1、 专题专题 22 22 图形的相似图形的相似 一、单选题一、单选题 1如图，在矩形 ABCD 中，AB=2BC，点 M 是 CD 边的中点，点 E，F 分别是边 AB，BC 上的点，且AFME，G 为垂足.若 EB=2，BF=1，则四边形 BFGE 的面积为（ ） A6152 B8552 C6126 D8513 2如图，菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y = 1 和 y= 2 的图象上，若BCD=60 ，则 12 的值是（ ） A- 13 B- 23 C- 33 D- 3 3（2022 九下 泉州开学考）若 且相似比为 1： 4， 则 与 的面积比为 （ ） A1：4 B4：1 C1：
2、16 D16：1 4 （2022 九下 厦门开学考）下列说法正确的是（ ） A有一个角等于 100 的两个等腰三角形相似 B两个矩形一定相似 C有一个角等于 45 的两个等腰三角形相似 D相似三角形一定不是全等三角形 5 （2022 九下 厦门月考）如图，在ABC 中，DEAB，且32，则的值为（ ） A35 B23 C45 D32 6 （2022 九下 尤溪开学考）如图，在直角坐标系中，OAB 的顶点为 O(0，0)，A(4，3)，B(3，0).以点O 为位似中心，在第三象限内作与OAB 的位似比为 13 的位似图形OCD，则点 C 坐标（ ） A(- 43 ，-1) B(-1，- 43 )
3、 C(-1，-1) D(-2，-1) 7 （2022 九下 尤溪开学考）若 3x=4y，则下列结论一定成立的是（ ） A4 = 3 B = 34 C4 = 3 D3 = 4 8 （2022 九下 南平期中）如图，在 RtABC 中，ACB90 ，CB7，AC9，以 C 为圆心、3 为半径作C，P 为C 上一动点，连接 AP、BP，则13AP+BP 的最小值为（ ） A32. B43 C35 D52 9 （2022 九下 厦门月考）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 P，且 AC 过原点 O，ABx 轴，点 C 的坐标为（6，3） ，反比例函数 =的图象经过 A，P 两点，则 k
4、 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 10 （2022 九下 厦门月考）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，BACD90 ，AB2，DC3，则ABC 与DCA 的面积比为( ) A23 B25 C49 D23 二、填空题二、填空题 11 （2022 九下 尤溪开学考）两个相似多边形的周长比是 2：3，其中较小多边形的面积为 12 2 ，则较大多边形的面积为 2 . 12 （2022 九下 泉州开学考）如图，在四边形 中， 于点 ， = ，且 =34 ，当 = 4 ， = 2 时，线段 的长度为 . 13 （2022 九下 尤溪开学考）如图，正方形 ABCD 中，点 F 是 BC 边上一点，连
5、接 AF，以 AF 为对角线作正方形 AEFG，边 FG 与 AC 相交于点 H，连接 DG，以下四个结论： EAB=BFE=DAG； ACFADG； AHAC = 2 A 2 ； DGAC . 其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 14 （2022 福州模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，A = B = 90 ，O 为 AB 中点，过点 O 作OMCD 于点 M.E 是 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CE，DE，若CED = 90 且 = 43 .现给出以下结论： （1）ADE 与BEC 一定相似； （2）以点 O 为圆心，OA 长为半径作O，则O
6、与 CD 可能相离；（3）OM 的最大值是 52 ； （4）当 OM 最大时，CD = 12524 .其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 15 （2022 九下 福州期中）如图，在 RtABC 中，ACB= 90 ，CDAB 于点 D， AD=95， BD= 165，则 sinB= . 16 （2022 九上 福州开学考）如图，ABC、ADE 都是等腰直角三角形，BACDAE90 ，AB4，F 是 DE 的中点，若点 E 是直线 BC 上的动点，连接 BF，则 BF 的最小值是 17 （2022 九上 永春期中）若5=2，则= 18（2022 九上 永春期中）如图， 点 A 在线段上，
