据方法一和方法二， 你能得出 a， b， c 之间的数量关系是 （等式的两边需写成最简形式） ； （3）由上可知，一直角三角形的两条直角边长为 6 和 8，则其斜边长为 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式如图 2 是边长为 a+b 的正方体，被如图所示的分割线分成 8 块 （4）用不同方
6、法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （等号两边需化为最简形式） （5）已知 2mn4，mn2，利用上面的规律求 8m3n3的值 16 （2020 秋秦淮区期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点称为格点已知 A、B、C 都是格点 （1）小明发现ABC 是直角，请补全他的思路； （2）请用一种不同于小明的方法说明ABC 是直角 17 （2020 秋玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道 AC 与 AE 的长度一样，滑梯的高度 BC4m，BE1m求滑道 AC 的长度 18 （2021 秋鼓楼区月考）如图，已知线段 a 和EA
7、F，点 B 在射线 AE 上画出ABC，使点 C 在射线AF 上，且 BCa （1）依题意将图补充完整； （2）如果A45，AB= 42，BC5，求ABC 的面积 19 （2020 秋玄武区校级期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积+4 个直角三角形的面积 从而得数学等式： （a+b）2c2+412ab，化简证得勾股定理：a2+b2c2 【初步运用】 （1）如图 1，若 b2a，则小正方形面积：大正方形面积 ； （2） 现将图 1 中上方的两直角
8、三角形向内折叠， 如图 2， 若 a4， b6， 此时空白部分的面积为 ； （3）如图 3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为 24，OC3，求该风车状图案的面积 （4）如图 4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S340，则 S2 【迁移运用】 如果用三张含 60的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？ 带着这个疑问， 小丽拼出图 5 的等边三角形， 你能否仿照勾股定理的验证， 发现含 60的三角形三边 a、b、c 之间的关系，写出此等量关系式及其推
9、导过程 知识补充： 如图 6，含 60的直角三角形，对边 y：斜边 x定值 k 参考答案解析参考答案解析 一解答题（共一解答题（共 19 小题）小题） 1如图，在 77 网格中，每个小正方形的边长都为 1 （1）ABC 的面积为 5 ； （2）判断ABC 的形状，并说明理由 （3）AB 边上的高是 2 【解答】解： （1）SABC441242123412125， 故答案为：5； （2）ABC 是直角三角形，理由如下： AC222+125，BC222+4220，AB242+3225， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，ACB90； （3）设 AB 边上的高是 h， SABC=12AB
10、h=125h5， h2， 故答案为：2 2一架梯子长 25m，底部长 7m，斜靠在墙，若梯子下滑了 4m，问梯子底部滑动了多少米？ 【解答】解：由题意知 ABCD25 米，BO7 米，AC4 米， 在 RtABO 中， AO= 2 2= 252 72=24（米） ， 在 RtCDO 中，COAOAC20 米， DO= 2 2= 252 202=15（米） ， BD1578 米 答：梯子底部滑动了 8 米 3如图，四边形 ABCD 中，AB4，BC3，CD13，AD12，B90求四边形 ABCD 的面积 【解答】解：连接 AC， 在ABC 中，B90，AB4，BC3， AC= 2+ 2= 42+
11、 32=5， SABC=12ABBC=12436， 在ACD 中，AD12，AC5，CD13， AD2+AC2CD2， ACD 是直角三角形， SACD=12ACAD=1251230 四边形 ABCD 的面积SABC+SACD6+3036 4 （2021 秋栖霞区校级月考）如图，四边形 ABCD 中，ADC90，CD9，AD12，BC8，AB17 （1）求证：ACB90； （2）求四边形 ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：连接 AC，如图所示： ADC90，CD9，AD12， AC= 2+ 2= 122+ 92=15， AC2+BC2152+82289，AB2172289， AC2+BC
12、2AB2， ACB 是直角三角形， ACB90； （2）解：四边形 ABCD 的面积ACD 的面积+ACB 的面积=12912+1215854+60114 故四边形 ABCD 的面积为 114 5（2021 秋栖霞区校级月考） 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形， 两直角边的长分别为 a 和 b，斜边长为 c请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠 （1）请你画出拼成的这个图形的示意图； （2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理 【解答】解： （1） （答案不唯一）如图； （2）证明：大正方形的面积可表示为（a+b）2， 大正方形的面积也可表示为：c2+4
