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2023年湖北省中考数学一轮复习专题训练15:平行线与相交线(含答案解析)

1、 专题专题 15 15 平行线与相交线平行线与相交线 一、单选题一、单选题 1下列命题不正确的是( ) A连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 B在同一平面内,两条不重合的直线位置关系不平行必相交 C两点确定一条直线 D过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2如图,直线 ABCD,P 是 AB 上的动点,当点 P 的位置变化时,三角形 PCD 的面积将( ) A变大 B变小 C不变 D无法确定 3 (2022 七下 黄陂月考)如图,如果 ,那么图中相等的内错角是( ) A1与5,2与6 B2与6,7与3 C5与1,4与8 D3与7,4与8 4 (2022 黄冈)如图,在矩形中,

2、PBPC, 点到直线的距离为不大于6. 故答案为:D. 【分析】根据垂线段最短的性质进行判断即可. 6 【答案】C 【解析】【解答】解:图(1) 、图(2)中1和2均不是对顶角; 图(3)中1和2不是邻补角;图(4)中1和2是邻补角; 故答案为:C. 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点,那么这两个角是对顶角,据此判断 A、B;两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角叫做邻补角,据此判断 C、D. 7 【答案】B 【解析】【解答】解:由作图得,CA=CB, = BCA150 , =12(180 ) =12(180 150) =

3、 15 l1l2 1 = = 15 故答案为:B. 【分析】由作图得:CA=CB,则ABC=CAB,结合内角和定理可得ABC 的度数,然后根据平行线的性质进行解答. 8 【答案】D 【解析】【解答】解:l1l2, 1=2=60 , 故答案为:D. 【分析】利用两直线平行,内错角相等,可求出2 的度数. 9 【答案】D 【解析】【解答】解:如图, 根据题意得:5=30 , 1 2, 3=1=120 , 4=3=120 , 2=4+5, 2=120 +30 =150 . 故答案为:D. 【分析】对图形进行角标注,根据平行线的性质可得3=1=120 ,根据对顶角的性质可得4=3=120 ,由外角的性

4、质可得2=4+5,据此计算. 10 【答案】C 【解析】【解答】解:连接, 在菱形中, = 120, = = = = 10, = = 60, ,都是等边三角形, 若以边为底,则垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”, 即当点 P 与点 D 重合时, 最小, 最小值 = 10; 若以边为底,为顶角时,以点 C 为圆心,长为半径作圆,与相交于一点,则弧(除点 B 外)上的所有点都满足是等腰三角形,当点 P 在上时,最小,如图所示, 连接交 于 O, 为菱形, , = 2, = 120, = 60, 在中, = 10, = s

5、in60 = 10 32= 53, = 2 = 103, = = 103 10, 最小值为103 10; 若以边为底, 为顶角, 以点B为圆心, 为半径作圆, 则弧上的点A与点D均满足为等腰三角形,当点 P 与点 A 重合时,最小,显然不满足题意,故此种情况不存在; 综上所述,的最小值为103 10(); 故答案为:103 10. 故答案为:C. 【分析】连接 BD,根据菱形的性质可得 AB=BC=CD=AD=10,A=C=60 ,推出ABD、BCD 都是等边三角形,若以边 BC 为底,则 BC 垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,根据垂线段最短的性质可得当点 P 与点 D 重合时

6、,PA 最小;若以边 PB 为底,PCB 为顶角时,以点 C 为圆心,BC 长为半径作圆,与 AC 相交于一点,则弧 BD(除点 B 外)上的所有点都满足PBC是等腰三角形, 当点 P 在 AC 上时, AP 最小, 连接 AC 交 BD 于 O, 根据菱形的性质可得ABD=60 ,AC=2AO,ACBD,根据三角函数的概念可得 AO,进而得到 AC,由 AP=AC-CP 可得 PA 的最小值;若以边 PC 为底,PBC 为顶角,以点 B 为圆心,BC 为半径作圆,则弧 AC 上的点 A 与点 D 均满足PBC 为等腰三角形,当点 P 与点 A 重合时,PA 最小,显然不满足题意,据此解答.