7、 在的同侧作等腰 和等腰 ， 与、分别交于点，对于下列结论： ； = ； = 40；22= 其中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号) 19 （2021 九上 泉州期末）如图，在平面直角坐标系中， 与 11 是以点 C 为位似中心的位似图形，则其相似比为 . 20 （2021 九上 福州月考）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四海.在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两岸同胞共同瞻仰.小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为 4.1 ，并在同一时刻测得一根长为 1.4 的竹竿的影长是 0.4 .请你帮她算一下，石雕妈祖像高是 m. 三
8、、综合题三、综合题 21 （2022 九下 泉州开学考）如图 1，在 中 = ， = 24 ， tan =512 . （1）求 的长； （2）如图 2，点 P 沿线段 从 B 点向 C 点以每秒 2 的速度运动，同时点 Q 沿线段 向 A点以每秒 1 的速度运动，且当 P 点停止运动时，另一点 Q 也随之停止运动，若 P 点运动时间为 t 秒. 若 = 时，求证： ；并求此时 t 的值. 点 P 沿线段 从 B 点向 C 点运动过程中， 是否存在 t 的值， 使 的面积最大； 若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由. 22 （2022 福建）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 =
9、 2+ 经过 A（4，0） ，B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直线 AB 的上方. （1）求抛物线的解析式； （2）若OAB 面积是PAB 面积的 2 倍，求点 P 的坐标； （3） 如图， OP交AB于点C， 交AB于点D.记CDP， CPB， CBO的面积分别为1， 2， 3.判断12+23是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 23 （2022 九下 厦门月考）如图，在正方形 ABCD 中，AB=4，点 G 在边 BC 上，连接 AG，作 DEAG于点 E，BFAG 于点 F，连接 BE、DF，设EDF=，EBF=，= . （1）求证：AE=BF； （2）求：
10、tan 与 tan 的数量关系； （3） 若点 G 从点 B 沿 BC 边运动至点 C 停止， 求点 E， F 所经过的路径与边 AB 围成的图形的面积. 24 （2022 福州模拟）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 有交点，且ABC + ADC = 90 .点E 与点 C 在 BD 同侧，连接 BE，CE，DE，若ABDCBE. （1）求证：DCCE； （2）若 =58， = 20，=516 ，求 BDE 的面积 25 （2022 九下 福州期中）如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线相交于点 O，点 E 为线段 AO 上一点（不含端点） ，点 F 是点 E 关于 AD 的对称
11、点，连接 CF 与 BD 相交于点 G. （1）证明：AF/BD； （2）若 = 1， = 2.求 BD 的长. 26 （2022 福州模拟）已知抛物线 y = mx2 -(1- 4 m)x + c 过点(1，a)，(- 1，a)，(0，- 1). （1）求抛物线的解析式； （2）已知过原点的直线与该抛物线交于 A，B 两点（点 A 在点 B 右侧） ，该抛物线的顶点为 C，连接 AC，BC，点 D 在点 A，C 之间的抛物线上运动（不与点 A，C 重合）. 当点 A 的横坐标是 4 时，若ABC 的面积与ABD 的面积相等，求点 D 的坐标； 若直线 OD 与抛物线的另一交点为 E，点 F
12、在射线 ED 上，且点 F 的纵坐标为- 2，求证： = . 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：设 = ，则 = 2 ， = = . 作 于 ， 则 = 90 = . 所以 . 所以 = ， 即 2=21 ， 解得 =52 . 于是 =52 ， = 5 . 所以 = 2+ 2= 52+ 12= 26 ， =12 =12 5 1 =52 . 又 ， 所以 = ()2= (5226)2=926 . 因此 =926=92652=4552 . 所以 四边形= =524552=8552 . 故答案为：B. 【分析】设 BC=a，则 AB=2a，DM=MC=a，作 MHAB 于
