1、 专题专题 23 23 锐角三角函数锐角三角函数 一、单选题一、单选题 1如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC，其中 ABAC， = 27，BC44cm，则高 AD 约为（ ） （参考数据：sin27 0.45，cos27 0.89，tan27 0.51） A9.90cm B11.22cm C19.58cm D22.44cm 2在下列实数中，无理数是（ ） Asin45 B13 C0.3 Dtan45 3 （2022 九下 泉州开学考）已知一道斜坡的坡比为 1： 3 ，坡长为 24 米，那么坡高为（ ）米. A83 B12 C43 D6 4（2022 九下 泉州开学考）在 中， =
2、 90 ， = 1 ， = 2 ， 则 sin 的值为 （ ） A12 B3 C33 D32 5 （2022 九下 尤溪开学考）如图，菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y = 1 和 y= 2 的图象上，若BCD=60 ，则 12 的值是（ ） A- 13 B- 23 C- 33 D- 3 6 （2021 九上 鼓楼月考）如图，在正方形网格中， 的各个顶点均为格点，则 tan 的值是（ ） A1 B55 C12 D2 7 （2021 福建）如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近选一点 C，利用测量仪器测得 = 60， = 90， = 2 .据此，
3、可求得学校与工厂之间的距离 等于（ ） A2 B3 C23 D4 8 （2021 福建）如图， 为 的直径，点 P 在 的延长线上， ， 与 相切，切点分别为 C，D.若 = 6， = 4 ，则 sin 等于（ ） A35 B25 C34 D45 9 （2021 南平模拟）如图，点 A，B，C 在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长为 1， 则 sinBAC 的值为（ ） A33 B3 C12 D55 10 （2021 泉州模拟）如图，在 6 6 的网格图中， 经过格点 A、B、D，点 C 在格点上，连接 交 于点 E，连接 、 ，则 sin 值为（ ）. A12 B55 C255 D2 二
4、、填空题二、填空题 11 （2021 厦门模拟）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，直角三角形中较小的锐角为 ，则 的余弦值为 . 12 （2021 福建模拟）如图，ABC 的三个顶点在边长为 1 的正方形网格的格点上，则 sin = . 13（2021 厦门模拟）在平面直角坐标系中， 平行四边形 OABC 的顶点 ， 的坐标分别为 (0，0) 、 (5，3) ，点 在 轴上且 = 60 ，则点 的坐标为 14 （2021 厦门模拟）计算： ( + 3)0+ 2cos60 = 15 （2021 三明模拟
5、）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 坐标为（4，3） ，则tanAOB 的值为 . 16 （2021 惠安模拟）如图，矩形 OABC 的顶点 ， 分别在 轴， 轴正半轴上，反比例函数 =( 0， 0) 的图象分别与矩形 OABC 两边 AB， BC 交于点 D， E， 沿直线 DE 将 翻折得到 ，且点 F 恰好落在直线 上.下列四个结论： = ；= ；tan = ； = .其中结论正确的有 .（仅填代号即可） 17 （2021 上杭模拟）如图，山顶上有一个信号塔 ，已知信号塔高 = 15 ，在山脚下点 处测得塔底 的仰角 = 36.9 ，塔顶 的仰角 = 42.
