1、 专题专题 18 18 圆圆 一、单选题一、单选题 1我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率设圆的半径为 R，图 1 中圆内接正六边形的周长6= 6，则 62= 3再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ） A12sin15 B12cos15 C12sin30 D12cos30 2一个扇形的弧长是10，其圆心角是
2、150 ，此扇形的面积为（ ） A302 B602 C1202 D1802 3 （2022 鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为 90 ，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的 A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求.图（2）是过球心及 A、B、E 三点的截面示意图，已知O 的直径就是铁球的直径， AB是O的弦， CD切O于点E， ACCD、 BDCD， 若CD=16cm， AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ） A10cm B15cm C20cm D24cm 4 （2022 十堰）如图， 是等边 的
3、外接圆，点 是弧 上一动点（不与 ， 重合） ，下列结论： = ； = ；当 最长时， = 2 ； + = ，其中一定正确的结论有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5 （2022 荆州）如图，以边长为 2 的等边ABC 顶点 A 为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与 BC 边相切，分别交 AB，AC 于 D，E，则图中阴影部分的面积是（ ） A3 4 B23 C(6)33 D32 6 （2022 黄冈）如图，在 中， = 90， = 30， = 8，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ） A B43 C53 D2 7 （2022 宜昌）如图，四边形 内接于 ，连接 ，
4、， ，若 = 110 ，则 = （ ） A15 B20 C25 D30 8 （2022 孝感）如图，在 RtABC 中，C90 ，B30 ，AB8，以点 C 为圆心，CA 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，则弧 AD 的长为（ ） A B43 C53 D2 9（2022 武汉）如图， 在四边形材料中， ， = 90， = 9， = 20， = 24.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ） A11013 B8cm C62 D10cm 10 （2022 九下 鄂州月考）如图，圆 O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 长为 6，ACB 的平分线交圆 O于 D，则 CD 长为
5、 （ ） A7 B72 C8 D82 二、填空题二、填空题 11 （2022 襄阳）已知O 的直径 AB 长为 2，弦 AC 长为2，那么弦 AC 所对的圆周角的度数等于 12 （2022 恩施）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=4，BC=3，O 为 RtABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留 ） . 13 （2022 仙桃）如图，点 P 是 上一点，是一条弦，点 C 是上一点，与点 D 关于对称，交 于点E， 与交于点F， 且 .给出下面四个结论： 平分； = ； 2= ； 为 的切线.其中所有正确结论的序号是 . 14（2022 十堰）如图， 扇形 中， = 90 ，
6、 = 2 ， 点 为 上一点， 将扇形 沿 折叠，使点 的对应点 落在射线 上，则图中阴影部分的面积为 . 15 （2022 荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高 AB20cm，底面直径 BC12cm，球的最高点到瓶底面的距离为 32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）. 16（2022 宜昌）如图， 点 ， ， 都在方格纸的格点上， 绕点 顺时针方向旋转 90 后得到 ，则点 运动的路径 的长为 . 17 （2022 随州）如图，点 A，B，C 都在O 上，ACB=60 ，则AOB 的度数为 . 18 （2022 九下 鄂州月考）如图，在 RtABC 中，ABC=90