13、点 H，根据同角的余角相等可得EMH=FAB，证明EMHFAB，根据相似三角形的性质可得 a 的值，利用勾股定理可得 AF，根据三角形的面积公式可得 SABF，根据相似三角形的性质可得 SAEG，然后根据 S四边形BFGE=SABF-SAGE进行计算. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接 AC、BD，作 BMx 轴于 M，CNx 轴于 N， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y = 1和 y= 2 的图象上， A 与 C、B 与 D 关于原点对称， AC、BD 经过点 O， BOC=90 ， BCO= 12BCD=30 ， tan30
14、= = 33， BOM+NOC=90 ，NOC+NCO=90 ， BOM=NCO， OMB=CNO= 90 ， OMBCNO， =22， 12|1|12|2|=13， k10，k20， 即 12= 13 故答案为：A. 【分析】连接 AC、BD，作 BMx 轴于 M，CNx 轴于 N，根据菱形的性质和反比例函数图象的对称性得出BOC=90 ， BCO= 12BCD=30 ，然后根据正切三角函数定义求得 tan30 = = 33，再 证明OMBCNO，根据相似三角形的性质得出 =22，结合反比例函数系数 k 的几何意义即可求得结果. 3 【答案】C 【解析】【解答】解：ABCDEF，且相似比为
15、1：4， ABC 与DEF 的面积比为 1：16， 故答案为：C. 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：A 中等于 100 的角只能是等腰三角形的顶角，所以这两个等腰三角形相似，故正确，符合要求； B 中两个矩形虽然角度相同，但对应的边长比不相等时，两个矩形不相似，故错误，不符合要求； C 中等于 45 的角可以是等腰三角形的顶角或底角，当为顶角时，三角分别为 45，67.5，67.5；当为底角时，三角分别为 45，45，90，故这两个等腰三角形不相似，故错误，不符合要求； D 中当两个相似三角形的相似比为 1 时，两个三角形全等，故
16、错误，不符合要求. 故答案为：A. 【分析】对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似，全等是相似比为 1 时的特殊情况，故全等的图形一定相似，但相似的图形不一定全等，进而结合等腰三角形的性质及矩形的性质即可一一判断得出答案. 5 【答案】A 【解析】【解答】解：DE/AB， =32 的值为35. 故答案为：A. 【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得=，据此解答. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：OAB 和OCD 以原点 O 为位似中心，位似比为 13 ，且点 C 在第三象限， A 点坐标为（4，3） ， 又 A 点的对应点为 C 点， 点 C 的坐标为（-4 13，-3 13） ，即
17、(- 43 ，-1) . 故答案为：A. 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把 A 点的横纵坐标都乘以 13，结合 C点所在的象限，即可求解 7 【答案】C 【解析】【解答】解：A、4 = 3 ，xy=12，错误； B、 = 34 ，4x=3y，错误； C、4 = 3 ，3x=4y，正确； D、3 = 4 ，4x=3y，错误. 故答案为：C. 【分析】由比例的性质可知，内项之积等于外项之积，依此分别判断，即可作答. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接 CP，作 PE 交 AC 于点 E，使 = = = = 9， = 3 =13 13 + = + ，当 B、P、E
