1、 专题专题 17 17 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中 = 90， = 60，AB8，点 A 对应直尺的刻度为 12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得ABC 移动到 ，点对应直尺的刻度为 0，则四边形的面积是（ ） A96 B963 C192 D1603 2如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形 ABC，其中 ABAC， = 27，BC44cm，则高 AD 约为（ ） （参考数据：sin27 0.45，cos27 0.89，tan27 0.51） A9.90cm B11.22cm C19.58cm D22.44cm 3（2021 福建）如图， 点
2、F 在正五边形 的内部， 为等边三角形， 则 等于 （ ） A108 B120 C126 D132 4 （2021 宁德模拟）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A2，3，4 B2，3，5 C2，2，4 D2，2，5 5 （2021 泉州模拟）如图，在矩形 中，对角线 与 相交于点 O， 于点 O，交 于点 E，若 的周长为 5， = 2 ，则 的长为（ ）. A2 B2.5 C3 D4 6 （2021 福建模拟）如图所示，在正五边形 中，过顶点 A 作 ，垂足为点 F，连接对角线 ，则 的度数是（ ） A16 B18 C24 D28 7 （2021 湖里模拟）如图，在正方形中， =
3、20，AF 交对角线 BD 于点 E，交 CD 于点 F，则 =（ ）. A80 B70 C65 D60 8 （2021 南平模拟）如图，点 A，B，C 在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长为 1， 则 sinBAC 的值为（ ） A33 B3 C12 D55 9 （2021 石狮模拟）已知：等腰直角三角形 ABC 的腰长为 4，点 M 在斜边 AB 上，点 P 为该平面内一动点，且满足 PC2，则 PM 的最小值为（ ） A2 B2 2 2 C2 2 +2 D2 2 10 （2021 惠安模拟）如图，在 中，BD， 分别是 ，AB 边上的中线，且 BD 与 CE 相交于点 C，则 的值为
4、（ ） A13 B14 C16 D25 二、填空题二、填空题 11 （2022 福州模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AB = 5，A = B = 90 ，O 为 AB 中点，过点 O 作OMCD 于点 M.E 是 AB 上的一个动点（不与点 A，B 重合） ，连接 CE，DE，若CED = 90 且 = 43 .现给出以下结论： （1）ADE 与BEC 一定相似； （2）以点 O 为圆心，OA 长为半径作O，则O 与 CD 可能相离；（3）OM 的最大值是 52 ； （4）当 OM 最大时，CD = 12524 .其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 12 （2021 福建）如图，
5、是 的角平分线.若 = 90， = 3 ，则点 D 到 的距离是 . 13 （2021 厦门模拟）若直角三角形的两直角边长为 3、 4， 则该直角三角形的外接圆半径为 14 （2021 福建）如图， 在矩形 中， = 4， = 5 ， 点 E， F 分别是边 ， 上的动点，点 E 不与 A，B 重合，且 = ，G 是五边形 内满足 = 且 = 90 的点. 现给出以下结论： 与 一定互补； 点 G 到边 ， 的距离一定相等； 点 G 到边 ， 的距离可能相等； 点 G 到边 的距离的最大值为 22 . 其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 15 （2021 集美模拟）在平面直角坐标系 中