6、0 ，则山高 = m（点 ， ， 在同一条竖直线上， 参考数据： tan36.9 0.75 ， sin36.9 0.60 ， tan42.0 0.90 ） . 18（2021 九下 长汀月考）如图， 在正方形 中， 连接 ， 点 在边 上， 且 = 2 ， 连接 交 于 ，连接 ，取 的中点 ，取 的中点 ，连接 G.下列结论： = ； ； = 5 ；sin =255 ；=13 .其中正确的结论是 （填序号）. 19 （2021 九上 泉州期末）在 中， = 90 ， = ，以 为边作等边三角形 ，直线 与直线 相交于点 ，则 = . 20（2021 九上 泉州期末）将一副直角三角尺按如图所示
7、放置， = 60 ， = 45 ， = 2 ， 则 的长为 . 三、综合题三、综合题 21 （2021 湖里模拟）如图，O 是四边形 ABCD 的外接圆，AC 是O 的直径，BEDC，交 DC 的延长线于点 E，CB 平分ACE. （1）求证：BE 是O 的切线. （2）若 AC4，CE1，求 tanBAD. 22 （2021 湖里模拟）等腰直角ACB 中，C90 ，点 D 为 CB 延长线上一点，连接 AD，以 AD 为斜边构造直角AED（点 E 与点 C 在直线 AD 的异侧）. （1）如图 1，若EAD30 ，AE302，BD2，求 AC 的长； （2）如图 2，若 AEDE，连接 BE
8、，猜想线段 BE 与线段 AD 之间的数量关系并证明； （3）如图 3，若 AC4，tanBAD13，连接 CE，取 CE 的中点 P，连接 DP，当线段 DP 最短时，直接写出此时PDE 的面积. 23 （2021 南平模拟）如图 1，在直角ABC 中，ACB=90 ，AO 是ABC 的角平分线，以 O 为圆心，OC 为半径作圆 O （1）求证：AB 是O 的切线； （2）已知 AO 交圆 O 于点 E，延长 AO 交圆 O 于点 D，tanD= 12 ，求 的值； （3）如图 2，在（2）条件下，若 AB 与O 的切点为点 F，连接 CF 交 AD 于点 G，设O 的半径为 3，求 CF
9、的长. 24 （2021 厦门模拟）如图，锐角ABC，ACABBC，点 P 在线段 BC 上. （1）尺规作图：求作APB90 ； （保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB6，AC5，sin B 23 ，求 BC 的长. 25 （2021 泉州模拟）如图 1，在 中，点 A 是优弧 上的一点，点 I 为 的内心，连接 并延长交 于点 D，连接 交 于点 E，连接 . （1）求证： ； （2）连接 ，求证： = ； （3）如图 2，若 = 24 ， tan =512 ，当 B、O、I 三点共线时，过点 D 作 / ，交 于点 G，求 的长. 26 （2021 厦门模拟）如图 1，O 的
10、弦 = 6 ， 为 所对优弧上一动点且 sin =35 ， 的外角平分线 交O 于点 ，直线 与直线 交于点 . （1）求证：点 为 的中点； （2）如图 2，求O 的半径和 的长； （3）若 不是锐角三角形，则 的最大值为 . 27 （2021 邵武模拟）如图， 四边形 中， = = 4 ， = = 3 ， = =90 ， 点M、 N是边 、 上的动点， 且 =12 ， 、 与对角线 分别交于点 P、Q. （1）求sin 的值： （2）当 = 时，求 的度数； （3）试问：在点 M、N 的运动过程中，线段比 的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点 N
11、 相度的位置. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：ABC 中，ABAC，AD 为 BC 边上的高， =12， BC44cm， =12 = 22cm. ABC，ABAC， = 27， = = 27. AD 为 BC 边上的高， = 27， 在 中， = tan27 ， tan27 0.51， = 22cm， 0.51 22 = 11.22cm. 故答案为：B. 【分析】根据等腰三角形的性质可得 DC=12BC=22cm，ACB=ABC=27 ，然后根据三角函数的概念 就可求出 AD. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：sin45 =22 ，tan45 = 1 13、
12、0.3 与 1 是有理数，22是无理数， 选项 A 满足题意. 故答案为：A. 【分析】根据特殊角的三角函数值可得 sin45 =22，tan45 =1，常见的无理数有四类：根号型的数：开方开不尽的数， 与有关的数，构造型：像 0.1010010001（两个 1 之间依次多一个 0）这类有规律的数，三角函数型：如 sin60 等，根据定义即可一一判断得出答案. 3 【答案】B 【解析】【解答】解：设坡度为 tan = 1：3 =33 = 30 坡高= 12 坡长=12. 故答案为：B 【分析】 由斜坡的坡比为 1： 3 ，可得坡度为 30 ，再利用 30 角的直角边等于斜边的一半进行解答即可.