18、 三点共线，即 P 运动 P时有最小值 EB = = 1 = 2+ 2= 52 13 + 的最小值为52 故答案为：D. 【分析】连接 CP，作 PE 交 AC 于点 E，使CPE=PAC，证明PCEAPC，根据相似三角形的性质可得 EC=1，EP=13AP，则13AP+BP=EP+BP，当 B、P、E 三点共线，即 P 运动 P时有最小值 EB，然后利用勾股定理进行计算. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：在菱形 ABCD 中，对角线 BD 与 AC 互相垂直且平分， = ， AC 经过原点 O，且反比例函数 =的图象恰好经过 A，P 两点， 由反比例函数 =图象的对称性知： = =12
19、=12， =13. 过点 P 和点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 E 和 F， PECF ， ： = ： = ： = 1：3， 点 C 的坐标为（6，3） ， = 6， = 3， = 2， = 1， 点 P 的坐标为(2，1)， = 2 1 = 2. 故答案为：C. 【分析】由菱形的性质可得 PA=PC，由反比例函数 =图象的对称性知 = =12 =12，从而得出 PO=13OC，过点 P 和点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 E 和 F，可证OPEOCF，根据相似三角形对应边成比例及点 C 的坐标，可求出 OF、CF、OE、PE 的长，从而即可得出点 P 坐标，再将点 P 坐标代入 =中，即可
20、求出 k 值. 10 【答案】C 【解析】【解答】解：ADBC ACB=DAC 又B=ACD=90 ABCDCA SABC：SDCA=AB2：CD2=22：32=4：9 故答案为：C. 【分析】由平行线的性质可得ACB=DAC，结合B=ACD=90 ，可证ABCDCA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得 SABC：SDCA=AB2：CD2，据此即得结论. 11 【答案】27 【解析】【解答】解：设较大多边形的面积为 x， 两个多边形相似，周长比为 2：3， 面积比=4：9， 12：x=4：9， 解得 x=27. 故答案为：27. 【分析】设较大多边形的面积为 x，根据相似多边形的周长
21、比等于相似比，而面积比等于相似比的平方，建立关于 x 的方程求解即可. 12 【答案】1092 【解析】【解答】 解： 如图， 在 上截取 = = 2 ， 过 作 / 交 于点 ，把 绕 逆时针旋转得 ，连接 ， 则 ， = ， = ， = = 90 ， 又 于点 ， = ， =34 ， tan =34 ， ： = 3：4：5 ， 又/ ， ， 又 ， ， = ， = ， 又 + = + ， = ， ， =54 ， 又 ， = ， = =35 2 =65 ， = ， = ， / ， + = 180 ， = 180 = 90 ， 在 中，由勾股定理得， = 2+ 2= 42+ (65)2=251
22、09 ， =54 =5425109 =1092 . 故答案为： 1092 . 【分析】 在 上截取 = = 2 ， 过 作 / 交 于点 ， 把 绕 逆时针旋转得 ， 连接 ， 易求 ： = 3：4：5 ， 然后证明 ，可得 = ，再证 可得 =54 ，由 可得 =，从而求出 MN= 65， 证得 / ， 可求出 = 180 = 90 ， 在 中，由勾股定理求出 CE，利用 =54即可求解. 13 【答案】 【解析】【解答】解：如图，取 AB 和 EF 的交点为 O， 四边形 4EFG 和四边形 ABCD 均为正方形， EAG=BAD= 90 ， 又EAB= 90 -BAG， GAD = 90
23、 -BAG， EAB=GAD， AOE=BOF，AEO=FBO=90 ， EAB=BFE， EAB=BFE=DAG，故正确； 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形， AD=DC，AG= FG， AC= 2AD，AF= 2AG， = 2， = 2， =， 又DAG+GAC=FAC+GAC=45 ， DAG=CAF， ACFADG，故正确； 四边形 AEFG 和四边形 ABCD 均为正方形，AF、AC 为对角线， AFH= CACF=45 ， 又FAH=CAF， HAFFAC， =， 即 AF2 =AC AH， 又AF= 2AE， AH AC=2AE2 ，故错误； 由知ACFADG，
24、四边形 ABCD 为正方形， AC 为对角线， ADG=ACF =45 ， DG 在正方形另外一条对角线上， DGAC，故正确， 综上，正确的个数为 . 故答案为： . 【分析】正方形的性质得到EAG=BAD=90 ，根据余角的性质得出EAB =GAD；根据正方形的对角线等于边长的 2倍， 得到两组对边对应成比例， 再求出DAG=CAF， 则可判定 ACFADG；先证明HAFFAC，利用相似三角形的性质列比例式得到 AF2 =AC AH，结合 AF= 2AE，推出 AH AC=2AE2 ，即可作出判断；由知ACFADG，得出ADG=ACF=45 ，得出 DG 在正方形 ABCD 对角线 BD