6、，点 (,) ， (,) ， (,) 在双曲线 =( 0) 上， 且 0 ， 0) 与双曲线 =1( 0) 交于 、 两点，连接 、 ， 轴于 ， 轴于 ， 设 ， 的解析式分别为 = ， = ，现有以下结论： 2 ； + = ；若 = 45 ，则 = 1 ； + 有最小值. 其中正确的是 .（写出所有正确结论的序号） 17 （2021 福建模拟）已知一个等腰三角形的一个外角为 82 ，则这个等腰三角形的底角为 . 18 （2021 海沧模拟）如图，RtAOB 的顶点 O 是坐标原点，点 B 在 x 轴上，OAB=90 ，反比例函数 =7 （ 0 ）的图象关于 AO 所在的直线对称，且与 AO
7、、AB 分别交于 D、E 两点，过点 A作 AHOB 交 x 轴于点 H，过点 E 作 EF / OB 交 AH 于点 G，交 AO 于点 F，则四边形 OHGF 的面 积为 19 （2021 福建模拟）如图，其中的 和 是由 分别沿着直线 ， 折叠得到的， 与 相交于点 ，若 = 140 ，则 = . 20 （2021 漳浦模拟）一块直角三角板的 30 角的顶点 落在 上，两边分别交 于 、 两点，若弦 = 1 ，则 的半径为 . 三、综合题三、综合题 21 （2022 福建）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 = 2+ 经过 A（4，0） ，B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直
8、线 AB 的上方. （1）求抛物线的解析式； （2）若OAB 面积是PAB 面积的 2 倍，求点 P 的坐标； （3） 如图， OP交AB于点C， 交AB于点D.记CDP， CPB， CBO的面积分别为1， 2， 3.判断12+23是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由. 22 （2022 福建）已知 ，ABAC，ABBC. （1）如图 1，CB 平分ACD，求证：四边形 ABDC 是菱形； （2）如图 2，将（1）中的CDE 绕点 C 逆时针旋转（旋转角小于BAC） ，BC，DE 的延长线相交于点 F，用等式表示ACE 与EFC 之间的数量关系，并证明； （3）如图 3，将
9、（1）中的CDE 绕点 C 顺时针旋转（旋转角小于ABC） ，若 = ，求ADB 的度数. 23 （2022 福州模拟）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 有交点，且ABC + ADC = 90 .点E 与点 C 在 BD 同侧，连接 BE，CE，DE，若ABDCBE. （1）求证：DCCE； （2）若 =58， = 20，=516 ，求 BDE 的面积 24 （2022 福建）如图，ABC 内接于O， 交O 于点 D， 交 BC 于点 E，交O 于点 F，连接 AF，CF. （1）求证：ACAF； （2）若O 的半径为 3，CAF30 ，求的长（结果保留 ）. 25 （2021
10、福建）如图，在 中， = 90 .线段 是由线段 平移得到的，点 F 在边 上， 是以 为斜边的等腰直角三角形，且点 D 恰好在 的延长线上. （1）求证： = ； （2）求证： = . 26 （2021 集美模拟）如图， 为 的外接圆，直径 于点 E，连接 . （1）求证： = ； （2）过点 D 作 / 交 于点 F. 请补全图形，并证明： =12 ； 若 的半径为 3， = ，连接 .求 的长度. 27 （2021 福建模拟）（模型构建）如图所示，在边长为 1 的正方形 中， 的顶点 E，F分别在 ， 上 （可与点 A， B， C 重合） ， 且满足 = 45 . 的高线 交线段 于点
11、G（可与 E，F 重合） ，设 = . （1）求 k 的值. （2）判断 k 的值是否改变.若改变，请求出 k 的取值范围；若不改变，请证明. （深入探究）在（模型构建）的基础上，设 的面积为 S. （3）求 S 的最小值； 当 S 取到最小值时，直接写出 与 的数量关系. 28 （2021 三明模拟）在ABC 和ADE 中，AC=BC，AD=AE，ACB=DAE=90 ，点 E 在 AB 上，点 F 在 EB 上，BCF=BDE. （1）如图，若 E 是 AB 中点，CE 延长线交 BD 于点 G，求证：CEFBEG； （2）如图，若 E 不是 AB 中点， 求证：CF= 12 BD； 求证