13、 4 【答案】A 【解析】【解答】 = 90 ， = 1 ， = 2 sin =12 故答案为：A. 【分析】直接利用正弦函数的定义求解即可. 5 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接 AC、BD，作 BMx 轴于 M，CNx 轴于 N， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y = 1和 y= 2 的图象上， A 与 C、B 与 D 关于原点对称， AC、BD 经过点 O， BOC=90 ， BCO= 12BCD=30 ， tan30 = = 33， BOM+NOC=90 ，NOC+NCO=90 ， BOM=NCO， OMB=CNO= 90 ，
14、 OMBCNO， =22， 12|1|12|2|=13， k10，k2 0， 2+ 2= 2， 2+ (3)2= (42)2， 解得： =455， =455， =1255， = = 90， = ， ， =，即 4554=+4=+1255， + 4 = 5， =55 +125， = 4， =855， = 45， = 8， 延长 至 ，使 = = 8，连接 ，以 为直径作 ，连接 ， ， 与 交于点 ， 点 是线段 的中点，点 是 的中点， =12， 当线段 最短时， 最短， 点 在 上， 最短时，点 为 与 的交点，即 与 重合， = = 4， = ， /， =12 = 2， = + = 4 +
15、 8 = 12， = = 90， = 2+ 2= 122+ 22= 237， = = 237 25， 的最小值为 12 (237 25) =375， 过点 作 于点 ，则 /， =，即 2=23725237， =74218537， =12=1212 =14 8 74218537=148418537； 当线段 最短时， =148418537. 【分析】 （1）由锐角三角函数可求 DE、AD 的长，再利用勾股定理即可求出 AC 的长； （2） =22，理由：如图 2，取 AD 的中点 H，连接 CH，由等腰三角形及直角三角形的性质可证明EABHAC ，可得 =2，据此即可求解； （3） 如图 3，
16、 过点 B 作 BGAD 于 G， 由 = tan =13， 可设 = ， = 3， 且 0， 利用勾股定理求出 =455.再证BDGADC，由相似三角形的性质求出 BD，AD，CD，延长 CD至 F，使 DF=CD=8，连接 EF，以 AD 为直径作 ，连接 OB， OF， OF 与 交于点 E，根据三角形中位线定理可得 =12，当线段 EF 最短时，DP 最短，即 E 与 E重合，求出此时的 EF，即得 DP 最小值，过点 E作 EHCF 于点 H，则 EHOB ，根据三角形的面积公式求解即可. 23 【答案】（1）证明：如图，过点 O 作 OFAB 于点 F AO 平分CAB， OCAC
17、，OFAB， OC=OF， AB 是O 的切线； （2）解：如图，连接 CE， ED 是O 的直径， ECD=90 ， ECO+OCD=90 ， ACB=90 ， ACE+ECO=90 ， ACE=OCD， OC=OD， OCD=ODC， ACE=ODC， CAE=CAE， ACEADC， = ， tan =12 ， =12 ； （3）解：由（2）可知： =12 ， 设 AE=x，AC=2x， ACEADC， = ， AC2=AEAD， （2x）2=x（x+6） ， 解得：x=2 或 x=0（不合题意，舍去） ， AE=2，AC=4， AO=AE+OE=2+3=5， 如图，连接 CF 交 AD
18、 于点 M AC，AF 是O 的切线， AC=AF，CAO=OAF， CFAO， ACO=CMO=90 ， COM=AOC， CMOACO， = ， OC2=OMOA， OM= 95 ， CM= 22=32 (95)2 = 125 ， = 2 =245 . 【解析】【分析】 （1）由题可过点 O 作 OFAB 于点 F，然后结合已知证 OCOF 即可求解； （2）连接 CE，先证ACEODC，然后可证ACEADC，于是可得比例式=，由锐角三角函数 tanD即可求解； （3）由（2）可设 AE=x，AC=2x，由相似三角形的性质得 AC2AEAD，于是可求出 AE，AC 的长，则 AO=AE+O
