1、 专题专题 15 15 平行线与相交线平行线与相交线 一、单选题一、单选题 1下列命题不正确的是（ ） A连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B在同一平面内，两条不重合的直线位置关系不平行必相交 C两点确定一条直线 D过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2如图，直线 ABCD，P 是 AB 上的动点，当点 P 的位置变化时，三角形 PCD 的面积将（ ） A变大 B变小 C不变 D无法确定 3 （2022 七下 黄陂月考）如图，如果 ，那么图中相等的内错角是（ ） A1与5，2与6 B2与6，7与3 C5与1，4与8 D3与7，4与8 4 （2022 黄冈）如图，在矩形中，
2、PBPC， 点到直线的距离为不大于6. 故答案为：D. 【分析】根据垂线段最短的性质进行判断即可. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：图（1） 、图（2）中1和2均不是对顶角； 图（3）中1和2不是邻补角；图（4）中1和2是邻补角； 故答案为：C. 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，据此判断 A、B；两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做邻补角，据此判断 C、D. 7 【答案】B 【解析】【解答】解：由作图得，CA=CB， = BCA150 ， =12(180 ) =12(180 150) =
3、 15 l1l2 1 = = 15 故答案为：B. 【分析】由作图得：CA=CB，则ABC=CAB，结合内角和定理可得ABC 的度数，然后根据平行线的性质进行解答. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：l1l2， 1=2=60 ， 故答案为：D. 【分析】利用两直线平行，内错角相等，可求出2 的度数. 9 【答案】D 【解析】【解答】解：如图， 根据题意得：5=30 ， 1 2， 3=1=120 ， 4=3=120 ， 2=4+5， 2=120 +30 =150 . 故答案为：D. 【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得3=1=120 ，根据对顶角的性质可得4=3=120 ，由外角的性
4、质可得2=4+5，据此计算. 10 【答案】C 【解析】【解答】解：连接， 在菱形中， = 120， = = = = 10， = = 60， ，都是等边三角形， 若以边为底，则垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”， 即当点 P 与点 D 重合时， 最小， 最小值 = 10； 若以边为底，为顶角时，以点 C 为圆心，长为半径作圆，与相交于一点，则弧（除点 B 外）上的所有点都满足是等腰三角形，当点 P 在上时，最小，如图所示， 连接交 于 O， 为菱形， ， = 2， = 120， = 60， 在中， = 10， = s
5、in60 = 10 32= 53， = 2 = 103， = = 103 10， 最小值为103 10； 若以边为底， 为顶角， 以点B为圆心， 为半径作圆， 则弧上的点A与点D均满足为等腰三角形，当点 P 与点 A 重合时，最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述，的最小值为103 10()； 故答案为：103 10. 故答案为：C. 【分析】连接 BD，根据菱形的性质可得 AB=BC=CD=AD=10，A=C=60 ，推出ABD、BCD 都是等边三角形，若以边 BC 为底，则 BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，根据垂线段最短的性质可得当点 P 与点 D 重合时
6、，PA 最小；若以边 PB 为底，PCB 为顶角时，以点 C 为圆心，BC 长为半径作圆，与 AC 相交于一点，则弧 BD（除点 B 外）上的所有点都满足PBC是等腰三角形， 当点 P 在 AC 上时， AP 最小， 连接 AC 交 BD 于 O， 根据菱形的性质可得ABD=60 ，AC=2AO，ACBD，根据三角函数的概念可得 AO，进而得到 AC，由 AP=AC-CP 可得 PA 的最小值；若以边 PC 为底，PBC 为顶角，以点 B 为圆心，BC 为半径作圆，则弧 AC 上的点 A 与点 D 均满足PBC 为等腰三角形，当点 P 与点 A 重合时，PA 最小，显然不满足题意，据此解答.
