1、 第第 2 章轴对称图形解答题专练章轴对称图形解答题专练 一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题） 1如图，ABC 是顶角为 36的等腰三角形，DEF 是底角为 36的等腰三角形，BCDE 求证：ABEF 2如图，等边ABC 中，BD 是边 AC 上的高，延长 BC 到点 E，使 CECD，求证：BDDE 3如图，在ABC 中，EF 是 AB 的垂直平分线，ADBC，D 为 CE 的中点 （1）求证：BEAC； （2）若B35，求BAC 的度数 4 （2022 秋南京期中）证明：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角” ） 已知：如图，在ABC 中， 求证： 证明： 5 （2021 秋鼓
2、楼区校级期末）如图，线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A（4，6） ，B（2，2） ，线段 AB 与线段 A1B1关于直线 m（直线 m 上各点的横坐标都为 5）对称，线段 A1B1与线段 A2B2关于直线 n（直线n 上各点的横坐标都为 9）对称 （1）在图中分别画出线段 A1B1、A2B2； （2） 若点P （a， b） 关于直线m的对称点为P1， 点P1关于直线n的对称点为P2， 则点P2的坐标是 6 （2022 秋栖霞区校级月考）如图，P 是在ABC 内一点，若PBCPCB10，APC 是等边三角形求ABP 的度数 7 （2022 秋江宁区校级月考）我们知道定理：直角三角形斜边上的中
3、线等于斜边的一半 思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，请写出其逆命题，并证明；若不成立，试说明理由 （1）逆命题是： ； （2）已知： ； 求证： 证明： 8 （2022 秋江宁区校级月考）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合” ，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明 已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC，D 为 BC 中点 求证：ABC 是等腰三角形 （用两种不同的方法证明） 方法一： 方法二： 9 （2022 秋玄武区校级月考）如图，在ABC 中，BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高，F 是
4、 BC 的中点 （1）求证：DEF 是等腰三角形； （2）若A60，DE2，求 BC 的长 10 （2022 秋玄武区期中）如图，ABC 为等边三角形，BDAC 交 AC 于点 D，DEBC 交 AB 于点 E （1）求证：ADE 是等边三角形 （2）求证：AE=12AB 11 （2022 秋秦淮区期中）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上 （1）在图中画出与ABC 关于直线 l 成轴对称的ABC； （2）五边形 ABCBA的面积为 12 （2021 秋建邺区期末）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 D、E 在 BC 上，ADAC
5、，AEAB 求证：AED 为等边三角形 13 （2022 秋鼓楼区校级月考）同学们知道： “在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30 ”请应用该性质，解决下列问题： 学校有一块三角形的绿地，ABBC20m，A15，求绿地ABC 的面积？ 14 （2022 秋鼓楼区校级月考）如图，网格中每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 在小正方形的顶点上 （1）ABC 的面积是 （2）在网格纸中画出与ABC 关于直线 l 成轴对称的ABC； （3）再找一个格点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是轴对称图形，并画出对称轴 15 （2022 秋鼓楼区校级月考
6、）如图所示，在等边ABC 中，AB9cm，点 P 从点 C 出发沿 CB 边向点 B以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BA 边向点 A 以 5cm/s 的速度移动P，Q 两点同时出发，它们移动的时间为 1s （1）你能用含的式子表示 BP 和 BQ 的长度吗？请你表示出来 （2）请问几秒后，PBQ 第一次为等边三角形？ （3）若 P，Q 两点分别从 C，B 两点同时出发，并且按顺时针方向沿ABC 三边运动，请问经过几秒后点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？ 16 （2022 秋南京期中）已知图、图都是轴对称图形仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，