7、11 【答案】70 【解析】【解答】解:CC90 ,BMDCMF50 , CFM40 , 设BEF,则EFC180 ,DFEBEF,CFE40+, 由折叠性质可得,EFCEFC,即 180 40+, 整理,解得 70 , BEF70 . 故答案为:70 . 【分析】由CC90 ,BMDCMF50 ,可求得CFM40 ,设BEF,则EFC180 , DFEBEF, CFE40+, 根据折叠性质可得EFCEFC, 即 180 40+,进而得出BEF 的度数. 12 【答案】58 【解析】【解答】解:ABCD,ABE148 , AEB=180 -ABE180 -148 =32 , FECD 于 E,

8、 FEB=90 -AEB=90 -32 =58 . 故答案为:58. 【分析】由平行性质可求得AEB 的度数,再由垂线定义及互余关系可得FEB=90 -AEB,即可求出FEB 的度数. 13 【答案】61或119 【解析】【解答】解:当射线 于点 G 时, = 90,如图, = = 58, /. FGE=GEB. EG 平分, =12 = 29, = = 29, =PGE-FGE=61. 当射线 于点 G 时, = 90,如图, 同理: = + = 90 + 29=119. 故答案为:61或119. 【分析】由题意可分两种情况:当 GPEG(点 P 在 CD 的上方)时,由已知根据“同位角相等

9、两直线平行”可得 ABCD,由“两直线平行内错角相等”可得FGE=GEB,由角平分线定义可得GEB=12BEF=GEB,再根据角的构成PGF=PGE-FGE 可求解;当 GPEG(点 P 在 CD 的下方)时,同理可求解. 14 【答案】 【解析】【解答】解:1=2, ab,故正确; 由3=6 无法得出 ab,故错误; 47=180 , ab,故正确; 53=180 ,2=3, 25=180 , ab,故此选项正确; 故答案为:. 【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断即可. 15 【答案】 【解析】【解答】解:对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角,不成立; 两直线平行,内错角相等的逆命题是

10、内错角相等,两直线平行,成立; 相等的两个实数的平方也相等的逆命题是两个实数的平方相等,则这两个数相等,不成立; 故答案为. 【分析】把一个命题的题设和结论互换即得其逆命题,分别写出各项的逆命题,再判断即可. 16 【答案】2 【解析】【解答】解:如图 1,过 E 作 EFAB. ABCD, ABEFCD, B=1,C=2. BEC=1+2, BEC=ABE+DCE; 如图 2. ABE 和DCE 的平分线交点为 E1, CE1B=ABE1+DCE1=12ABE+12DCE=12BEC. ABE1和DCE1的平分线交点为 E2, BE2C=ABE2+DCE2=12ABE1+12DCE1=12C

11、E1B=14BEC; ABE2和DCE2的平分线,交点为 E3, BE3C=ABE3+DCE3=12ABE2+12DCE2=12CE2B=18BEC; 以此类推,En=12BEC, 当En=1 度时,BEC 等于 2n 度. 故答案为:2n. 【分析】过 E 作 EFAB;结合已知根据平行线的传递性可得 ABEFCD,再由平行线的性质可得B1,C2,由角的构成得BECABEDCE;先根据ABE 和DCE 的平分线交点为 E1,由图 1 中的结论可得CE1BABE1DCE112ABE12DCE12BEC;同理可得BE2CABE2DCE214BEC;于是可得规律En 12BEC,最后求得BEC 的

