1、专题专题 16 16 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1如图，中， = 90， = 40将 绕点 B 逆时针旋转得到 ，使点 C 的对应点恰好落在边 AB 上，则的度数是（ ） A15 B20 C25 D30 2如图，等边 中，点 E 是的中点，点 D 在上，且 = 2，则（ ） A B C D 3 （2022 九上 郧西月考）如图，在 中， = 90， = 30， = 3，线段绕点 B旋转到，连接，E 为的中点，连接，设的最大值为 m，最小值为 n，则 + =（ ） A3.6 B4.8 C5 D6 4 （2022 九上 建始期中）如图，在ABC 中， = 90， = 8cm， = 6cm
2、动点 P，Q 分别从点 A，B 同时开始移动，点 P 在 AB 上以 1cm/s 的速度向 B 点移动，点 Q 在 BC 上以 2cm/s 的速度向 C 点移动 当点 Q 移动到点 C 后停止， 点 P 也随之停止移动 下列时刻中， 能使 的面积为 15cm2的是（ ） A2s B3s C4s D5s 5 （2022 九上 江夏月考）如图， 在平面直角坐标系中， 已知 A （10， 0） ， 点 P 为线段 OA 上任意一点 在直线 y34x 上取点 E，使 POPE，延长 PE 到点 F，使 PAPF，分别取 OE、AF 中点 M、N，连接MN，则 MN 的最小值是（ ） A4.8 B5 C
3、5.4 D6 6 （2022 九上 江夏月考）如图所示，在菱形 ABCD 中，AB6，BAD120 ，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，CEF 的面积最大值是（ ） A43 B543 C33 D943 7 （2022 九上 利川月考）已知 3 是关于 x 的方程 x2（m1）x2m0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ） A7 B10 C11 D10 或 11 8（2022 九上 恩施月考）若 的三边分别为 a、 b、 c， 且
4、关于 x 的一元二次方程( + )2 2 + = 0有两个相等的实数根，| 10| + ( 10)2= 0，则 的形状为（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 9 （2022 九上 利川月考）已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于的方程2+ (2 1) + 2+ 3 = 0的根，则 m 等于（ ） A3 B5 C5或 3 D5或3 10 （2022 九上 猇亭开学考）如图，在中， = 3， = 4，为斜边上一动点， ， ，垂足分别为、则线段的最小值为() A45 B35 C52 D125 二、填空题二、填空题 11
5、（2022 襄阳）已知O 的直径 AB 长为 2，弦 AC 长为2，那么弦 AC 所对的圆周角的度数等于 12 （2022 襄阳）如图，在ABC 中，D 是 AC 的中点，ABC 的角平分线 AE 交 BD 于点 F，若 BF：FD3：1，AB+BE33，则ABC 的周长为 13 （2022 黄石）如图，等边 中， = 10，点 E 为高上的一动点，以为边作等边 ，连接，则 = ， + 的最小值为 14 （2022 仙桃）如图，点 P 是 上一点，是一条弦，点 C 是上一点，与点 D 关于对称，交 于点E， 与交于点F， 且 .给出下面四个结论： 平分； = ； 2= ； 为 的切线.其中所有
6、正确结论的序号是 . 15 （2022 鄂州）如图，在边长为 6 的等边ABC 中，D、E 分别为边 BC、AC 上的点，AD 与 BE 相交于点 P，若 BD=CE=2，则ABP 的周长为 . 16 （2022 黄冈模拟）如图，正方形中，点、从点出发，以1/的速度分别沿 和 的路径匀速运动， 同时到达点时停止运动.连接， 设的长为， 运动时间为， 则()与（秒）的函数图象如图所示.当 = 2.5秒时，的长是 . 17 （2022 荆州）如图，在 RtABC 中，ACB90 ，通过尺规作图得到的直线 MN 分别交 AB，AC于 D，E，连接 CD.若 =13 = 1 ，则 CD . 18 （2
7、022 黄冈）如图，已知/， = ，请你添加一个条件 ，使 . 19 （2022 孝感）勾股定理最早出现在商高的周髀算经 ：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为 1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为 2 的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；，若此类勾股数的勾为 2m（m3，m 为正整数） ，则其弦是 （结果用含 m 的式子表示）. 20（2021 鄂州）如图， 四边形 中， = ， = 90 ， 于点 D.若 = 2 ， = 42 ，则线段 的长为 . 三、综合题三、综合题 21 （2