7、不写作法） ： （1）在图中，作出该图形的对称轴 l； （2）在图中，作出点 P 的对称点 P 17 （2021 秋南京期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，4） ，B（4，4） ，C（2，1） （1）请在图中画出ABC； （2）将ABC 向左平移 5 个单位，再沿 x 轴翻折得到A1B1C1请在图中画出A1B1C1； （3）若ABC 内有一点 P（a，b） ，则点 P 经上述平移、翻折后得到的点 P1的坐标是 18 （2022 秋秦淮区校级月考）如图，在ABC 中，BDAC 于点 D，CEAB 于点 E，点 M，N 分别是BC，DE 的中点 （1）求证：MNDE； （2）若ECB+
8、DBC45，DE10，求 MN 的长 19 （2021 秋南京期末）如图，在ABC 中，AB、AC 的垂直平分线 l1、l2相交于点 O （1）求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上： （2）若 ABAC10，BC12，则 OA 20 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A（4，6） ，B（2，2） ，线段 AB与线段 A1B1关于直线 m（直线 m 上各点的横坐标为 5）对称，线段 A1B1与线段 A2B2关于直线 n（直线n 上各点的横坐标都为 9）对称 （1）在图中分别画出线段 A1B1、A2B2； （2） 若点P （a， b） 关于直线m的对称点为P
9、1， 点P1关于直线n的对称点为P2， 则点P2的坐标是 参考答案解析参考答案解析 一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题） 1如图，ABC 是顶角为 36的等腰三角形，DEF 是底角为 36的等腰三角形，BCDE 求证：ABEF 【解答】证明：如图，作 BH 平分ABC 交 AC 于点 H， ABAC，A36， ABCACB72， BH 平分ABC， ABHA36， BHCACB72， BCBHDE，且AE36，ABHF36， 在HAB 和DEF 中， = = = ， HABDEF（AAS） ， EFAB； 2如图，等边ABC 中，BD 是边 AC 上的高，延长 BC 到点 E，使 CE
10、CD，求证：BDDE 【解答】证明：等边ABC 中，BD 是边 AC 上的高， ABDCBD30，ACB60， CECD， CDECED30， DBCCED， BDDE 3如图，在ABC 中，EF 是 AB 的垂直平分线，ADBC，D 为 CE 的中点 （1）求证：BEAC； （2）若B35，求BAC 的度数 【解答】 （1）证明：连接 AE， ADBC 于点 D，且 D 为线段 CE 的中点， AD 垂直平分 CE， ACAE， EF 垂直平分 AB， AEBE， BEAC； （2）解：AEBE，B35， BAEB35， ADBC， ADB90， BAD903555， EAD553520，
11、ACAE，ADBC， EADCAD20， BACBAE+EAD+CAD75 4 （2022 秋南京期中）证明：等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角” ） 已知：如图，在ABC 中， ABAC 求证： BC 证明： 【解答】解：如图，在ABC 中，ABAC， 求证：BC 证明：过点 A 作 ADBC，垂足为 D， ADBC， ADBADC90， 在 RtADB 和 RtADC 中，ADAD，ABAC， RtADBRtADC（HL） ， BC， 故答案为：ABAC；BC 5 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A（4，6） ，B（2，2） ，线段 AB 与线
12、段 A1B1关于直线 m（直线 m 上各点的横坐标都为 5）对称，线段 A1B1与线段 A2B2关于直线 n（直线n 上各点的横坐标都为 9）对称 （1）在图中分别画出线段 A1B1、A2B2； （2） 若点 P （a， b） 关于直线m 的对称点为 P1， 点P1关于直线 n的对称点为P2， 则点 P2的坐标是 （a+8，b） 【解答】解： （1）如图，线段 A1B1、A2B2即为所求； （2）点 P（a，b）关于直线 m 的对称点为 P1（10a，b） ， 点 P1关于直线 n 的对称点为 P2（a+8，b） ， 故答案为： （a+8，b） 6 （2022 秋栖霞区校级月考）如图，P 是在
13、ABC 内一点，若PBCPCB10，APC 是等边三角形求ABP 的度数 【解答】解：APC 是等边三角形， PACPCA60，APPC， PBCPCB10， PBPC， APPB， ABPPAB=12（180PBCPCBPACACP）20， ABP 的度数为 20 7 （2022 秋江宁区校级月考）我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 思考：上述定理的逆命题成立吗？若成立，请写出其逆命题，并证明；若不成立，试说明理由 （1）逆命题是： 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 ； （2）已知： 如图，在ABC 中，D 是 AB 中点，CD=12AB