12、：EF=BF. 29 （2021 泉州模拟）如图，在 中， = 90 ， = 8 ， = 6 ，将 绕点 B按顺时针方向旋转得到 ， 当点 E 恰好落在线段 上时， 连接 ， 的平分线 交 于点 F，连接 . （1）求 的长； （2）求证：C、E、F 三点共线. 30 （2021 泉州模拟）如图 1，在 中，点 A 是优弧 上的一点，点 I 为 的内心，连接 并延长交 于点 D，连接 交 于点 E，连接 . （1）求证： ； （2）连接 ，求证： = ； （3）如图 2，若 = 24 ， tan =512 ，当 B、O、I 三点共线时，过点 D 作 / ，交 于点 G，求 的长. 答案解析部分
13、答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：依题意 ACCA为平行四边形， = 90， = 60，AB8，= 12. = 2 平行四边形 ACCA的面积= sin60 = 2sin60 = 2 8 12 32= 963 故答案为：B. 【分析】依题意可得 ACCA为平行四边形，根据含 30 角的直角三角形的性质可得 AC=2AB，然后结合平行四边形 ACCA的面积=AAACsin60进行计算. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：ABC 中，ABAC，AD 为 BC 边上的高， =12， BC44cm， =12 = 22cm. ABC，ABAC， = 27， = = 27. AD 为 B
14、C 边上的高， = 27， 在 中， = tan27 ， tan27 0.51， = 22cm， 0.51 22 = 11.22cm. 故答案为：B. 【分析】根据等腰三角形的性质可得 DC=12BC=22cm，ACB=ABC=27 ，然后根据三角函数的概念就可求出 AD. 3 【答案】C 【解析】【解答】 是正五边形， ABC= (52)1805 =108 ，AB=BC， 为等边三角形， ABF=AFB=60 ，AB=BF， BF=BC，FBC=ABC-ABF=48 ， BFC= 12(180 ) =66 ， =AFB+BFC=126 ， 故答案为：C. 【分析】根据多边形内角和公式求出AB
15、C 的度数，由正五边形的性质得出 AB=BC，根据等边三角形的性质，可得ABF=AFB=60 ，AB=BF，从而得出 BF=BC，求出FBC=ABC-ABF=48 ，利用等腰三角形的性质求出BFC 的度数，利用 =AFB+BFC 即得结论. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A 中，3+24，能够组成三角形， 符合题意； B 中，2+35，不能组成三角形，不符合题意； C 中，2+24，不能组成三角形，不符合题意； D 中，2+25，不能组成三角形，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据出判断即可. 5 【
16、答案】C 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， AOCO，BCAD， EOAC， AEEC， ABE 的周长为 5， AB+AE+BE5， 2+BC5， BC3AD， 故答案为：C. 【分析】由矩形的性质可得 AOCO，由线段垂直平分线的性质可得 AEEC，即可求解. 6 【答案】B 【解析】【解答】解： 五边形 是正五边形， = =180(52)5= 108 ， = ， = =12(180 ) = 36 ， = = 72 ， ， = 90 = 18 ， 故答案为：B. 【分析】先根据正五边形的内角和公式可得 和 的度数，再根据等腰三角形的性质可得 的度数，从而可得 的度数，然后根据