25、上，根据正方形对角线互相垂直即可判断. 14 【答案】（1） （3） （4） 【解析】【解答】解：A=B=90 ，CED = 90 ， AED=BCE， ADE BEC. 故（1）正确； OMC= 90 ， ADM+AOM=180 ，ADM+MCB=180 ， AOM=MCB， 四边形 ADMO 与四边形 MOBC 相似， =， OM2=AD BC ADEBEC =34， AD BC=AE BE， OM2=AE BE， 即 OM2=AE (5-AE) ， OM2=-AE2+5AE. 当 AE=BE= 52时，OM 值最大，最大值为52 . 以点 O 为圆心，OA 长为半径作O，则O 与 CD
26、不可能相离， 故（2）错误， （3）正确， 当 OM 最大时，点 O 与点 E 重合（如图所示） ，AE=BE=OM=52 ， AEDMED，BCEMCE ， AD=MD，BC=MC， CD=AD+BC， =34，=34 ， 解得： =158 ， =103 ， CD=AD+BC= 12524 . 故答案为： （1） （3） （4） 【分析】 （1）根据同角的余角相等得出AED=BCE，再根据A=B=90 ，得出 ADE BEC，即可判断（1）正确； （2）证出四边形 ADMO 与四边形 MOBC 相似，得出 OM2=AD BC，根据ADEBEC，得出 AD BC=AE BE，从而得出 OM2=
27、AE BE=-AE2+5AE，得出当 AE=BE=52时，OM 值最大，最大值为52，即可判断（2）错误， （3）正确； （4）证出AEDMED，BCEMCE ，得出 AD=MD，BC=MC，从而得出 CD=AD+BC，再求出 AD，BC 的长，得出 CD 的长，即可判断（4）正确. 15 【答案】35 【解析】【解答】由 AD=95， BD= 165得出 AB=AD+BD=5， 由题意可知：ACB= 90 ，CDAB 于点 D， = = 90 由射影定理2= ， 得出： = 3 sin =35 故答案为35 【分析】利用已知条件求出 AB 的长，再利用射影定理求出 AC 的长，然后利用锐角三
28、角函数的定义求出 sinB 的值. 16 【答案】2 【解析】【解答】解：ABC、ADE 都是等腰直角三角形， ABCADE， ADEABE， 点 A，D，B，E 四点共圆， DAE90 ， DBE90 ， F 是 DE 的中点， BF12DE， 当 DE 最小时，BF 的值最小， 若点 E 是直线 BC 上的动点， 当 AEBC 时，AE 最小，此时，DE 最小， BAC90 ，AB4AC， BC42， AE444222， DE4， BF2. 故答案为：2. 【分析】易证ABCADE，得到ADEABE，则点 A，D，B，E 四点共圆，根据直角三角形斜边上中线的性质可得 BF12DE，故当 A
29、EBC 时，AE 最小，此时 DE 最小，根据等腰直角三角形的性质可得 BC，然后根据等面积法求出 AE，进而得到 DE，据此求解. 17 【答案】35 【解析】【解答】解：5=2， =25， 把 =25代入得： 25=35=35， 故答案为：35 【分析】根据已知等式，用含 x 的式子表示出 y，再将 y 的值代入所求代数式，合并并约分即可得出答案. 18 【答案】 【解析】【解答】解：BD 的同侧作等腰 RtABC 和等腰 RtADE， = 2， = 2， =， = ， + = + ， = ， ； 所以正确， ， = ， = ， ， =， = ， 所以正确； = ，BEA=CDA， = =
30、 = 45， 所以错误； 由得 = ， = ， ， = = 90， = 180 = 90， ， =， 2= ， = 2， 22= ， 所以正确 故答案为： 【分析】根据等腰直角三角形的性质易得=， = ，利用有两组边成比例，且夹角相等的两个三角形相似可得BAECAD，据此判断；根据相似三角形的对应角相等得BEA=CDA 结合PME=AMD，利用有两组角对应相等的两个三角形相似得PMEAMD，根据相似三角形的对应边成比例得=， 再将比例式化为等积式即可判断； 由全等三角形的性质得BEA=CDA，结合对顶角相等及三角形的内角和得 = = = 45，据此判断；结合的结论证 ，再证 ，根据相似三角形对