7、 .AB=BC.点 D 是线段 AB 上的一点，连结CD.过点 B 作 BGCD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G，连结DF，给出以下四个结论：=；若点 D 是 AB 的中点，则 AF23AB；当 B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；若=12，则 SABC9SBDF，其中正确的结论序号是 . 19 （2022 九下 江岸月考）圆外一点到圆上点的最大距离是 10cm，到圆上点的最小距离是 2cm，则该圆的半径是 cm. 20 （2022 九下 黄石开学考）如图， 、 、 、 为一个外角为 40 的正多边形的顶点.若 为 正多边形的中心，则
8、 = . 三、综合题三、综合题 21 （2022 襄阳）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆 O 上，点 D 为的中点，连接 AC，BC，AD，AD 与 BC 相交于点 G，过点 D 作直线 DEBC，交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若= ，CG23，求阴影部分的面积 22（2022 仙桃）如图， 正方形内接于 ， 点 E 为的中点， 连接交于点 F， 延长交 于点 G，连接. （1）求证：2= ； （2）若 = 6.求和的长. 23 （2022 鄂州）如图，ABC 内接于O，P 是O 的直径 AB 延长线上一点，PCB=OAC，过点O 作 BC
9、的平行线交 PC 的延长线于点 D. （1）试判断 PC 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若 PC4，tanA12，求OCD 的面积. 24 （2022 荆州）如图 1，在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，点 O 是边 AB 上一个动点（不与点 A 重合） ，连接 OD，将OAD 沿 OD 折叠，得到OED；再以 O 为圆心，OA 的长为半径作半圆，交射线AB 于 G，连接 AE 并延长交射线 BC 于 F，连接 EG，设 OAx. （1）求证：DE 是半圆 O 的切线； （2）当点 E 落在 BD 上时，求 x 的值； （3）当点 E 落在 BD 下方时，设AGE 与AFB 面积的比
10、值为 y，确定 y 与 x 之间的函数关系式； （4）直接写出：当半圆 O 与BCD 的边有两个交点时，x 的取值范围. 25 （2022 宜昌）已知，在 中， = 90 ， = 6 ，以 为直径的 与 交于点 ，将 沿射线 平移得到 ，连接 . （1）如图 1， 与 相切于点 . 求证： = ； 求 的值； （2）如图 2，延长 与 交于点 ，将 沿 折叠，点 的对称点 恰好落在射线 上. 求证： ； 若 = 3 ，求 的长. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：如图： 十二边形1212是正十二边形， 67=36012= 30， 67于 H，又6= 7， 6 = 1
11、5， 圆内接正十二边形的周长12= 12 2sin15 = 24sin15， 122= 12sin15 故答案为：A 【分析】利用正十二边形的性质得中心角的度数为 30 ，利用等腰三角形的性质可求出A6OH=15 ，A6A7=2A6H，利用正弦函数的定义求出 A6H，进而即可求出正十二边形的周长，然后求出圆周率. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：该扇形的半径为： =101503602= 12， 扇形的面积为： =150360 122 = 60. 故答案为：B. 【分析】根据弧长公式 l=180结合题意可得扇形的半径，然后根据扇形的面积公式 S=2360进行计算. 3 【答案】C 【解析】【
12、解答】解：如图所示，连接 OA，OE，设 OE 与 AB 交于点 P， = ， ， ， 四边形 ABDC 是矩形， CD 与 切于点 E，OE 为 的半径， ， ， = ， = ， AB=CD=16cm， = 8， = = = 4， 在 ，由勾股定理得， 2+ 2= 2 82+ ( 4)2= 2 解得， = 10， 则这种铁球的直径2 = 2 10 = 20. 故答案为：C. 【分析】连接 OA，OE，设 OE 与 AB 交于点 P，易得四边形 ABDC 是矩形，根据切线的性质可得 OECD，OEAB，根据垂径定理可得 PA=PB，PE=AC，易得 PA=8cm，AC=4cm，根据勾股定理可得