17、直角三角形的两锐角互余即可得. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：ABCD 是正方形， AD=CD，ADE=CDE，DE=DE， 在AED 和CED 中， ， AEDCED， ECD=DAF=20 ， CDE=45 ， CED=180 -20 -45 =115 ， BEC=180 -115 =65 . 故答案为：C. 【分析】证明AEDCED，可得ECD=DAF=20 ，利用三角形内角和求出CED=180 -ECD-CDE=115 ，利用邻补角的定义即可求解. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：根据勾股定理可以求得 = 22 、 = 2 、 = 10 2+ 2= 2 为直角三角形， = 9
18、0 根据三角函数的定义 sin =210=55 故答案为：D. 【分析】由网格图的特征和勾股定理可求得 AC、BC、AB 的值，由勾股定理的逆定理可判断ABC 是直角三角形，根据锐角三角函数 sinBAC=可求解. 9 【答案】B 【解析】【解答】解：如图： 等腰直角三角形 ABC 的腰长为 4， 斜边 AB4 2 ， 点 P 为该平面内一动点，且满足 PC2， 点 P 在以 C 为圆心，PC 为半径的圆上， 当点 P 在斜边 AB 的中线上时，PM 的值最小， ABC 是等腰直角三角形， CM 12 AB2 2 ， PC2， PMCMCP2 2 2， 故答案为：B. 【分析】利用勾股定理求出
19、斜边 AB 的长，利用垂线段最短，可知当点 P 在斜边 AB 的中线上时，PM的值最小，利用等腰直角三角形的性质求出 CM 的长，根据 PM=CM-PC，代入计算求出 PM 的长. 10 【答案】A 【解析】【解答】解： 点 O 是 AC ，AB 边上的中线 BD，CE 的交点， = 2 ， = ， = 2 ， = ， =13 ， =13 ， 故答案为：A. 【分析】由三角形的中线可得边的中点，可推出 BO=2OD，AD=CD，再证明=13，由此得到BOC 和ABC 的面积的比值. 11 【答案】（1） （3） （4） 【解析】【解答】解：A=B=90 ，CED = 90 ， AED=BCE，
20、 ADE BEC. 故（1）正确； OMC= 90 ， ADM+AOM=180 ，ADM+MCB=180 ， AOM=MCB， 四边形 ADMO 与四边形 MOBC 相似， =， OM2=AD BC ADEBEC =34， AD BC=AE BE， OM2=AE BE， 即 OM2=AE (5-AE) ， OM2=-AE2+5AE. 当 AE=BE= 52时，OM 值最大，最大值为52 . 以点 O 为圆心，OA 长为半径作O，则O 与 CD 不可能相离， 故（2）错误， （3）正确， 当 OM 最大时，点 O 与点 E 重合（如图所示） ，AE=BE=OM=52 ， AEDMED，BCEMC
21、E ， AD=MD，BC=MC， CD=AD+BC， =34，=34 ， 解得： =158 ， =103 ， CD=AD+BC= 12524 . 故答案为： （1） （3） （4） 【分析】 （1）根据同角的余角相等得出AED=BCE，再根据A=B=90 ，得出 ADE BEC，即可判断（1）正确； （2）证出四边形 ADMO 与四边形 MOBC 相似，得出 OM2=AD BC，根据ADEBEC，得出 AD BC=AE BE，从而得出 OM2=AE BE=-AE2+5AE，得出当 AE=BE=52时，OM 值最大，最大值为52，即可判断（2）错误， （3）正确； （4）证出AEDMED，BCE
22、MCE ，得出 AD=MD，BC=MC，从而得出 CD=AD+BC，再求出 AD，BC 的长，得出 CD 的长，即可判断（4）正确. 12 【答案】3 【解析】【解答】如图，过 D 作 ，则 D 到 的距离为 DE 平分 ， = 90， = 3 ， = = 3 点 D 到 的距离为 3 . 故答案为 3 . 【分析】过 D 作 ，根据角平分线的性质可得 = = 3，据此即得结论. 13 【答案】52 【解析】【解答】解：直角三角形的两直角边长为 3、4， 斜边长= 32+ 42 =5， 直角三角形的外接圆半径= 52 故答案为： 52 【分析】利用勾股定理求出斜边长为 5，直角三角形的外接圆的