31、应边成比例得2= ，结合 = 2即可得出结论，据此即可判断. 19 【答案】2：1 【解析】【解答】解： 与 11 是以点 C 为位似中心的位似图形， 11 相似比为 :11= 22+ 42:12+ 22= 25:5 = 2:1 ， 故答案为： 2:1 . 【分析】利用位似图形就是相似图形，可得ABCA1B1C，利用勾股定理求出 AB，A1B1的长，然后求出两三角形的相似比. 20 【答案】14.35 【解析】【解答】解：如图，设石雕妈祖像高为 AB，影长为 BE，同一时刻竹竿高度为 CD，竹竿影长为 DE， ABCD， ABECDE， = ， 即 4.1=1.40.4 ， AB=14.35m
32、. 故答案为：14.35. 【分析】设石雕妈祖像高为 AB，影长为 BE，同一时刻竹竿高度为 CD，竹竿影长为 DE，易证ABECDE，然后根据相似三角形的性质求解即可. 21 【答案】（1）解：过 A 点作 BC 的垂线，垂足为 D 在 中， = tan =512 = ， = 24 BD= 12 = 12 AD= 12 512= 5 由勾股定理有 = 2+ 2 = 122+ 52= 144 + 25 = 169 = 13 （2）解：APC=APQ+QPC=BAP+ABC QPC=BAP 又 = ABC=ACB = 设运动了 t 秒，则 BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t
33、则 132=242 解得 t= 354 . 过 A 点作 BC 的垂线，垂足为 D，过 Q 点作 BC 垂线，垂足为 H，设运动了 t 秒， 则 BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t， ABC=ACB cos = cos 在 中 AB=13，AD=5 cos = cos =513 QH= 513 当 2t=24 时运动停止，即 0t12s =12 =12 513 =12 (24 2) 513 = 5132+6013 对称轴为 = 2= 60132513= 6 = 5132+6013 开口朝下，612， 当 t=6 时面积最大. 【解析】【分析】（1） 过 A 点作 BC 的垂
34、线， 垂足为 D ， 利用等腰三角形的性质可得 BD= 12 = 12， 由 = tan =512，可求出 AD=5，利用勾股定理求出 AB 即可； （2）设运动了 t 秒，则 BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t，证明 ，可得 =，代入相应数据求出 t 值即可； 过 A 点作 BC的垂线， 垂足为 D， 过 Q 点作 BC垂线， 垂足为 H， 设运动了t 秒 ， 则 BP=2t， PC=24-2t，AQ=13-t， QC=t， 利用 cos = cos =513 求出 QH= 513 .当 2t=24时运动停止， 即 0t12s ，从而求出 =12 = 5132+6013，
35、利用二次函数的性质求解即可. 22 【答案】（1）解：将 A（4，0） ，B（1，4）代入 = 2+ ， 得16 + 4 = 0 + = 4， 解得 = 43 =163. 所以抛物线的解析式为 = 432+163 （2）解：设直线 AB 的解析式为 = + ( 0)， 将 A（4，0） ，B（1，4）代入 = + ， 得4 + = 0 + = 4， 解得 = 43 =163. 所以直线 AB 的解析式为 = 43 +163. 过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，PM 交 AB 于点 N. 过点 B 作 BEPM，垂足为 E. 所以= + =12 +12 =12 ( + ) =32. 因为 A
36、（4，0） ，B（1，4） ，所以=12 4 4 = 8. 因为OAB 的面积是PAB 面积的 2 倍， 所以2 32 = 8， =83. 设(， 432+163)(1 4)，则(， 43 +163). 所以 = (432+163) (43 +163) =83， 即432+203 163=83， 解得1= 2，2= 3. 所以点 P 的坐标为(2，163)或（3，4）. （3）解： = 记CDP，CPB，CBO 的面积分别为1，2，3.则12+23=+=2 如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 (1，4)， (1，0) = 1 ， =， 设(， 432+163)(