19、E 可求得 AO 的值；连接 CF 交 AD 于点 M，证CMOACO，可得 OC2OMOA，求出 OM、CM 的值，则 CF2CM 可求解 24 【答案】（1）解：如图即为所求， （2）解： = 90 ，在 RtABP 中， sin =23 =23 = 6 = 4 = 2 2= 62 42= 25 = 5 在 RtACP 中， = 2 2= 52 42= 3 = + = 3 + 25 . 【解析】【分析】 （1）以点 A 为圆心，AC 为半径画弧，交 BC 于点 D，然后分别以 C、D 为圆心，以大于12CD 为半径画弧，连接两弧的交点与 A，与 BC 的交点即为点 P； （2）根据三角函数
20、的概念可得 AP=23AB=4，利用勾股定理求出 BP，CP，然后根据 BC=BP+CP 进行计算. 25 【答案】（1）证明：解法一：如图 1，连接 、 、 、 ， 点 I 为 的内心， 平分 ， = ， = ， = ， 点 D 在 的中垂线上， = ， 点 O 在 的中垂线上， . 解法二：如图 1，连接 、 、 、 ， 图 1 点 I 为 的内心， 平分 ， = ， = ， 又 是半径， . （2）证明：如图 2，连接 ， 图 2 设 = 2 ， = 2 ， 由（1）知 = = ， 点 I 为 的内心， 平分 ， = = ， = ， = = ， = + = + ， = + = + ， =
21、 ， = . （3）解：如图 3，连接 ，作 于 K， 图 3 ， = 24 ， =12 = 12 ， 在 中， = 90 ， = tan = 12 512= 5 ， 又 ， =12 ， / ， ， ， = 90 ， ， = 90 ， = 90 ， = 90 ， = ， 在 中， = 90 ， = sin ， 在 中， = 90 ， = sin ， = ， = = 5 ， = 2 = 10 . 【解析】【分析】 （1）解法一：连接 、 、 、 ，由内心的性质可知 为 的角平分线，根据相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等可知 = ， = ，根据等腰三角形三线合一可知点 DD 在 的中垂线上，
22、 根据 = 可知点 O 在 的中垂线上， 进而即可得到结论；解法二：连接 、 、 、 ，由内心的性质可知 为 的角平分线，根据相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等可知 = ，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，且 是半径，即可得到结论； （2）如图 2，连接 ，设 = 2 ， = 2 ，由内心的性质可知 = = ， = = ，由同弧或等弧所对的圆周角相等可知 = = ，根据角的关系可以用 ， 表示出 和 ，进而通过等腰三角形的性质得到 = ； （3） 如图3， 连接 ， 作 于 ， 根据垂直平分线的性质可得 的长度， 在 中，根据三角函数的性质可得 的长度，根据等
23、腰三角形垂径定理可知 =12 ，根据平行线的性质可得 ，则 = 90 ，根据同角的余角相等可得 = ，在 和 中根据三角函数的关系可得 = ，进而即可得到 的长. 26 【答案】（1）证明：如图，连接 PC，AB， AP 平分BAF， BAP=PAF， PAF+PAC=180 ， PAC+PBC=180 ， PAF=PBC， 又BAP=PCB， PBC=PCB， PB=PC， = ， P 为 的中点； （2）解：连接 OB，OC，过 O 作 OMBC 于 M，连接 PO， OM 垂直平分 BC， BM=CM= 12 BC3，BOM= 12 BOCBAC， sinBAC 35 ， sinBOM=