23、直径为斜边，据此即得结论. 14 【答案】 【解析】【解答】 = 90 = = 45 四边形 是矩形 = 90 = 90 ，四边形内角和为 360 + = 180 正确. 如图：过 作 ， = = 90 + = 180 ， + = 180 = 又 = () = 即点 G 到边 ， 的距离一定相等 正确. 如图：过 作 ， 12 = 2， 12 = 3 sin45 = 4 22， sin45 = 5 22 4 22 2，5 22 3 而 2 0) 上， x1y1=x2y2=k=1. 将 y=-x+m 代入 =1 中，整理得：x2-mx+1=0， x1x2=1 x2=y1，x1=y2， ON=OM
24、，AM=BN. 在OMA 和ONB 中， AOMBON（SAS） ， OA=OB 结论，联立 = + =1 ， 消去 ，得 + =1 ， 即 2+ 1 = 0 ， 由判别式 = 2 4 (1) (1) 0 且 0 ， 解得 2 ，故正确； 结论，因 在变化，故不一定都成立； 结论，作 于点 ， OA=OB，AOB=45 ，AOMBON， AOH=BOH=22.5 ，AOM=BON=22.5 . 在AOM 和AOH 中， 9022.5 AOMAOH（AAS） ， 同理：BONBOH， AOMAOHBONBOH， SAOB=SAOH+SBOH=SAOM+SBON= 12 +12 = 1 故正确；
25、结论，双曲线 ， 两点关于直线 = 对称， 所以 ， 关于直线 = 对称， 所以 = 1 ， + = +1= ( 1)2+ 2 ， 当 1= 0 时， + 有最小值 2， 此时 = ，此时 ， 两点重合，与已知矛盾，故 + 2 ，无最小值，故错误. 故答案为：. 【分析】由直线 AB 与反比例函数图象有两个交点，可将直线和反比例函数的解析式联立方程组，整理成关于 x 的一元二次方程，并结合一元二次方程的根的判别式可得关于 m 的不等式，解不等式可得 m2； 因 m 在变化，故不一定都成立； 作 OHAB 于点 H，由题意用角角边可证AOMAOH，同理可得AOMAOHBONBOH，再由图形的构成
26、 SAOB=SAOH+SBOH=SAOM+SBON可求解； 由题意易得 OA、OB 关于直线 y=x 对称，于是 ab=1，但 ab，结合完全平方公式和 a+b 有最小值可得 a=b，与 ab 矛盾. 17 【答案】41 【解析】【解答】解：等腰三角形的一个外角为 82 ，则等腰三角形的一个内角为 98 ， 等腰三角形的底角是锐角 98 的角为等腰三角形的顶角 这个等腰三角形的底角为 12（180 98）= 41 故答案为：41 . 【分析】根据已知条件可得等腰三角形的一个内角为 98 ，确定出 98 为等腰三角形的顶角，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理就可求出底角的度数. 18
27、【答案】72 【解析】【解答】解： 反比例函数 =7 的图象关于 所在的直线对称， 直线 的解析式为 = ， = 45 ， ， / ， ， = = 45 ， 是等腰直角三角形， = = ， 设点 的坐标为 (，)( 0) ，点 的坐标为 (，7)( 0) ， = = = ， = = ， = = 7 ， = 7 ，即 2 =7 ， 则四边形 的面积为 =12 12 ， =12212( )2 ， =12(2 ) ， =72 ， 故答案为： 72 . 【分析】 先证AEF 为等腰直角三角形，得 AG=EG=FG，设点的坐标为 A(a，a)(a0） ，点 E 的坐标为 E(b，7)(b0） ， 故 A
28、G=FG=EG=b-a， AH=OH=a， AG=AH-GH=a-7， 得 = 7， 即2 =7， 由四边形 =12 12 计算即得. 19 【答案】80 【解析】【解答】 是由 沿着直线 折叠得到的， BAE= = 140 ， EAC=360 -BAE- = 80 是由 沿着直线 折叠得到的 E=ACB=ACD ACD+EAC= +E = EAC=80 故答案为：80. 【分析】由翻折的性质可得BAE= = 140，E=ACB=ACD，根据周角可得EAC 的度数，根据三角形内角和可得ACD+EAC= +E 可得结果. 20 【答案】1 【解析】【解答】解：连接 OB、OC，如图所示： = 3