8、022 黄石）如图，在 和 中， = ， = ， = = 90，且点 D 在线段上，连 （1）求证： ； （2）若 = 60，求的度数 22 （2022 襄阳）如图，在ABC 中，ABAC，BD 是ABC 的角平分线 （1）作ACB 的角平分线，交 AB 于点 E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ； （2）求证：ADAE 23（2022 黄石）如图是 直径， A是 上异于C， D的一点， 点B是延长线上一点， 连接、 、，且 = （1）求证：直线是 的切线； （2）若 = 2，求tan的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交 于 P，交于 E，连接、，若 = 26，求 的值 24 （2
9、022 仙桃）已知是 的角平分线， 点 E， F 分别在边， 上， = ， = ， 与 的面积之和为 S. （1）填空：当 = 90， ， 时， 如图 1，若 = 45， = 52，则 = ， = ； 如图 2，若 = 60， = 43，则 = ， = ； （2）如图 3，当 = = 90时，探究 S 与 m、n 的数量关系，并说明理由： （3）如图 4，当 = 60， = 120， = 6， = 4时，请直接写出 S 的大小. 25 （2022 恩施）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知ACB=90 ，A（0，2） ，C（6，2）.D为等腰直角三角形 ABC 的边 BC 上一点，且
10、 SABC=3SADC.反比例函数 y1=（k0）的图象经过点 D. （1）求反比例函数的解析式； （2）若 AB 所在直线解析式为2= + ( 0)，当1 2时，求 x 的取值范围. 26 （2022 鄂州）如图 1，在平面直角坐标系中，RtOAB 的直角边 OA 在 y 轴的正半轴上，且 OA=6，斜边 OB=10，点 P 为线段 AB 上一动点. （1）请直接写出点 B 的坐标； （2）若动点 P 满足POB=45 ，求此时点 P 的坐标； （3）如图 2，若点 E 为线段 OB 的中点，连接 PE，以 PE 为折痕，在平面内将APE 折叠，点 A 的对应点为 A，当 PAOB 时，求此
11、时点 P 的坐标； （4）如图 3，若 F 为线段 AO 上一点，且 AF=2，连接 FP，将线段 FP 绕点 F 顺时针方向旋转 60得线段 FG，连接 OG，当 OG 取最小值时，请直接写出 OG 的最小值和此时线段 FP 扫过的面积. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解： = 90， = 40， = 90 = 90 40 = 50 将 绕点 B 逆时针旋转得到 ，使点 C 的对应点恰好落在边 AB 上， = = 40， = ， = =12(180 40) = 70， = 90 70 = 20 故答案为：B. 【分析】根据余角的性质可得CAB=90 -ABC=50
12、 ，由旋转的性质可得ABA=ABC=40 ，AB=AB，结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得BAA的度数，然后根据AAC=90-BAA进行计算. 2 【答案】B 【解析】【解答】解： 是等边三角形， = ， = = 60， 点 E 是的中点， = = 2， = 2， =12， = = 60， 故答案为：B. 【分析】根据等边三角形的性质可得 BC=AB，A=C=60 ，根据中点的概念可得 BC=AB=2AE，结合 DC=2DA 可得=12，然后根据相似三角形的判定定理进行解答. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：由旋转的性质可得出 = = 3 如图，取的中点 F，连接、 = 30， = 3
13、， = 2 = 6， = = = = 3， = 60， 是等边三角形 E、F 分别是、的中点， =12 =32 如图，当在上方时， 此时，如果 C、E、F 三点共线，则有最大值，最大值为 + = 3 +32= 4.5，即 = 4.5； 如图，当在下方时， 此时，如果 C、E、F 三点共线时，有最小值，最小值为 = 3 32= 1.5，即 = 1.5， + = 6 故答案为：D. 【分析】由旋转的性质可得 BD=BC=3，取 AB 的中点 F，连接 EF、CF，根据含 30 角的直角三角形的性质可得 AB=2BC=6， 则 BF=FA=BC=CF=3， ABC=60 ， 推出BCF 是等边三角形