13、OA，进而可得这种铁球的直径. 4 【答案】C 【解析】【解答】解：ABC 是等边三角形， AB=BC，ABC=60 ， = ， ADB=BDC，故正确； 点 D 是 上一动点， 不一定等于 ， DA=DC 不一定成立，故错误； 当 DB 最长时，DB 为圆 O 的直径， BCD=90 ， 是等边ABC 的外接圆，ABC=60 ， BDAC， ABD=CBD=30 ， = 2 ，故正确； 如图，延长 DA 至点 E，使 AE=DC， 四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形， BCD+BAD=180 ， BAE+BAD=180 ， BAE=BCD， AB=BC，AE=CD， ABECBD， B
14、D=AE，ABE=DBC， ABE+ABD=DBC+ABD=ABC=60 ， BDE 是等边三角形， DE=BD， DE=AD+AE=AD+CD， + = ，故正确； 正确的有 3 个. 故答案为：C. 【分析】由ABC 是等边三角形及等弧所对的圆周角相等，可得ADB=BDC=60 ，故正确；由点 D 是 上一动点，故错误；当 DB 最长时，DB 为圆 O 的直径，结合 是等边ABC 的外接圆，可得 BDAC，从而求出ABD=CBD=30 ，根据直角三角形的性质可求出 DB=2CD，故 正确；如图，延长 DA 至点 E，使 AE=DC，证明ABECBD，可得 BD=AE，ABE=DBC，从而证
15、得BDE 是等边三角形，可得 DE=BD，从而得出 BD=DE=AD+AE=AD+CD，故正确. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：过点 A 作 AFBC，交 BC 于点 F. ABC 是等边三角形，BC=2， CF=BF=1. 在 RtACF 中， = 2 2= 3 . 阴影= 扇形=12 2 3 60（3）2360=3 2 . 故答案为：D. 【分析】过点 A 作 AFBC，交 BC 于点 F，由等边三角形的性质可得 CF=BF=1，利用勾股定理求出AF=3，根据阴影= 扇形即可求解. 6 【答案】B 【解析】【解答】解：连接 CD，如图所示： = 90， = 30， = 8， = 90
16、 30 = 60， =12 = 4， 由题意得： = ， 为等边三角形， = 60， 的长为：604180=43. 故答案为：B. 【分析】连接 CD，根据直角三角形两锐角互余可得A=60 ，根据含 30 角的直角三角形的性质可得 AC=12AB=4，由题意可得 AC=CD，推出ACD 为等边三角形，得到ACD=60 ，然后结合弧长公式进行计算. 7 【答案】B 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 内接于 ， = 180 = 70 ， 由圆周角定理得， = 2 = 140 ， = = =1802= 20 故答案为：B. 【分析】根据圆内接四边形的性质可得A+BCD=180 ，结合BCD 的度
17、数可得A 的度数，由圆周角定理可得BOD=2A，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：连接 CD，如图所示： ACB=90 ，B=30 ，AB=8， A=90 -30 =60 ，AC=12AB=4， 由题意得：AC=CD， ACD 为等边三角形， ACD=60 ， 的长为：60418043. 故答案为：B. 【分析】 连接 CD， 根据余角的性质可得A=60 ， 根据含 30 角的直角三角形的性质可得 AC=12AB=4，由题意得 AC=CD，推出ACD 为等边三角形，则ACD=60 ，接下来根据弧长公式计算即可. 9 【答案】B 【解析】【解答
18、】解：当 AB、BC、CD 相切于O 于点 E、F、G 时，O 的面积最大，连接 OA、OB、OC、OD、OD、OE、OF，OG，过点 D 作 DHBC 于点 H. ADBC，BAD=90 ， ABC=90 . DHB=90 ， 四边形 ABHD 为矩形， AB=DH=20cm，AD=BH=9cm. BC=14cm， CH=BC-BH=15cm， CD=2+ 2=202+ 152=25cm. 设 OE=OF=OG=xcm， 则有12 (9+24) 20=12 20r+12 24r+12 25r+12 9 (20-r)， r=8cm. 故答案为：B. 【分析】当 AB、BC、CD 相切于O 于点