14、； 求证： ACB90 证明： 【解答】解： （1）逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； （2）已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边的中线，且 CD=12AB， 求证：ACB90， 证明：CD 是 AB 边的中线， BDAD=12AB， CD=12AB， BDADCD， DCBB，DCAA， A+B+ACB180， A+B+DCB+DCA180， 2（DCB+DCA）180， DCB+DCA90， ACB90， 故答案为：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边的
15、中线，且 CD=12AB； ACB90 8 （2022 秋江宁区校级月考）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合” ，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明 已知：如图，在ABC 中，AD 平分BAC，D 为 BC 中点 求证：ABC 是等腰三角形 （用两种不同的方法证明） 方法一： 方法二： 【解答】证明：方法一：过点 D 作 DEAB 于 E，DFAC 于 F， AD 平分BAC，DEAB，DFAC， DEDF，DEBDFC90， D 是 BC 中点， BDCD， 在 RtBDE 和 RtCDF 中， =
16、= ， RtBDERtCDF（HL） ， BC， ABC 是等腰三角形； 方法二：延长 AD，使 DEAD，连接 BE， D 是 BC 中点， BDCD， 在ADC 和EDB 中， = = = ， ADCEDB（SAS） ， CADBED，ACEB， AD 平分BAC， BADCAD， BEDBAD， ABEB， ACEB， ABAC， ABC 是等腰三角形 9 （2022 秋玄武区校级月考）如图，在ABC 中，BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高，F 是 BC 的中点 （1）求证：DEF 是等腰三角形； （2）若A60，DE2，求 BC 的长 【解答】 （1）证明：连接 EF， BD、C
17、E 分别是 AC、AB 边上的高， BDCCEB90， BCD，BCE 为直角三角形， F 是 BC 的中点， EFDFBFCF=12BC， DEF 是等腰三角形； （2）解：EFDFBFCF=12BC， BEFABC，CDFACB， A60， ABC+ACB120， BFE+CFD3602（ABC+ACB）120， EFD60， DEF 是等边三角形， BC2DE4 10 （2022 秋玄武区期中）如图，ABC 为等边三角形，BDAC 交 AC 于点 D，DEBC 交 AB 于点 E （1）求证：ADE 是等边三角形 （2）求证：AE=12AB 【解答】证明： （1）ABC 为等边三角形，
18、AABCC60 DEBC， AEDABC60，ADEC60 ADE 是等边三角形 （2）ABC 为等边三角形， ABBCAC BD 平分ABC， AD=12AC ADE 是等边三角形， AEAD AE=12AB 11 （2022 秋秦淮区期中）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A、B、C 在小正方形的顶点上 （1）在图中画出与ABC 关于直线 l 成轴对称的ABC； （2）五边形 ABCBA的面积为 13 【解答】解： （1）如图所示，ABC 即为所求， （2）五边形 ABCBA的面积46212 1 2 2 12 3 3 =13， 故答案为：13 12 （2021 秋建
19、邺区期末）如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点 D、E 在 BC 上，ADAC，AEAB 求证：AED 为等边三角形 【解答】证明：ABAC，BAC120， BC=12（180BAC）30， ADAC，AEAB， EABDAC90， AEB90B60，ADC90C60， DAE180AEBADC60， ADEAEDDAE60， AED 为等边三角形 13 （2022 秋鼓楼区校级月考）同学们知道： “在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30 ”请应用该性质，解决下列问题： 学校有一块三角形的绿地，ABBC20m，A15，求绿地ABC 的面积？
20、【解答】解：过 C 点作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D， ABBC20m，A15， AACB15， DBCA+ACB30， CD=12BC10cm SABC=12ABCD=122010100（cm2） 答：绿地ABC 的面积为 100cm2 14 （2022 秋鼓楼区校级月考）如图，网格中每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 在小正方形的顶点上 （1）ABC 的面积是 92 （2）在网格纸中画出与ABC 关于直线 l 成轴对称的ABC； （3）再找一个格点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是轴对称图形，并画出对称轴 【解答】解： （1）ABC 的面积是 3412 3 3