14、， 易得 EF 为ABD的中位线， 则 EF=12BD， 当 AD 在 AB 上方时， 易得 C、 E、 F 三点共线， CE 有最大值， 最大值为 CF+EF，据此可得 m 的值；当 AD 在 AB 下方时，易得 C、E、F 三点共线时，CE 有最小值，最小值为 CF-EF，据此可得 n 的值，进而可求出 m+n 的值. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：设运动时间为 t 秒，则 = (8 )cm， = 2cm， 依题意，得 12 2 (8 ) = 15， 解得1= 3，2= 5， 2 6， 3， = 3 故答案为：B. 【分析】设运动时间为 t 秒，则 PB=(8-t)cm，BQ=2tc
15、m，根据三角形的面积公式可得关于 t 的方程，求出 t 的值，然后根据 BQBC=6 可得 t 的范围，接下来对求出的 t 的值进行取舍. 5 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接 PM，PN，设 AF 交 EM 于 J，连接 PJ POPE，OMME， PMOE，OPMEPM， PFPA，NFNA， PNAF，APNFPN， MPNEPM+FPN12（OPF+FPA）90 ，PMJPNJ90 ， 四边形 PMJN 是矩形， MNPJ， 当 JPOA 时，PJ 的值最小此时 MN 的值最小， AFOM，A（10，0） ，直线 OM 的解析式为 y34x， 直线 AF 的解析式为 y43x
16、+403， 由 =34 =43 +403，解得 =325 =245 J（325，245） ， PJ 的最小值为245，即 MN 的最小值为245. 故答案为：A. 【分析】连接 PM、PN，设 AF 交 EM 于 J，连接 PJ，根据等腰三角形的性质可得 PMOE，OPMEPM，PNAF，APNFPN，则MPN90 ，PMJPNJ90 ，推出四边形 PMJN 是矩形，得到 MNPJ，求出直线 OM、AF 的解析式，联立求出 x、y，可得点 J 的坐标，进而可得 MN的最小值. 6 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接 AC， 四边形 ABCD 为菱形，AEF 为正三角形， 1+EAC12
17、BAD60 ，3+EAC60 ， 13， BAD120 ， ABCD60 ， 又ABCBADCD， ABC 和ACD 为等边三角形， 460 ，ACAB， 在ABE 和ACF 中， 1 = 3 = = 4， ABEACF（ASA） ， SABESACF， S四边形AECFSAEC+SACFSAEC+SABESABC是定值， 作 AHBC 于 H 点，则 BH12AB3，AH32AB33， S四边形AECFSABC12BCAH12 6 3393， 由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时，边 AE 最短， AEF 的面积会随着 AE 的变化而变化，且当 AE 最短时
18、，正三角形 AEF 的面积会最小， 又SCEFS四边形AECFSAEF，则此时CEF 的面积就会最大， SCEFS四边形AECFSAEF9312 3332 33934 故答案为：D. 【分析】 连接 AC， 根据菱形、 等边三角形的性质可得1+EAC12BAD60 ， 3+EAC60 ，则13，易得ABC 和ACD 为等边三角形，得到460 ，ACAB，证明ABEACF，则SABESACF，推出 S四边形AECFSABC，作 AHBC 于 H 点，则 BH3，AH33，根据三角形的面积公式可得 S四边形AECFSABC93， 易知当 AE 最短时， 正三角形 AEF 的面积会最小， 然后根据
19、SCEFS四边形AECF-SAEF进行计算. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：把 x=3 代入方程得 9-3（m+1）+2m=0， 解得 m=6， 则原方程为 x2-7x+12=0， 解得 x1=3，x2=4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC 的两条边长， 当ABC 的腰为 4，底边为 3 时，则ABC 的周长为 4+4+3=11； 当ABC 的腰为 3，底边为 4 时，则ABC 的周长为 3+3+4=10 综上所述，该ABC 的周长为 10 或 11 故答案为：D 【分析】将 x=3 代入方程，可得到关于 m 的方程，解方程求出 m 的值；再将 m 的值代入方程，可求出方程的解；然