19、 E、F、G 时，O 的面积最大，连接 OA、OB、OC、OD、OD、 OE、 OF， OG， 过点 D 作 DHBC 于点 H， 则四边形 ABHD 为矩形， AB=DH=20cm， AD=BH=9cm，由 CH=BC-BH 可得 CH，利用勾股定理求出 CD，设 OE=OF=OG=xcm，然后根据梯形、三角形的面积公式结合面积间的和差关系进行计算即可. 10 【答案】B 【解析】【解答】解： 为 的直径， = 90， 在中， = 10， = 6， = 2 2= 102 62= 8， 的平分线交 于 D， = ， = ， 为等腰直角三角形， =22 = 52， 作 于 H， = 45， 为等
20、腰直角三角形， = =22 = 42， 在中， = 2 2= 32， = + = 42 + 32 = 72. 故答案为：B. 【分析】根据圆周角定理可得ACB=90 ，由勾股定理可得 BC，根据角平分线的概念可得ACD=BCD，推出ABD 为等腰直角三角形，求出 BD 的值，作 BHCD 于 H，易得BCH 为等腰直角三角形，求出 BH，利用勾股定理可得 DH，然后根据 CD=CH+DH 进行计算. 11 【答案】45 或 135 【解析】【解答】解：如图 连接 BC， O 的直径 AB ACB=90 根据勾股定理得 = 2 2 = 2 ABC 为等腰直角三角形 ABC=45 =135 弦 A
21、C 所对的圆周角的度数等于 45 或者 135 故答案为：45 或者 135 . 【分析】利用直径所对圆周角是直角，可证得ACB=90 ，利用勾股定理求出 BC 的长，可推出ABC是等腰直角三角形，再利用圆内接四边形的对角互补，可求出弦 AC 所对的圆周角的度数. 12 【答案】112-34 【解析】【解答】解：设切点分别为 D、E、F，连接 OD、OE、OF， O 为 RtABC 的内切圆， AE=AF、BD=BF、CD=CE，ODBC，OEAC， C=90 ， 四边形 CDOE 为正方形， EOF+FOD=360 -90 =270 ， 设O 的半径为 x，则 CD=CE=x，AE=AF=4
22、-x，BD=BF=3-x， 4-x+3-x=5， 解得 x=1， S阴影=SABC-（ S扇形EOF+ S扇形DOF）- S正方形CDOE =12 3 4-2701236012 1 1 =112-34. 故答案为：112-34. 【分析】设切点分别为 D、E、F，连接 OD、OE、OF，根据题意可得 AE=AF、BD=BF、CD=CE，ODBC，OEAC，推出四边形 CDOE 为正方形，得到EOF+FOD=270 ，设O 的半径为 x，则CD=CE=x， AE=AF=4-x， BD=BF=3-x， 根据 AF+BF=AB=5 可得 x 的值， 然后根据 S阴影=SABC-( S扇形EOF+ S
23、扇形DOF)- S正方形CDOE进行计算. 13 【答案】 【解析】【解答】解：点 C 是上一点，与点 D 关于 AB 对称， AB 为 CD 的垂直平分线， BD=BC，AD=AC， BDC=BCD， ， ECD=CDB， ECD=BCD， CD 平分BCE，故正确； 在ADB 和ACB 中， AD=AC，BD=BC，AB=AB， ADBACB（SSS） ， EAB=CAB， = ， BE=BC=BD，故正确； ACAE， ， AEFABE， AEF 与ABE 不相似，故错误； 连结 OB， = ，CE 为弦， OBCE， ， OBBD， BD 为 的切线.故正确， 其中所有正确结论的序号是
24、. 故答案为：. 【分析】由题意可得：AB 为 CD 的垂直平分线，则 BD=BC，AD=AC，根据等腰三角形的性质可得BDC=BCD，由平行线的性质可得ECD=CDB，得到ECD=BCD，据此判断；证明ADBACB，得到EAB=CAB，则= ，根据弧、弦的关系可得 BE=BC=BD，据此判断；根据 ACAE 可得，则AEFABE，结合相似三角形的判定定理可判断；连结 OB，易得 OBBD，据此判断. 14 【答案】2+44 2 【解析】【解答】解：连接 AB， 在 RtAOB 中，由勾股定理，得 AB= 2+ 2=22+ 22= 22 ， 由折叠可得： = = 22 ， = ， = 22 2
25、 ， 设 OC=x，则 = =2-x， 在 RtCOB中，由勾股定理，得 (22 2)2+ 2= (2 )2 ， 解得：x= 22 2 ， S阴影=S扇形-2SAOC = 9022180 2 12 = 9022180 2 12 2 (22 2) =2+44 2 ， 故答案为：2+44 2 . 【分析】连接 AB，由勾股定理求出 AB=22，由折叠可得= = 22 ， = ，即可得出= 22 2 ，设 OC=x，则 = =2-x，在 RtCOB 中，由勾股定理建立关于 x 方程，求解即得 OC，根据 S阴影=S扇形-2SAOC 即可求解. 15 【答案】7.5 【解析】【解答】解：如下图所示，设