37、1 4) 直线 AB 的解析式为 = 43 +163. 设(， 43 +163)，则(， 43 +163) = 432+163 +43 163 =43(2 4 + 4) = 43(24+4)4=1 整理得4 = 2 + 4 12+23=+=2 = 2 = 2( ) = 2( 2+44) = 12(2 5 + 4) = 12( 52)2+98 =52时，12+23取得最大值，最大值为98 【解析】【分析】 （1）将 A（4，0） ，B（1，4）代入 y=ax2+bx 中进行计算可得 a、b 的值，据此可得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线 AB 的解析式，过点 P 作 PMx 轴，垂
38、足为 M，PM 交 AB 于点 N，过点 B 作 BEPM，垂足为 E，则根据三角形的面积公式可得 SPAB=SPNB+SPNA=32PN，根据点 A、B 的坐标结合三角形的面积公式可得 SOAB=8，根据OAB 的面积是PAB 面积的 2 倍可得 PN 的值，设 P（m，43m2+163m） ，则 N（m，43m+163） ，表示出 PN，结合 PN 的值可得 m 的值，进而可得点 P 的坐标； （3）易证OBCPDC，根据相似三角形的性质可得=，记CDP，CPB，CBO 的面积分别为 S1，S2，S3，则12+23=+=2，过点 B、P 分别作 x 轴的垂线，垂足分别 F、E，PE 交 A
39、B 于点 Q，过 D 作 x 的平行线，交 PE 于点 G，证明DPGOBF，设 P（m，43m2+163m） ，D （n， 43n+163） ， G （m， 43n+163） ， 表示出 PG、 DG， 根据相似三角形的对应边长比例可得 4n=m2-m+4，则12+23=2= 2，代入并结合二次函数的性质进行解答即可. 23 【答案】（1）证明：在正方形 ABCD 中，ABBCAD，BADABC90 . DEAG，BFAG， AEDBFA90 ， ADE+DAE90 . BAF+DAE90 ， ADEBAF， ABFDAE（AAS） ， AEBF； （2）解：在 和 中，tan =，tan
40、=， tantan=. 由（1）可知ADEBAG，AEDGBA90 ， AEDGBA， =， 由（1）可知，AEBF， =， =. 设= ，ABBC， = ， tantan= ， tantan； （3）解： DEAG，BFAG， AEDBFA90 ， 当点 G 从点 B 沿 BC 边运动至点 C 停止时，点 E 经过的路径是以 AD 为直径， 圆心角为 90 的圆弧，同理可得点 F 经过的路径，两弧交于正方形的中心点 O， 如图. ABAD4， 所围成的图形的面积为 SSAOB14 4 44. 【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质可得 ABBCAD，BADABC90 ，根据同角的余角相等可
41、得ADEBAF，然后证明ABFDAE，据此可得结论； （2） 根据三角函数的概念可得tantan=， 易证AEDGBA， 根据相似三角形的性质可得=，由（1）可知：AEBF，则=，设= ，ABBC，据此解答； （3）根据垂直的概念可得AEDBFA90 ，则当点 G 从点 B 沿 BC 边运动至点 C 停止时，点 E经过的路径是以 AD 为直径，圆心角为 90 的圆弧，据此计算. 24 【答案】（1）证明：ABDCBE BCE=BAD 四边形 ABCD 的内角和为 360，ABC + ADC = 90 BAD+BCD=360(ABC + ADC)=270 BCE+BCD=270 BCE+BCD
42、+DCE=360 DCE=90 即 DCCE （2）解：过点 A 作 AFCD 于点 F，过点 D 作 DGBE 于点 G，如图 ABDCBE =58 ，ABD=CBE =85 =85 20 = 32 ， =85 =516 =1212=516 =516 =51685 即 =12 AFCD sin =12 ADC=30 ABC + ADC = 90 ABC=60 ABD=CBE ABD+DBC=DBC+CBE 即DBG=ABC=60 在 RtDBG 中， = sin = 20 32= 103 =12 =12 32 103 = 1603 【解析】【分析】 （1）根据相似三角形的对应角相等可得BCE
43、=BAD，根据四边形的内角和为 360可得BAD+BCD=270 ，则BCE+BCD=270 ，然后结合周角为 360 求出DCE 的度数，据此证明； （2）过点 A 作 AFCD 于点 F，过点 D 作 DGBE 于点 G，根据相似三角形的性质可得 BE 的值，根据已知条件结合三角形的面积公式可得=516，进而求出 =12，由三角函数的概念得 sinADC的值，得到ADC 的度数，然后求出ABC 的度数，根据角的和差关系可得DBG=ABC=60 ，根据三角函数的概念求出 DG，然后根据三角形的面积公式进行计算即可. 25 【答案】（1）解：点 F 是点 E 关于 AD 的对称点， EADFA