20、后利用三角形三边关系定理，可知这个等腰三角形的腰长可以为 3，也可以为 4；然后求出ABC 的周长. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：一元二次方程( + )2 2 + = 0有两个相等的实数根， = (2)2 4( + )( ) = 0， 即2+ 2= 2， ABC 为直角三角形， 又| 10| + ( 10)2= 0， a=10，b=10， ABC 为等腰直角三角形， 故答案为：D 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得=0 据此建立方程并结合勾股定理得逆定理得直角三角形（勾股定理的逆定理：若三角形的三条边满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形） ；由绝对值及偶数次幂
21、的非负性，得 a=10，b=10（非负数之和等于 0，则这两个非负数分别等于 0） ，从而可得ABC 为等腰直角三角形. 9 【答案】A 【解析】【解答】解： 由直角三角形的三边关系可得：2+ 2= 25， 又有根与系数的关系可得： + = 2 + 1， = 2+ 3， 2+ 2= ( + )2 2 = (2 + 1)2 2(2+ 3) = 25， 整理得：22 15 = 0， 解得：m=3 或 5. 又 0， (2 1)2 4(2+ 3) 0， 解得 2时，0 x4 或 x-6. 【解析】【分析】 （1）根据点 A、C 的坐标可得 AC=6，根据等腰直角三角形的性质可得 AC=BC=6，由已
22、知条件可知 SABC=3SADC，则 BC=3DC，DC=2，据此可得点 D 的坐标，然后代入 y1=中求出 k 的值，进而可得反比例函数的解析式； （2）根据 BC 的值结合点 C 的坐标可得点 B 的坐标，利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，联立反比例函数解析式求出 x、y，可得交点坐标，然后结合图象，找出反比例函数图象在直线 AB 上方部分所对应的 x 的范围即可. 26 【答案】（1）解： （8，6） （2）解：连接 OP，过点 P 作 PQOB 于点 Q，如图， POB=45 ， OPQ=45 ， POB=OPQ， PQ=OQ， 设 PQ=OQ=x，则 BQ=10-x， 在 Rt
23、OAB 中，tan =68=34， 在 RtBPQ 中，tan =10=34， 解得 =307， = =307， 在 RtPOQ 中， = 2+ 2=3027， 在 RtAOP 中， = 2 2=67， 点 P 的坐标为（67，6） （3）解：令 PA交 OB 于点 D，如图， 点 E 为线段 OB 的中点， =12 = 5， =12 = 5， tan =68=34， 设 = 3，则 = 4， = 2+ 2= 5， = = 5 4 = = 8 5， 由折叠的性质，可得 = = 5， = = 8 5， = = 8 8， 在 Rt中，2+ 2= 2，即(8 8)2+ (5 4)2= 52， 解得1
24、=12，2=85， ，即4 5， 54， =12， = 8 5 12=112， 点 P 的坐标为（112，6） （4）解：OG 的最小值为 4，线段 FP 扫过的面积为83 【解析】【解答】解： （1）在 RtOAB 中， = 2 2= 102 62= 8， 点 B 的坐标为（8，6） ； （4）以点 F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与 AB 的交点即为点 P，再将线段 FP 绕点 F 顺时针方向旋转 60 得线段 FG，连接 OG，此时 OG 最小，如图， 由题可知， = = = = 6 2 = 4， 在 中，cos =24=12， = 60， = 60， = 60， 是等边三角形， =
25、= 4， OG 的最小值为 4， 线段 FP 扫过的面积=6042360=83. 【分析】 （1）根据勾股定理求出 AB 的值，进而可得点 B 的坐标； （2）连接 OP，过点 P 作 PQOB 于点 Q，易得 PQ=OQ，设 PQ=OQ=x，则 BQ=10-x，在 RtOAB、RtBPQ 中，利用三角函数的概念可得 x，根据勾股定理求出 OP、AP，据此可得点 P 的坐标； （3） 令 PA交 OB 于点 D， 根据中点以及直角三角形斜边上中线的性质可得 AE=12OB=5， BE=12OB=5，求出 tanB 的值，设 PD=3a，则 BD=4a，BP=5a，DE=5-4a，AP=8-5a，由折叠的性质可得 AE=AE=5，AP=AP=8-5a，则 AD=8-8a，利用勾股定理可得 a 的值，根据 BDBE 可得 a 的范围，据此可确定出 a的值，然后求出 AP，据此可得点 P 的坐标； （4）以点 F 为圆心，OF 的长为半径画圆，与 AB 的交点即为点 P，再将线段 FP 绕点 F 顺时针方向旋转 60 得线段 FG，连接 OG，此时 OG 最小，由题可知 FP=FG=FO=OA-AF=4，求出 cosAFP 的值，可得AFP=60 ，推出 OFG 是等边三角形，则 OG=FO=4，接下来根据扇形的面积公式进行计算