26、球的半径为 rcm， 则 OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm， EG 过圆心，且垂直于 AD， G 为 AD 的中点， 则 AG=0.5AD=0.5 12=6cm， 在 RtOAG 中，由勾股定理可得， 2= 2+ 2 ， 即 2= (12 )2+ 62 ， 解方程得 r=7.5， 则球的半径为 7.5cm. 故答案为：7.5. 【分析】设球的半径为 rcm，可得 OG=（12-r）cm，由垂径定理可得 AG=0.5AD=6cm，在 中，由勾股定理可得2= 2+ 2 ，据此建立关于 r 的方程，解之即可. 16 【答案】52 【解析】【解答】解：由
27、题意得，AC=4，BC=3， = 2+ 2= 42+ 32= 5 ， ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90 后得到ABC ， = 90 ， 的长为： =905180=52 . 故答案为： 52 . 【分析】由题意得：AC=4，BC=3，利用勾股定理可得 AB，根据旋转的性质可得BAB=90，然后结合弧长公式进行计算. 17 【答案】120 【解析】【解答】解：点 A、B、C 都在O 上，且点 C 在弦 AB 所对的优弧上，ACB=60 ， AOB=2ACB=2 60 =120 . 故答案为 120 . 【分析】利用一条弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，可得到AOB=2ACB，代入计算求出A
28、OB的度数. 18 【答案】 【解析】【解答】解：依题意可得 BCAG， AFGCFB， =， 又 AB=BC， =.故结论正确； 如图， 1+3=90 ，1+4=90 ， 3=4. 在ABG 与BCD 中， 3 = 4 = = = 90， ABGBCD（ASA） ， AG=BD， 又BD=AD， AG=AD； ABC 为等腰直角三角形， AC=2AB； AG=AD=12AB=12BC； AFGBFC， =， FC=2AF， AF=13AC=23AB.故结论正确； 当 B、C、F、D 四点在同一个圆上时， 由圆内接四边形的性质可得CFD=ABC=90 CD 是 B、C、F、D 四点所在圆的直径
29、， BGCD， = ， DF=DB，故正确； =，AG=BD，=12， =13， SBDF=13SABF，=13， AF=14AC， SABF=14SABC； SBDF=112SABC，即 SABC=12SBDF.故结论错误. 正确的结论有； 故答案为：. 【分析】 依题意可得 BCAG， 则AFGCFB， 然后根据 AB=BC 结合相似三角形的性质可判断；根据同角的余角相等可得3=4，证明ABGBCD，得到 AG=BD，结合 BD=AD 可得 AG=AD，根据等腰直角三角形的性质可得 AC=2AB，则 AG=AD=12AB=12BC，结合相似三角形的性质可得FC=2AF，据此判断；当 B、C
30、、F、D 四点在同一个圆上时，由圆内接四边形的性质可得CFD=ABC=90 ，推出= ，进而判断；易得 SBDF=13SABF，SABF=14SABC，进而判断. 19 【答案】4 【解析】【解答】解：根据题意得，圆的半径为 1022= 4 ， 故答案为：4. 【分析】圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远的点，最小距离就是圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最近的点，由此可知最大距离与最小距离的差就是圆的直径，然后求出圆的半径. 20 【答案】30 【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为 360 ， 据此可得多边形的边数为： 36040= 9 ， AOD=3
31、 3609 =120 ， OA=OD， OAD=ODA= 1801202 =30 . 故答案为：30 . 【分析】利用外角和除以外角的度数可得多边形的边数，进而求出AOD 的度数，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理求解即可. 21 【答案】（1）证明：连接 OD，如图所示， 点 D 为的中点， ODBC DEBC， ODDE DE 是O 的切线 （2）解：连接 BD，如图所示， = BD=AC 点 D 为的中点， = ， = = ， CAD=BAD=30 AB 是半圆 O 的直径， ACB=ADB=90 ， 在 RtACG 中，tan =，sin =， =tan30， =sin30， =