21、12 1 4 12 2 1 =92 故答案为：92 （2）如图，ABC即为所求 （3）点 D 以及对称轴如图所示 15 （2022 秋鼓楼区校级月考）如图所示，在等边ABC 中，AB9cm，点 P 从点 C 出发沿 CB 边向点 B以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BA 边向点 A 以 5cm/s 的速度移动P，Q 两点同时出发，它们移动的时间为 1s （1）你能用含的式子表示 BP 和 BQ 的长度吗？请你表示出来 （2）请问几秒后，PBQ 第一次为等边三角形？ （3）若 P，Q 两点分别从 C，B 两点同时出发，并且按顺时针方向沿ABC 三边运动，请问经过几秒后点 P
22、与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？ 【解答】解： （1）ABC 为等边三角形， BCAB9cm， 点 P 的运动速度为 2cm/s，运动时间为 ts， BPBCCP（92t）cm， 点 Q 的运动速度为 5cm/s，运动时间为 ts， BQ5t（cm） ； （2）若PBQ 为等边三角形， 则有 BQBP，即 92t5t，解得 t=97， 97s 时，PBQ 第一次为等边三角形； （3）设 ts 时，Q 与 P 第一次相遇， 根据题意得 5t2t18，解得 t6， 即 6s 时，两点第一次相遇 当 t6s 时，P 走过的路程为 2612cm， 而 91218，即此时 P 在 AB 边上，
23、 经过 6 秒后点 P 与点 Q 在 AB 上第一次相遇 16 （2022 秋南京期中）已知图、图都是轴对称图形仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法） ： （1）在图中，作出该图形的对称轴 l； （2）在图中，作出点 P 的对称点 P 【解答】解： （1）如图： （2）如图 17 （2021 秋南京期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，4） ，B（4，4） ，C（2，1） （1）请在图中画出ABC； （2）将ABC 向左平移 5 个单位，再沿 x 轴翻折得到A1B1C1请在图中画出A1B1C1； （3） 若ABC 内有一点 P （a， b） ， 则点 P 经上述
24、平移、 翻折后得到的点 P1的坐标是 （a5， b） 【解答】 （1）如图，ABC 即为所求； （2）如图，A1B1C1即为所求； （3）点 P1的坐标（a5，b） 故答案为： （a5，b） 18 （2022 秋秦淮区校级月考）如图，在ABC 中，BDAC 于点 D，CEAB 于点 E，点 M，N 分别是BC，DE 的中点 （1）求证：MNDE； （2）若ECB+DBC45，DE10，求 MN 的长 【解答】解： （1）连接 EM、DM， BDAC，CEAB， BDCBEC90， 在 RtDBC 中和 RtEBC 中，M 是 BC 的中点， DM=12BC，EM=12BC， DMEM， N 是
25、 DE 的中点， MNED； （2）在 RtDBC 中，M 是 BC 的中点， DM=12BCBM， DBMBDM， 同理MECMCE， ECB+DBC45， EMB+DMC2（ECB+DBC）90， EMD90， N 是 DE 的中点，DE10， MN=12DE5 19 （2021 秋南京期末）如图，在ABC 中，AB、AC 的垂直平分线 l1、l2相交于点 O （1）求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上： （2）若 ABAC10，BC12，则 OA 254 【解答】 （1）证明：连接 OA， AB、AC 的垂直平分线 l1、l2相交于点 O， OAOB，OAOC， OBOC， 点 O 在
26、 BC 的垂直平分线上： （2）解：延长 AO 交 BC 于 D， ABAC10， A 点在 BC 的垂直平分线上， 点 O 在 BC 的垂直平分线上， AO 垂直平分 BC， BC12， BDCD6， AD= 2 2= 102 62= 8， OD8AO， 在 RtBDO 中，BO2BD2+OD2， OA262+（8AO）2， 解得 OA=254， 故答案为：254 20 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A（4，6） ，B（2，2） ，线段 AB与线段 A1B1关于直线 m（直线 m 上各点的横坐标为 5）对称，线段 A1B1与线段 A2B2关于直线 n（直线n 上各点的横坐标都为 9）对称 （1）在图中分别画出线段 A1B1、A2B2； （2） 若点 P （a， b） 关于直线m 的对称点为 P1， 点P1关于直线 n的对称点为P2， 则点 P2的坐标是 （a+8，b） 【解答】解： （1）如图，线段 A1B1、A2B2即为所求； （2）2（5a）+a10a， 点 P（a，b）关于直线 m 的对称点为 P1（10a，b） ， 2（910+a）+10aa+8， 点 P1关于直线 n 的对称点为 P2（a+8，b） 故答案为： （a+8，b）