7、11 【答案】70 【解析】【解答】解：CC90 ，BMDCMF50 ， CFM40 ， 设BEF，则EFC180 ，DFEBEF，CFE40+， 由折叠性质可得，EFCEFC，即 180 40+， 整理，解得 70 ， BEF70 . 故答案为：70 . 【分析】由CC90 ，BMDCMF50 ，可求得CFM40 ，设BEF，则EFC180 ， DFEBEF， CFE40+， 根据折叠性质可得EFCEFC， 即 180 40+，进而得出BEF 的度数. 12 【答案】58 【解析】【解答】解：ABCD，ABE148 ， AEB=180 -ABE180 -148 =32 ， FECD 于 E，
8、 FEB=90 -AEB=90 -32 =58 . 故答案为：58. 【分析】由平行性质可求得AEB 的度数，再由垂线定义及互余关系可得FEB=90 -AEB，即可求出FEB 的度数. 13 【答案】61或119 【解析】【解答】解：当射线 于点 G 时， = 90，如图， = = 58， /. FGE=GEB. EG 平分， =12 = 29， = = 29， =PGE-FGE=61. 当射线 于点 G 时， = 90，如图， 同理： = + = 90 + 29=119. 故答案为：61或119. 【分析】由题意可分两种情况：当 GPEG（点 P 在 CD 的上方）时，由已知根据“同位角相等
9、两直线平行”可得 ABCD，由“两直线平行内错角相等”可得FGE=GEB，由角平分线定义可得GEB=12BEF=GEB，再根据角的构成PGF=PGE-FGE 可求解；当 GPEG（点 P 在 CD 的下方）时，同理可求解. 14 【答案】 【解析】【解答】解：1=2， ab，故正确； 由3=6 无法得出 ab，故错误； 47=180 ， ab，故正确； 53=180 ，2=3， 25=180 ， ab，故此选项正确； 故答案为：. 【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可. 15 【答案】 【解析】【解答】解：对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立； 两直线平行，内错角相等的逆命题是
10、内错角相等，两直线平行，成立； 相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等，则这两个数相等，不成立； 故答案为. 【分析】把一个命题的题设和结论互换即得其逆命题，分别写出各项的逆命题，再判断即可. 16 【答案】2 【解析】【解答】解：如图 1，过 E 作 EFAB. ABCD， ABEFCD， B=1，C=2. BEC=1+2， BEC=ABE+DCE； 如图 2. ABE 和DCE 的平分线交点为 E1， CE1B=ABE1+DCE1=12ABE+12DCE=12BEC. ABE1和DCE1的平分线交点为 E2， BE2C=ABE2+DCE2=12ABE1+12DCE1=12C
11、E1B=14BEC； ABE2和DCE2的平分线，交点为 E3， BE3C=ABE3+DCE3=12ABE2+12DCE2=12CE2B=18BEC； 以此类推，En=12BEC， 当En=1 度时，BEC 等于 2n 度. 故答案为：2n. 【分析】过 E 作 EFAB；结合已知根据平行线的传递性可得 ABEFCD，再由平行线的性质可得B1，C2，由角的构成得BECABEDCE；先根据ABE 和DCE 的平分线交点为 E1，由图 1 中的结论可得CE1BABE1DCE112ABE12DCE12BEC；同理可得BE2CABE2DCE214BEC；于是可得规律En 12BEC，最后求得BEC 的
12、度数 17 【答案】A=D（答案不唯一） 【解析】【解答】解：ABDE， = ， = ， 当添加 = 时，根据 ASA 可判断 ； 当添加 = 时，根据 SAS 可判断 ； 当添加 = 时，根据 AAS 可判断 . 故答案可从A=D、BC=EF、ACB=F 中选择. 故答案为：A=D（答案不唯一）. 【分析】根据平行线的性质可得B=DEF，然后结合全等三角形的判定定理 AAS、ASA、SAS 进行解答. 18 【答案】12 或 129 【解析】【解答】解：设B=x，则A=3x-24 ，分两种情况： 当A=B 时，x=3x-24 ， 解得 x=12 ， A=12 当A+B=180 时，x+3x-
13、24 =180 ， 解得 x=51 ， A=129 ， 即A 的度数是 12 或 129 ， 故答案为：12 或 129 . 【分析】设B=x，则A=3x-24 ，根据“一个角的两边分别与另一个角的两边平行，则这两个角相等或互补”可分两种情况：当A=B 时，当A+B=180 时，可得关于 x 的方程，解方程可求解. 19 【答案】垂直 【解析】【解答】解：如图： ， 1 = 2， ， 2 = 90， 1 = 2 = 90， . 故答案为：垂直. 【分析】 画出示意图， 根据平行线的性质可得1=2， 根据垂直的概念可得2=90 ， 则1=2=90 ，据此解答. 20 【答案】54 【解析】【解答
14、】解：因为 ab， 所以2 = 3， 因为1，2是对顶角， 所以1 = 2， 所以3 = 1， 因为1 = 54， 所以3 = 54. 故答案为：54. 【分析】根据平行线的性质可得2=3，根据对顶角的性质可得1=2，则1=3，据此解答. 21 【答案】（1）解：20 ； 2MEN-MHN=180 ， 理由如下： EFABCD，BMH 和GND 的角平分线相交于点 E， 1=BME=12BMH，2=END=12GND， MEN=1+2， 12BMH+=12GND=MEN，即 2MEN=BMH+GND， BMH=2MEN-GND， BMH=MON，ONH=180 -GND，MHN=MON-ONH