32、 23， = 23 3 = 6， = 43， BD=CA=6， =12 = 63， 在 RtABD 中，tan =， =tan30=633= 63. DEBC， CAGEAD， = ()2， 即63=49， =2732. 阴影部分= =1532 【解析】【分析】 （1）连接 OD，利用垂径定理可证得 ODBC，由 DEBC，可证得 ODDE，利用切线的判定定理可证得结论； （2）连接 BD，利用圆心角，弧，弦之间的关系定理可证得 BD=AC，易得 = = ，即可求出CAD=BAD=30 ， 利用圆周角定理可证得ACB=ADB=90 ； 再利用解直角三角形可求出 CA，AG 的长，利用三角形的面
33、积公式求出ACG 的面积；在 RtABD 中，利用解直角三角形求出 AD 的长；由 DEBC，可证得CAGEAD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EAD的面积；然后利用阴影部分的面积=EAD 的面积-ACG 的面积，代入计算可求解. 22 【答案】（1）证明：正方形内接于 ， AD=BC， = ， ABD=CGB， 又EFB=BFG， BFEGFB， =， 即2= ； （2）解：点 E 为 AB 中点， AE=BE=3， 四边形 ABCD 为正方形， CD=AB=AD=6，BD=2+ 2=62+ 62= 62，CE=2+ 2= 35， CDBE， CDFEBF， =63= 2，
34、DF=2BF，CF=2EF， 3BF=BD=62，3EF=35， BF=22，EF=5， 由（1）得 FG=2=85=855. 【解析】【分析】（1） 根据题意可得 AD=BC， 则= ， 由圆周角定理可得ABD=CGB， 证明BFEGFB，然后根据相似三角形的性质进行证明； （2） 根据中点的概念可得 AE=BE=3， 根据正方形的性质可得 CD=AB=AD=6， 利用勾股定理可得 BD、CE，证明CDFEBF，根据相似三角形的性质可得 DF=2BF，CF=2EF，据此可求出 BF、EF，然后结合（1）的结论就可求出 FG. 23 【答案】（1）解：PC 与O 相切，理由如下： AB 是圆
35、O 的直径， ACB=90 ， OCB+OCA=90 ， OA=OC， OCA=OAC， PCB=OAC， PCB=OCA， PCB+OCB=OCA+OCB=90 ，即PCO=90 ， PC 与O 相切 （2）解：ACB=90 ，tan =12， =12， PCB=OAC，P=P， PBCPCA， =12， = 8， = 2， AB=6， = = 3， = 5， ， PBCPOD， =，即25=4， = 10， CD=6， =12 = 9 【解析】【分析】 （1）由圆周角定理得ACB=90 ，根据等腰三角形的性质可得OCA=OAC，结合PCB=OAC 得 PCB=OCA，结合OCB+OCA=9
36、0 可得PCO=90 ，据此证明； （2）根据三角函数的概念可得=12，易证PBCPCA，根据相似三角形的性质可得 PA、PB，然后求出 AB、OP，证明PBCPOD，根据相似三角形的性质可得 PD，由 PD-PC=CD 可得 CD，然后根据三角形的面积公式进行计算. 24 【答案】（1）证明：在矩形 ABCD 中， = 90 ， OED 是OAD 沿 OD 折叠得到的， = = 90 ，即 ， DE 是半圆 O 的切线 （2）解： OED 是OAD 沿 OD 折叠得到的， = = 3， = = ， = = 4 ， 在 中， = 2+ 2= 32+ 42= 5 ， = = 5 3 = 2 ，
37、在 中， 2+ 2= 2 ， 2+ 22= (4 )2 ，解得 =32 ， 答：x 的值为 32 . （3）解：在 中， = 2+ 2= 32+ 2= 9 + 2 ， OED 是OAD 沿 OD 折叠得到的， ， 是 的直径， = 90 ，即 ， ， = = 90 = ， ， = ， 92+22=3， =692+2 ， = = 90， = ， ， = ()2 ，即 = (632+24)2=924(9+2) ， =9242+36 （ 0 32 ） （4）解： 32 3 或 258 4 【解析】【解答】 （4）解：由（2）知，当 E 在 DB 上时， =32 ， 如图，当点 E 在 DC 上时，
38、= 3 ， 当 32 3 时，半圆 O 与BCD 的边有两个交点； 当半圆 O 经过点 C 时，半圆 O 与BCD 的边有两个交点， 连接 OC，如图： 在 中， = 4 ， = ， = 3 ， 2+ 2= 2 ， (4 )2+ 32= 2 ，解得 =258 ， 当 258 4 时，半圆 O 与BCD 的边有两个交点； 综上所述，当半圆 O 与BCD 的边有两个交点时，x 的取值范围为： 32 3 或 258 4 . 【分析】 （1）由折叠及矩形的性质可得 = = 90 ，根据切线的判定定理即证； （2）由折叠的性质可得 = = 3， = = ，从而得出 = = 4 ，由勾股定理求出 BD=5