12、度数 17 【答案】A=D(答案不唯一) 【解析】【解答】解:ABDE, = , = , 当添加 = 时,根据 ASA 可判断 ; 当添加 = 时,根据 SAS 可判断 ; 当添加 = 时,根据 AAS 可判断 . 故答案可从A=D、BC=EF、ACB=F 中选择. 故答案为:A=D(答案不唯一). 【分析】根据平行线的性质可得B=DEF,然后结合全等三角形的判定定理 AAS、ASA、SAS 进行解答. 18 【答案】12 或 129 【解析】【解答】解:设B=x,则A=3x-24 ,分两种情况: 当A=B 时,x=3x-24 , 解得 x=12 , A=12 当A+B=180 时,x+3x-

13、24 =180 , 解得 x=51 , A=129 , 即A 的度数是 12 或 129 , 故答案为:12 或 129 . 【分析】设B=x,则A=3x-24 ,根据“一个角的两边分别与另一个角的两边平行,则这两个角相等或互补”可分两种情况:当A=B 时,当A+B=180 时,可得关于 x 的方程,解方程可求解. 19 【答案】垂直 【解析】【解答】解:如图: , 1 = 2, , 2 = 90, 1 = 2 = 90, . 故答案为:垂直. 【分析】 画出示意图, 根据平行线的性质可得1=2, 根据垂直的概念可得2=90 , 则1=2=90 ,据此解答. 20 【答案】54 【解析】【解答

14、】解:因为 ab, 所以2 = 3, 因为1,2是对顶角, 所以1 = 2, 所以3 = 1, 因为1 = 54, 所以3 = 54. 故答案为:54. 【分析】根据平行线的性质可得2=3,根据对顶角的性质可得1=2,则1=3,据此解答. 21 【答案】(1)解:20 ; 2MEN-MHN=180 , 理由如下: EFABCD,BMH 和GND 的角平分线相交于点 E, 1=BME=12BMH,2=END=12GND, MEN=1+2, 12BMH+=12GND=MEN,即 2MEN=BMH+GND, BMH=2MEN-GND, BMH=MON,ONH=180 -GND,MHN=MON-ONH

15、 MHN=2MEN-GND-(180 -GND) MHN=2MEN-180 , MEN 与MHN 的数量关系为 2MEN-MHN=180 . (2)解:如图 2 所示,延长 MP 交直线 CD 于点 G, BMH 和GND 的角平分线相交于点 E,MP 平分AMH, 2=1,4=3,HNF=END, 22+23=180 ,即2+3=90 , PMQ=90 , NQMP, NQE=PMQ=90 ,MGN=QND, 又ABCD, 1=MGN=QND=2, 设ENQ=x,则MEN=90 +x,HNF=END=x+QND=x+2, H=150 , 在四边形 MHNE 中有,HNF+MEN+H+3=36

16、0 , x+2+90 +x+150 +3=360 , 2x=30 , x=15 , ENQ=15 . 【解析】【解答】解: (1)如图 1,MH 交 CD 于点 O,过点 E 作 EFAB, BMH 和GND 的角平分线相交于点 E,BME=25 ,END=75 , BMH=2BME=25 =50 ,GND=2END=150 , ONH=180 -GND=180 -150 =30 , ABCD, BMH=MON=50 , H=MON-ONH=50 -30 =20 . 故答案为:20 ; 【分析】 (1)如图 1,MH 交 CD 于点 O,过点 E 作 EFAB,由角平分线定义以及BME=25

17、,END =75 , 求得BMH=50 , GND=150 , 从而得ONH=30 , 再由 ABCD, 得BMH=MON= 50 , 最后由H=MON-ONH, 代入数据计算求得H 度数; 由 EFABCD, BMH 和GND的角平分线相交于点 E,得1=BME=12BMH,2=END=12GND,再结合MEN=1+2,等量代换得 2MEN=BMH+GND, 即BMH=2MEN-GND; 由BMH=MON, ONH=180 -GND,MHN=MON-ONH,得MHN=2MEN-GND-(180 -GND) ,从而得到MHN =2MEN-180 ,整理即可得到 2MEN-MHN=180 . (