13、12ab， （a+b）2c2+412ab， 即 a2+b2+2abc2+2ab， a2+b2c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 6如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB3，BC4，CD12，AD13，B90求四边形 ABCD 的面积 【解答】解：连接 AC， 在ABC 中， B90，AB3，BC4， AC= 2+ 2=5， SABC=12ABBC=12346， 在ACD 中， AD13，AC5，CD12， CD2+AC2AD2， ACD 是直角三角形， SACD=12ACCD=1251230 四边形 ABCD 的面积SABC+SACD6+3036 7 （2022 秋玄武区期中
14、）如图，在ABC 中，ABAC10cm，BC16cm，点 M 为 BC 的中点，MNAC于点 N，求（1）MN 的长度； （2）直接写出 CN 的长度 【解答】解： （1）ABAC10cm，BC16cm，点 M 为 BC 的中点， AMBC，CM=12BC8（cm） ， AM= 2 2= 102 82=6（cm） ， MNAC， SAMC=12AMCM=12ACMN， MN=6810=245； （2）MNAC， CNM90， CN= 2 2=82 (245)2=325， 故 CN 的长度为325 8 （2022 秋南京期中）如图，在四边形 ABCD 中，AB20，AD15，CD7，BC24，A
15、90求证：C90 【解答】证明：连接 BD， AB20，AD15，A90， BD= 2+ 2= 152+ 202=25， 在BCD 中，BC2+CD2242+72625，BD2252625， BD2BC2+CD2， BCD 是直角三角形， C90 9 （2022 秋玄武区期中）如图，某人从 A 地到 B 地共有三条路可选，第一条路是从 A 到 B，AB 为 10 米，第二条路是从 A 经过 C 到达 B 地，AC 为 8 米，BC 为 6 米，第三条路是从 A 经过 D 地到 B 地共行走 26米，若 C、B、D 刚好在一条直线上 （1）求证：C90； （2）求 AD 和 BD 的长 【解答】
16、 （1）证明：AC8 米，BC6 米，AB10 米， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，C90； （2）解：设 ADx 米，则 BD（26x）米， CDBC+BD6+26x（32x） （米） ， 在 RtACD 中，由勾股定理得：82+（32x）2x2， 解得：x17， 则 26x26179， 答：AD 的长为 17 米，BD 的长为 9 米 10 （2022 秋秦淮区期中）如图，池塘边有两点 A，B，点 C 是与 BA 方向成直角的 AC 方向上一点，测得BC25m，AC7m求 A，B 两点间的距离 【解答】解：在 RtABC 中，CAB90，BC25m，AC7m， 由勾股定理得
17、：AB= 2 2= 252 72=24（m） ， 即 A、B 两点间的距离为 24m 11（2021 秋玄武区期中） 如图， 一棵高 5.4m 的大树被台风刮断， 测得树梢着地点到树根的距离 BC3.6m，求大树折断处离地面的高度 AB 【解答】解：设 ABxm，则 AC（5.4x）m， 依题意得：x2+（3.6）2（5.4x）2， 整理得：10.8x16.20， 解得：x1.5 答：大树折断处离地面的高度 AB1.5m 12 （2021 秋建邺区期末）如图，每个小正方形的边长都为 1，A、B、C、D 均在网格格点上 （1）求四边形 ABCD 的面积； （2）BCD 是直角吗？为什么？ 【解答
18、】解： （1）四边形 ABCD 的面积是 5512 1 5 12 1 4 12 1 2 12 2 4 11 252.52141 14.5； （2）BCD 是直角， 理由是：连接 BD， 由勾股定理得：BD232+4225，BC222+4220，CD212+225， 所以 BC2+CD2BD2， 即BCD 是直角 13 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，在ABC 中，BAC90，AB15，AC20，ADBC，垂足为D （1）ABC 的面积是 150 （2）求 BC、AD 的长 【解答】解： （1）ABC 的面积是：12ABAC=12 15 20 =150 故答案是：150； （2）BAC90，
19、AB15，AC20， BC= 2+ 2=25， SABC150=12BCAD， 30025AD， AD12 14 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，在ABC 中，BAC90，AB15，AC20，ADBC，垂足为D求 AD，BD 的长 【解答】解：BAC90，AB15，AC20， BC= 2+ 2=25， SABC=12ABAC=12BCAD， ABACBCAD， 152025AD， AD12； ADBC， BD= 2 2= 152 122=9 15 （2021 春鼓楼区期末） 【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为 a，b 的直角三角形和一个两条直角
20、边都是 c 的直角三角形拼成如图所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积 （1）方法一可表示为 12ab+12ab+12c2 ； 方法二可表示为 12（a+b）2 ； （2）根据方法一和方法二，你能得出 a，b，c 之间的数量关系是 c2a2+b2 （等式的两边需写成最简形式） ； （3）由上可知，一直角三角形的两条直角边长为 6 和 8，则其斜边长为 10 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式如图 2 是边长为 a+b 的正方体，被如图所示的分割线分成 8 块 （4）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （a+b）3a3+3a2b+3a