39、，可得 EB=DB-ED=2，在 中， 由2+ 2= 2建立关于 x 方程并解之即可； （3） 由勾股定理可得 = 9 + 2， 先证 ， 可得= ， 据此求出 =692+2 ，再证 ，可得= ()2 ，据此即可求解； （4）结合图形，分情况讨论即可求出 x 范围. 25 【答案】（1）解：如图 1 沿射线 方向平移得到 = 90 = = 90 方法一：连接 ， 与 相切于点 = 90 = = 90 = ， 为公共边 () = 方法二： 是 的直径 与 相切于点 与 相切于点 = 如图 2 方法一 ： 过点 作 于点 = 90 由（1）已证 = = 90 四边形 是矩形 = ， = 由（1）已
40、证： = 同理可证： = 设 = ， = 在 中， 2+ 2= 2 ( )2+ 62= ( + )2 = 9 即 = 9 方法二： 图 3，连接 ， ， 与 相切于点 ， 与 相切于点 ， 与 相切于点 = ， = ， =12 ， =12 + = 180 + = 90 = 90 + = 90 又 与 相切于点 + = 90 = = ，即 2= 的直径为 6 = 3 = 9 （2）解：方法一： 如图 4 延长 交 于点 设 = 在 中， = = = = + = 2 = 90 2 沿射线 方向平移得到 ， 沿 折叠得到 = = = = 90 2 = 方法二： 是 的直径， = 90 ， 设 = ，
41、在 中， = ， = = ， = 90 + ， 沿射线 方向平移得到 ， 沿 折叠得到 ， = = = ， = 90 2 ， = = ， 在 中， = 180 = 90 + ， = ， . 方法三： 如图，延长 交 于点 沿射线 方向平移得到 ， 沿 折叠得到 = ， = = = 是直径 = 90 = = 90 = 180 = 180 即 = 连接 ，交 于点 ，如图 6 沿 折叠，点 的对称点为 ， =12 是 的直径 = 90 ，点 恰好落在射线 上 沿射线 方向平移得到 ， = 点 B 在 的延长线上 点 B， ， 这三点在同一条直线上 而 为 的直径 = = 在 和 中 = ； = ；
42、 = = 设 = ，则 = + + = + 3 + 2 = 3 + 3 = = 而 = = 90 = 6=63+3 解得： 1= 3 ， 2= 4 （不合题意，舍） = 3 在 中， sin =36=12 = 30 = 30 在 中， tan = tan30 = = 6 tan30 = 6 33= 23 即 的长 23 【解析】【分析】 （1）根据平移的性质可得 BECF，由平行线的性质可得CBE=ACB=90 ，方法一：连接 OG、OE，根据切线的性质可得OGE=90 ，证明 BOEGOE，据此可得结论；方法二：易得 BE 与O 相切于点 B，结合 DE 与O 相切于点 G 可得 BE 与
43、GE 的关系； 方法一 ：过点 D 作 DMBE 于点 M，则四边形 BCDM 是矩形，CD=BM，DM=BC，由（1）得BE=GE，同理可证 CD=DG，设 BE=x，CD=y，根据勾股定理可得 xy，据此可得 BE CD 的值； 方法二： 连接 OE、 OD、 OG， 根据切线长定理可得 BE=GE， CD=DG， OEG=12BEG， ODG=12CDG，由平行线的性质得BEG+CDG=180 ，则EOD=90 ，根据切线的性质得 OGDE，由同角的余角相等得GOE=ODG，证明 ODGEOG，然后结合相似三角形的性质进行计算； （2） 方法一： 延长HK 交BE于点 Q， 设ABC=，
44、 根据等腰三角形的性质可得BHO=OBH=，根据外角的性质可得BOQ=2，则BQO=90 -2，根据平移的性质以及折叠的性质可得DEF=DEF=ABC=，则BEF=90-2，然后根据平行线的判定定理进行证明； 方法二： 根据圆周角定理可得HBK=90 ， 设ABC=， 根据等腰三角形的性质可得BHO=OBH=，则HKF=90+， 根据平移的性质以及折叠的性质可得DEF=DEF=ABC=， 则BEF=90-2，结合内角和定理可得BFE=90+，然后根据平行线的判定定理进行证明； 方法三：延长 BF交 DN 于点 N，根据平移的性质可得 ABDE， ABCDEF， DEFDEF，则 DEFABC，
45、得到ABC=DEF，EF=BC，推出 EF=HK，根据圆周角定理可得ABK=90 ， 由平行线的性质可得ABK=BNE=90 ，证明 DEFABC，得到BKH=EFN，结合邻补角的性质可得HKF=EFK，然后根据平行线的判定定理进行证明； 连接 FF，交 DE 于点 N，根据折叠得 FN=12FF，根据圆周角定理可得HBK=90 ，根据平移的性质可得 ABDE，BC=EF，推出点 B、F、F 共线，证明 HBKENF，得到 BK=NF，设 BK=x，则BF=3X+3，由等腰三角形的性质可得OBK=OKB，证明 HBKFCB，根据相似三角形的性质可得 x，利用三角函数的概念求出 sinBHK 的值，得到BHK=30 ，则ABC=30 ，然后利用三角函数的概念就可求出 AC 的长