15、 MHN=2MEN-GND-（180 -GND） MHN=2MEN-180 ， MEN 与MHN 的数量关系为 2MEN-MHN=180 . （2）解：如图 2 所示，延长 MP 交直线 CD 于点 G， BMH 和GND 的角平分线相交于点 E，MP 平分AMH， 2=1，4=3，HNF=END， 22+23=180 ，即2+3=90 ， PMQ=90 ， NQMP， NQE=PMQ=90 ，MGN=QND， 又ABCD， 1=MGN=QND=2， 设ENQ=x，则MEN=90 +x，HNF=END=x+QND=x+2， H=150 ， 在四边形 MHNE 中有，HNF+MEN+H+3=36
16、0 ， x+2+90 +x+150 +3=360 ， 2x=30 ， x=15 ， ENQ=15 . 【解析】【解答】解： （1）如图 1，MH 交 CD 于点 O，过点 E 作 EFAB， BMH 和GND 的角平分线相交于点 E，BME=25 ，END=75 ， BMH=2BME=25 =50 ，GND=2END=150 ， ONH=180 -GND=180 -150 =30 ， ABCD， BMH=MON=50 ， H=MON-ONH=50 -30 =20 . 故答案为：20 ； 【分析】 （1）如图 1，MH 交 CD 于点 O，过点 E 作 EFAB，由角平分线定义以及BME=25
17、，END =75 ， 求得BMH=50 ， GND=150 ， 从而得ONH=30 ， 再由 ABCD， 得BMH=MON= 50 ， 最后由H=MON-ONH， 代入数据计算求得H 度数； 由 EFABCD， BMH 和GND的角平分线相交于点 E，得1=BME=12BMH，2=END=12GND，再结合MEN=1+2，等量代换得 2MEN=BMH+GND， 即BMH=2MEN-GND； 由BMH=MON， ONH=180 -GND，MHN=MON-ONH，得MHN=2MEN-GND-（180 -GND） ，从而得到MHN =2MEN-180 ，整理即可得到 2MEN-MHN=180 . （
18、2） 如图 2 所示， 延长 MP 交直线 CD 于点 G， 由角平分线定义得2=1， 4=3， HNF=END，进而2+3=90 ，即PMQ=90 ，再由平行线的性质，得NQE=PMQ=90 ，MGN=QND，1=MGN=QND=2，设ENQ=x，则MEN=90 +x，HNF=END=x+QND=x+2，再根据四边形内角和，可列等式为HNF+MEN+H+3=360 ，即 x+2+90 +x+150 +3=360 ，解得x=15 ，进而求得ENQ 的度数即可. 22 【答案】（1）解： ， + = 180， = 80， = 100. （2）证明：平分， = 50. ， = = 50. = 50
19、， = . . 另解：运用三角形内角和也可以得证. 【解析】【分析】 （1）根据平行线的性质可得B+BAD=180 ，结合B 的度数可得BAD 的度数； （2）根据角平分线的概念可得DAE=12BAD=50 ，根据平行线的性质可得AEB=DAE=50 ，推出BCD=AEB，然后根据平行线的判定定理进行证明. 23 【答案】（1）解：DEBC，理由： DE 平分ADF， ADF=2EDF， 又ADF=2DFB， EDF=DFB， DEBC； （2）解：设EFC=，则DFE=3CFE=3， EFAB， B=EFC=， 又DEBC， ADE=B=， DE 平分ADF，DEBC DFB=EDF=ADE
20、=， DFB+DFE+CFE=180 ， +3+=180， 解得 =36， ADE=36 【解析】【分析】 （1）根据角平分线的定义及ADF2DFB，即可得到EDFDFB，进而得出DEBC； （2）设EFC，则DFE3CFE3，根据平行线的性质及角平分线的定义，即可得到DFB，再根据DFB+DFE+CFE180 ，得 +3+=180， 解得 ，即可求出ADE 的度数 24 【答案】（1）解明AB CD， ABC+ BCD= 180 ， ABC= 140 ， BCD= 40 ， CDF= 40 ， BCD= CDF， BC EF； （2）解：BD 平分 ABC. 理由：AE BD BAE+ AB
21、D= 180 ， BAE= 110 ， ABD= 70 ， ABC= 140 ， ABD= DBC= 70 ， BD 平分 ABC. 【解析】【分析】 （1）由 ABCD 及ABC=140 ，求得BCD=40 ，从而得到BCD=CDF，进而证明 BCEF 即可； （2）由 AEBD 及BAE=110 ，求得ABD=70 ，由ABC=140 ，求得DBC=ABD=70 ，即可证明 BD 平分ABC. 25 【答案】（1）解：BAE+CDE=AED 理由如下： 作 EFAB，如图 1 ABCD EFCD 1=BAE，2=CDE BAE+CDE=AED （2）解：如图 2，由（1）的结论得 AFD=
22、BAF+CDF BAE、CDE 的两条平分线交于点 F BAF=12BAE，CDF=12CDE AFE=12（BAE+CDE） BAE+CDE=AED AFD=12AED （3）解：由（1）的结论得AGD=BAF+CDG 而射线 DC 沿 DE 翻折交 AF 于点 G CDG=4CDF AGD=BAF+4CDF=12BAE+2CDE=12BAE+2（AED-BAE）=2AED-32BAE 90 -AGD=180 -2AED 90 -2AED+32BAE=180 -2AED BAE=60 【解析】【分析】 （1） 作 EFAB，则 ABCDEF，根据平行线的性质可得1=BAE，2=CDE，据此解答； （2）由（1）的结论得AFD=BAF+CDF，根据角平分线的概念可得BAF=12BAE，CDF=12CDE，则AFE=12(BAE+CDE)，然后根据BAE+CDE=AED 进行解答； （3）由（1）的结 论 得AGD=BAF+CDG，根据折叠的性 质 可得 CDG=4CDF，则AGD=BAF+4CDF=2AED-32BAE ， 根 据 AGD的 余 角 等 于2E的 补 角 可 得90 -AGD=180 -2AED，据此求解