18、2) 如图 2 所示, 延长 MP 交直线 CD 于点 G, 由角平分线定义得2=1, 4=3, HNF=END,进而2+3=90 ,即PMQ=90 ,再由平行线的性质,得NQE=PMQ=90 ,MGN=QND,1=MGN=QND=2,设ENQ=x,则MEN=90 +x,HNF=END=x+QND=x+2,再根据四边形内角和,可列等式为HNF+MEN+H+3=360 ,即 x+2+90 +x+150 +3=360 ,解得x=15 ,进而求得ENQ 的度数即可. 22 【答案】(1)解: , + = 180, = 80, = 100. (2)证明:平分, = 50. , = = 50. = 50

19、, = . . 另解:运用三角形内角和也可以得证. 【解析】【分析】 (1)根据平行线的性质可得B+BAD=180 ,结合B 的度数可得BAD 的度数; (2)根据角平分线的概念可得DAE=12BAD=50 ,根据平行线的性质可得AEB=DAE=50 ,推出BCD=AEB,然后根据平行线的判定定理进行证明. 23 【答案】(1)解:DEBC,理由: DE 平分ADF, ADF=2EDF, 又ADF=2DFB, EDF=DFB, DEBC; (2)解:设EFC=,则DFE=3CFE=3, EFAB, B=EFC=, 又DEBC, ADE=B=, DE 平分ADF,DEBC DFB=EDF=ADE

20、=, DFB+DFE+CFE=180 , +3+=180, 解得 =36, ADE=36 【解析】【分析】 (1)根据角平分线的定义及ADF2DFB,即可得到EDFDFB,进而得出DEBC; (2)设EFC,则DFE3CFE3,根据平行线的性质及角平分线的定义,即可得到DFB,再根据DFB+DFE+CFE180 ,得 +3+=180, 解得 ,即可求出ADE 的度数 24 【答案】(1)解明AB CD, ABC+ BCD= 180 , ABC= 140 , BCD= 40 , CDF= 40 , BCD= CDF, BC EF; (2)解:BD 平分 ABC. 理由:AE BD BAE+ AB

21、D= 180 , BAE= 110 , ABD= 70 , ABC= 140 , ABD= DBC= 70 , BD 平分 ABC. 【解析】【分析】 (1)由 ABCD 及ABC=140 ,求得BCD=40 ,从而得到BCD=CDF,进而证明 BCEF 即可; (2)由 AEBD 及BAE=110 ,求得ABD=70 ,由ABC=140 ,求得DBC=ABD=70 ,即可证明 BD 平分ABC. 25 【答案】(1)解:BAE+CDE=AED 理由如下: 作 EFAB,如图 1 ABCD EFCD 1=BAE,2=CDE BAE+CDE=AED (2)解:如图 2,由(1)的结论得 AFD=

22、BAF+CDF BAE、CDE 的两条平分线交于点 F BAF=12BAE,CDF=12CDE AFE=12(BAE+CDE) BAE+CDE=AED AFD=12AED (3)解:由(1)的结论得AGD=BAF+CDG 而射线 DC 沿 DE 翻折交 AF 于点 G CDG=4CDF AGD=BAF+4CDF=12BAE+2CDE=12BAE+2(AED-BAE)=2AED-32BAE 90 -AGD=180 -2AED 90 -2AED+32BAE=180 -2AED BAE=60 【解析】【分析】 (1) 作 EFAB,则 ABCDEF,根据平行线的性质可得1=BAE,2=CDE,据此解答; (2)由(1)的结论得AFD=BAF+CDF,根据角平分线的概念可得BAF=12BAE,CDF=12CDE,则AFE=12(BAE+CDE),然后根据BAE+CDE=AED 进行解答; (3)由(1)的结 论 得AGD=BAF+CDG,根据折叠的性 质 可得 CDG=4CDF,则AGD=BAF+4CDF=2AED-32BAE , 根 据 AGD的 余 角 等 于2E的 补 角 可 得90 -AGD=180 -2AED,据此求解