29、0 ， BOC=2A=60 ， OB=OC， BOC 是等边三角形， = 1 ， = = 1 ， 故答案为 1. 【分析】连接 OB、OC，根据圆周角定理得出BOC=2A=60 ，从而可得BOC 是等边三角形，可得 OB=BC=1. 21 【答案】（1）解：将 A（4，0） ，B（1，4）代入 = 2+ ， 得16 + 4 = 0 + = 4， 解得 = 43 =163. 所以抛物线的解析式为 = 432+163 （2）解：设直线 AB 的解析式为 = + ( 0)， 将 A（4，0） ，B（1，4）代入 = + ， 得4 + = 0 + = 4， 解得 = 43 =163. 所以直线 AB
30、的解析式为 = 43 +163. 过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，PM 交 AB 于点 N. 过点 B 作 BEPM，垂足为 E. 所以= + =12 +12 =12 ( + ) =32. 因为 A（4，0） ，B（1，4） ，所以=12 4 4 = 8. 因为OAB 的面积是PAB 面积的 2 倍， 所以2 32 = 8， =83. 设(， 432+163)(1 4)，则(， 43 +163). 所以 = (432+163) (43 +163) =83， 即432+203 163=83， 解得1= 2，2= 3. 所以点 P 的坐标为(2，163)或（3，4）. （3）解： = 记CD
31、P，CPB，CBO 的面积分别为1，2，3.则12+23=+=2 如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 (1，4)， (1，0) = 1 ， =， 设(， 432+163)(1 02 2 0 ，解得： 22 2 1 . S= 12 DG EF= 12 EF， 当 EF= 22 2 时，S 取最小值 2 1 . GB=（ 2 1 ）DG 【解析】【解答】解：(3) DEF 为等腰三角形，EF 为底， G 为 EF 中点，易得 GB= 12 EF= 2 1 ， =211 GB=（ 2 1 ）DG. 【分析】 （1）利用三点共线，可以求出 k=1； （2）当点 G 与点
32、 E 重合时，DG 取最小值，当点 F 与点 C 重合时，DG 取最大值，进而求出 k 的取值范围； （3）设 BE=m，BF=n，利用一元二次方程的根与系数的关系进行和不等式进行求解； 根据求出的 EF= 22 2 ，由于 DEF 为等腰三角形，EF 为底，所以 G 为 EF 中点，易得 GB= 2 1 ，进而可以求出 GB=（ 2 1 ）DG. 28 【答案】（1）解：方法一： 在ABC 中，ACBC，ACB90 ，E 是 AB 中点， CEBBEG90 ，CEBE. 在ABC 和ADE 中，ACBC，ADAE，ACBDAE90 ， ABCAED45 . GED45 . FCBBDE， F
33、CB+ABCBDE+GED. CFEBGE. CEFBEG. 方法二： 在ABC 中，ACBC，ACB90 ，E 是 AB 中点， CEBBEG90 ，CEBE. 在ABC 和ADE 中，ACBC，ADAE，ACBDAE90 ， ABCAED45 . ECB45 . FCBBDE， ECBFCBAEDBDE. 即ECFEBG. CEFBEG. （2）解：取 AB 的中点 M，连接 CM 并延长交 BD 于点 G. 由（1）中方法二可证CMFBMG. CFBG. 在ABC 中，ACBC，ACB90 ，M 是 AB 中点， BMG90 ,BM:AB1:2. DAE90 ， BADBMG. ABDA
34、BD， ADBMGB. =12 . BG 12 BD. CF 12 BD. 方法一： 连接 FG， 由知CMFBMG，BMG90 ， MFMG， MFG45 . 又ADAE，DAE90 ， AED45 . AEDMFG. GFDE. = . 由（2）知 BG 12 BD， BF 12 BE， EF=BF. 方法二： 由知CMFBMG，ADBMGB. MFMG， = 2 . AD2MG. 又ADAE， AE2MG2MF. 设 MFa,MEb， 则 EFab，BMAM2ab. BFBMMF2abaab. EFBF. 【解析】【分析】 （1） 根据等腰直角三角形的性质得出CEBBEG90 ， CEB