24、 =35 ， OB=5， O 的半径是 5， PB=PC， P 在 BC 的中垂线上， 同理，O 在 BC 的中垂线上， PO 垂直平分 BC， 又 OMBC， P，O，M 三点共线， BC=6， BM=CM=3， 在 RtOMC 中，OM= 2 2 =4， 在 RtPMC 中，PM=OM+OP=9， PC= 2+ 2 = 310 ； （3）80 【解析】【解答】解： （3）过点 C 作 CQAB 于 Q， ACE+ACB=P+ACB ACE=P， 又CAE=PAF=PAB， ACEAPB， = ， PAAE=ACAB， sinBAC= ， CQ=ACsinBAC= 35 AC， SABC=
25、12 ABCQ= 310 ABAC， PAAE= 103 SABC， ABC 为非锐角三角形， 点 A 运动到使ABC 为直角三角形时，如图，ABC 的面积最大， RtABC 中，AB=10，BC=6， AC=8， 此时 PAAE= 10312 6 8=80. 故答案为：80. 【分析】 （1）连接 PC，AB，利用角平分线的定义可证得BAP=PAF，再利用圆内接四边形的性质可推出PAF=PBC，因此可推出PBC=PCB，利用等角对等边可证得 PB=PC，利用圆周角定理可证得点 P 是弧 BAC 的中点； （2）连接 OB，OC，过 O 作 OMBC 于 M，连接 PO， 由线段垂直平分线的性
26、质，可求出 BM，CM 的长， 利用圆周角定理可证得BOM= 12 BOCBAC； 再利用解直角三角形求出 OB 的长，可证得 PO 垂直平分 BC，从而可证得点 P，O，M 三点共线；利用勾股定理求出 OM 的长，可求出 PM的长；然后利用勾股定理求出 PC 的长； （3）过点 C 作 CQAB 于 Q，利用圆内接四边形的性质可证得ACE=P，利用有两组对应角分别相等的三角形相似，可证得ACEAPB，利用相似三角形的对应边成比例可证得 PAAE=ACAB；利用解直角三角形可得到 CQ 和 AC 之间的数量关系； 然后利用三角形的面积公式可得到 PAAE= 103 SABC；点 A 运动到使A
27、BC 为直角三角形时，如图，ABC 的面积最大，即可求出 PA AE 的最大值. 27 【答案】（1）解：连接 AC， = = 4 ， = = 3 AC 垂直平分 BD ACB=ACD= 12 BCD=MCN 在 RtABC 中，AB=4，AC=3 AC= 2+ 2=42+32= 5 sin =sinACB= =45 （2）解：延长 AB 至 G 点，使 BG=DN，连接 CG， CB=CD CBG=CBN=90 BCGDCN G=CND，CN=CG，BCG=DCN MCN= 12 BCD MCB+NCD= 12 BCD GCM=GCB+GCM= 12 BCD=MCN CM=CM， G=CND
28、， GMCNMC G=MNC=DNC 当 DN=NC 时 DNC=DCN=45 DNC=CNM=45 （3）解：连接 NP， ADC=ADO+CDO=90 ADO+CDO=90 ADO=COD= 12 BCD=MCN NDP=NCP D、C、N、P 四点共圆， NPC+NDC=180 NDC=90 NPC=90 CPD=CND=MNC CPQCNM = 在 RtCPN 中， =cosMCN=cosACB= 35 不会发生变化 =35 【解析】【分析】 （1）连接 AC，易得 AC 垂直平分 BD，则ACB=ACD=12BCD=MCN，利用勾股定理求出 AC，然后根据三角函数的概念进行计算； （2）延长 AB 至 G 点，使 BG=DN，连接 CG，易证 BCGDCN，得到G=CND，CN=CG，BCG=DCN，则MCN=12BCD，进而推出GCM=MCN，证明 GMCNMC，得到G=MNC=DNC，据此解答； （3）连接 NP， 易得NDP=NCP，则 D、C、N、P 四点共圆，得到NPC+NDC=180 ，证明 CPQCNM，然后根据相似三角形的性质以及三角函数的概念进行判断