21、b2+b3 （等号两边需化为最简形式） （5）已知 2mn4，mn2，利用上面的规律求 8m3n3的值 【解答】解： （1）方法一可表示为：12ab+12ab+12c2； 方法二可表示为：12（a+b）2 故答案为：12ab+12ab+12c2；12（a+b）2 （2）12ab+12ab+12c2=12（2ab+c2） ， 12（a+b）2=12（2ab+a2+b2） ， 12（2ab+c2）=12（2ab+a2+b2） ， c2a2+b2 故答案为：c2a2+b2 （3）c2a2+b282+62100， c10 故答案为：10 （4）方法一可表示为： （a+b）3； 方法二可表示为：a3+3
22、a2b+3ab2+b3 等式为： （a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3 故答案为： （a+b）3a3+3a2b+3ab2+b3 （5）由（4）可得： （2mn）38m312m2n+6mn2n38m3n36mn（2mn） ， 2mn4，mn2， 648m3n3624， 8m3n364+48112 16 （2020 秋秦淮区期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为 1，小正方形的顶点称为格点已知 A、B、C 都是格点 （1）小明发现ABC 是直角，请补全他的思路； （2）请用一种不同于小明的方法说明ABC 是直角 【解答】解： （1）AB= 12+ 32= 10，BC= 12+ 32=
23、10，AC= 22+ 42= 25， AB2+BC2AC2， ABC 是直角三角形， ABC90； （2）过 A 点作 ADBE 于 D，过 C 作 CEDB 于 E， 由图可知：ADBE，BDCE，ADBBEC90， 在ADB 和BEC 中， = = = ， ADBBEC（SAS） ， ABDBCE， 在BEC 中，BEC+BCE+EBC180， BCE+EBC180BEC90， ABD+EBC90， D，B，E 三点共线， ABD+EBC+ABC180， ABC180（ABD+EBC）90 17 （2020 秋玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道 AC 与 A
24、E 的长度一样，滑梯的高度 BC4m，BE1m求滑道 AC 的长度 【解答】解：设 ACxm，则 AEACxm，ABAEBE（x1）m， 由题意得：ABC90， 在 RtABC 中，AB2+BC2AC2， （x1）2+42x2 解得 x8.5 AC8.5m 18 （2021 秋鼓楼区月考）如图，已知线段 a 和EAF，点 B 在射线 AE 上画出ABC，使点 C 在射线AF 上，且 BCa （1）依题意将图补充完整； （2）如果A45，AB= 42，BC5，求ABC 的面积 【解答】解： （1）如图，ABC1、ABC2 为所求 （2）过点 B 作 BDAF 于 D ADB90， 在ABD 中，
25、A45，AB= 42， ABD45，ADBD AD2+BD2AB2， 22= (42)2， AD4BD， 由（1）作图可知：BC1BC25， 在 RtBDC2中，同理可得：DC23 BC1C2是等腰三角形 DC1DC23， AC1ADC1D431，AC2AD+C2D4+37， 1=121 =12 1 4 = 2， 2=122 =12 7 4 = 14 19 （2020 秋玄武区校级期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用 4 张全等的直角三角形纸片拼成图 1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积+4 个直角三角形的面积 从
26、而得数学等式： （a+b）2c2+412ab，化简证得勾股定理：a2+b2c2 【初步运用】 （1）如图 1，若 b2a，则小正方形面积：大正方形面积 5：9 ； （2） 现将图 1 中上方的两直角三角形向内折叠， 如图 2， 若 a4， b6， 此时空白部分的面积为 28 ； （3）如图 3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为 24，OC3，求该风车状图案的面积 （4）如图 4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S340，则 S2 403 【迁移运用】
27、 如果用三张含 60的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？ 带着这个疑问， 小丽拼出图 5 的等边三角形， 你能否仿照勾股定理的验证， 发现含 60的三角形三边 a、b、c 之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程 知识补充： 如图 6，含 60的直角三角形，对边 y：斜边 x定值 k 【解答】解： 【初步运用】 （1）由题意：b2a，c= 5a， 小正方形面积：大正方形面积5a2：9a25：9， 故答案为：5：9 （2）空白部分的面积为522124628 故答案为：28 （3）2446， 设 ACx，依题意有 （x+3）2+32（6x）2， 解得 x1， 12（3+1）34 =12434 24 故该飞镖状图案的面积是 24 （4）将四边形 MTKN 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y， 正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，S1+S2+S340， S18y+x，S24y+x，S3x， S1+S2+S33x+12y40， x+4y=403， S2x+4y=403 故答案为：403 迁移运用结论：a2+b2abc2 理由：由题意：大正三角形面积三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得：12（a+b）k（a+b）312bka+12cck， （a+b）23ab+c2 a2+b2abc2