44、D，AEAF， 四边形 ABCD 是矩形， OAOD OADODA， FADODA， AF/BD； （2）解：O 是矩形 ABCD 的对角线的交点， O 是 AC 的中点， AOCO12AC AF/BD， COGCAF，CGO F COGCAF =12 CG12CF G 为 CF 的中点， OG 是CAF 的中位线， AF2OG2 12， AE2， OE2， OAAEOE4， AC2OA8， BDAC8. 【解析】【分析】 （1）利用轴对称的性质可证得EADFAD，AEAF，利用矩形的性质可得到 OAOD；再利用等腰三角形的性质去证明FADODA；然后利用平行线的判定定理可证得结论. （2）
45、利用矩形的性质可知 AOCO12AC， 利用平行线的性质可证得COGCAF， CGO F，由此可推出COGCAF， 利用相似三角形的对应边成比例可得到 G 为 CF 的中点； 再利用三角形的中位线的性质可求出 AF 及 AE 的长；然后求出 OA 的长，即可求出 BD 的长. 26 【答案】（1）解：把(0，1)代入解析式中，得 c1 (1，a)，(- 1，a)关于抛物线的对称轴对称，且又关于 y 轴对称 抛物线的对称轴为 y 轴，即 14m=0 =14 故所求函数解析式为 =142 1 . （2）解：过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，如图 点 A 在抛物线上，点 A 的横坐标
46、4 =14 42 1 = 3 点 A 的坐标为(4，3) 设直线 AB 的解析式为 y=ax，把点 A 坐标代入得： =34 即直线 AB 解析式为 =34 联立 =34 与二次函数 =142 1 ，即 =34 =142 1 消去 y，得 2 3 4 = 0 解得 1= 1，2= 4 （舍去） = 34 即点 B 的坐标 (1，34) OC=1 = + =12 1 1 +12 1 4 =52 设点 D 的坐标为 (，142 1) ，则可得点 H 的坐标为 (，34) =34 (142 1) = 142+34 + 1 = += =52 12 ( + 1) +12 (4 ) =52 即 12 5
47、=52 DH=1 即 142+34 + 1 = 1 解得 n=3，n=0(舍去) 当 n=3 时， 14 32 1 =54 点 D 的坐标为 (3，54) 由题意知，点 D 在第四象限，点 E 在第二象限 设 OD 的解析式为 y=kx， (1，1) ， (2，2) ，则 1= 1，2= 2 联立 = =142 1 消去 y 得关于 x 的一元二次方程 2 4 4 = 0 由题意知， 1，2 是此一元二次方程的两个实数根 由根与系数的关系可得： 1+ 2= 4 ， 12= 4 1+ 2= (1+ 2) = 42 ， 12= 212= 42 1+212=11+12= 1 即 12= 111 过点
48、 E 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 G，过点 D、F 作 x 轴的平行线交 EG 于点 N、M，如图 则 DNFMOG =21 ， =2+21+2 2+22= 1 +22= 1 + 2(1 11) = 121 ， 1+21= 121 1+21=2+22 即 21=2+21+2 = 【解析】【分析】 （1）把（0，-1）代入解析式中可得 c-1，易得抛物线的对称轴为 y 轴，即 1-4m=0，求出 m 的值，进而可得抛物线的解析式； （2）过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，将 x=4 代入抛物线解析式中求出 y 的值，得点 A 的坐标，求出直线 AB 的解析式，联立抛物线抛物线
49、求出 x、y，可得点 B 的坐标，然后由三角形的面积公式求出 SABC，设 D （n， 14n2+1） ， 则 H （n， 34n） ，表示出 DH，由 SABD=SBHD+SAHD=SABC求出 DH，进而可得 n 的值，据此可得点 D 的坐标； 由题意知：点 D 在第四象限，点 E 在第二象限，设 OD 为 y=kx，D（x1，y1） ，E（x2，y2） ，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得 x1+x2=4k， x1x2=-4， 表示出y1+y2， y1y2， 进而得到 12= 1 11，过点 E 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 G， 过点 D、 F 作 x 轴的平行线交 EG 于点 N、 M， 则 DNFMOG，结合平行线分线段成比例的性质证明即可