35、E， ABCAED45 . 从而求出GED=45 ，根据等腰三角形外角的性质得出CFEBGE，根据 AAS 可证CEFBEG. （2）取 AB 的中点 M，连接 CM 并延长交 BD 于点 G.可证CMFBMG，可得 CFBG， 证明ADBMGB，可得=12，可得 BG 12 BD，即得 CF 12 BD； 方法一： 连接 FG， 由知CMFBMG， BMG90 ， 可得 MFMG， 从而得出MFG45 ， 继而得出AEDMFG=45 ，可得 GFDE，利用平行线分线段成比例得出 =，由知 BG 12 BD，可得 BF 12 BE，即得 EF=BF. 29 【答案】（1）解：如图， 在 中，
36、= 90 ， = 8 ， = 6 ， 由勾股定理得： = 2+ 2= 82+ 62= 10 ， 由旋转的性质可知 = = 8 ， = = 6 ， = = 10 ， = = 90 ， = = 10 6 = 4 ， = 180 = 180 90 = 90 ， 在 中，由勾股定理得： = 2+ 2= 42+ 82= 45 ， = ， 平分 ， = ，即 是 斜边上的中线， =12 =12 45 = 25 . （2）证明：如图，连接 ， 由旋转的性质可知 = ， = ， = ， = = 90 ， 设 = = ，则 = =1802 ， = =1802 ， = ， 由（1）知 = =12 ， = ， =
37、， + = 180 ， + = 180 ，即 = 180 ， C、E、F 三点共线. 【解析】【分析】（1） 将 绕点 B 按顺时针方向旋转得到 ， 可得 = = 8, = =6, 从而可求 ，由 = ， 平分 ，可得 F 是 中点， =12 即可得到答案； （2） 连接 ， 由旋转的性质可知 = ， = ， = ， = = 90 ，先证 = ， 再证明 = ， 根据 + = 180 ， 可得 + = 180 ，即 = 180 ，得证 C、E、F 三点共线. 30 【答案】（1）证明：解法一：如图 1，连接 、 、 、 ， 点 I 为 的内心， 平分 ， = ， = ， = ， 点 D 在 的
38、中垂线上， = ， 点 O 在 的中垂线上， . 解法二：如图 1，连接 、 、 、 ， 图 1 点 I 为 的内心， 平分 ， = ， = ， 又 是半径， . （2）证明：如图 2，连接 ， 图 2 设 = 2 ， = 2 ， 由（1）知 = = ， 点 I 为 的内心， 平分 ， = = ， = ， = = ， = + = + ， = + = + ， = ， = . （3）解：如图 3，连接 ，作 于 K， 图 3 ， = 24 ， =12 = 12 ， 在 中， = 90 ， = tan = 12 512= 5 ， 又 ， =12 ， / ， ， ， = 90 ， ， = 90 ， =
39、 90 ， = 90 ， = ， 在 中， = 90 ， = sin ， 在 中， = 90 ， = sin ， = ， = = 5 ， = 2 = 10 . 【解析】【分析】 （1）解法一：连接 、 、 、 ，由内心的性质可知 为 的角平分线，根据相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等可知 = ， = ，根据等腰三角形三线合一可知点 DD 在 的中垂线上， 根据 = 可知点 O 在 的中垂线上， 进而即可得到结论；解法二：连接 、 、 、 ，由内心的性质可知 为 的角平分线，根据相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等可知 = ，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，且 是半径，即可得到结论； （2）如图 2，连接 ，设 = 2 ， = 2 ，由内心的性质可知 = = ， = = ，由同弧或等弧所对的圆周角相等可知 = = ，根据角的关系可以用 ， 表示出 和 ，进而通过等腰三角形的性质得到 = ； （3） 如图3， 连接 ， 作 于 ， 根据垂直平分线的性质可得 的长度， 在 中，根据三角函数的性质可得 的长度，根据等腰三角形垂径定理可知 =12 ，根据平行线的性质可得 ，则 = 90 ，根据同角的余角相等可得 = ，在 和 中根据三角函数的关系可得 = ，进而即可得到 的长