1、 专题专题 14 14 反比例函数反比例函数 一、单选题一、单选题 1如图，菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y = 1 和 y= 2 的图象上，若BCD=60 ，则 12 的值是（ ） A- 13 B- 23 C- 33 D- 3 2已知点 A（a，y1） ，B（a+1，y2）在反比例函数 y2+1（a 是常数）的图象上，且 y1y2，则 a的取值范围是（ ） Aa0 Ba0 C0a1 D1a0 3 （2022 九下 厦门月考）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 P，且 AC 过原点 O，ABx 轴，点 C 的坐标为（6，3） ，反比例函数 =的图象经过 A，P 两点，
2、则 k 的值是（ ） A4 B3 C2 D1 4 （2022 九下 厦门月考）点(3，)、(1，)在函数 = 1的图象上，则 a、b 的大小关系是（ ） A B C = D无法比较大小 5（2022 八下 洛江期末）若点(5，1)、 (3，2)、 (2，3)在反比例函数 = 5的图象上， 则1、 2、 3的大小关系是（ ） A3 1 2 B2 1 3 C3 2 1 D1 2 0)( 1下列结论正确的是（ ） A3 2 1 B2 1 3 C3 1 2 D2 3 1 9 （2021 九上 厦门期中）如图已知点 M 为反比例函数 = 上的一点，过点 M 向 x 轴引垂线，垂足为 P，连接 OM， 的
3、面积等于 3，则 k 的值为（ ） A3 B-3 C6 D-6 10 （2021 九上 鼓楼月考）下列四个函数图象，一定不过原点的是（ ） Ayx By 2 Cyx2 Dyx2 二、填空题二、填空题 11 （2022 九下 南平期中）如图，A、B 是函数 y6上两点，P 为一动点，作 PBy 轴，PAx 轴，下列说法：AOPBOP；SAOPSBOP；若 OAOB，则 OP 平分AOB；若 SBOP2，则 SABP4，正确有 （填序号） 12 （2022 九下 厦门月考）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，在温度不变的情况下，当容器的体积 V（单位：m3）变化时，气体的密度 （单位：kg/m3）随之
4、变化，已知密度 是体积 V 的反比例函数关系，它的图象如图所示，则当 = 3.3 kg/m3时，相应的体积 V 是 m3. 13 （2022 八下 泉州期末）如图，点 A（1，3）为双曲线 = 上的一点，连接 AO 并延长与双曲线在第三象限交于点 B，M 为 轴正半轴一上点，连接 MA 并延长与双曲线交于点 N，连接 BM、BN，已知MBN 的面积为 332 ，则点 N 的坐标为 . 14 （2022 福州模拟）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，在温度不变的情况下，当容器的体积 V（单位：m3）变化时，气体的密度 （单位：kg/m3）随之变化，已知密度 是体积 V 的反比例函数关系，它的图象如图
5、所示，则当 = 3.3 kg/m3时，相应的体积 V 是 m3. 15 （2022 福建）已知反比例函数 =的图象分别位于第二、第四象限，则实数 k 的值可以是 .（只需写出一个符合条件的实数） 16 （2022 八下 泉州期末）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y1 4 （x0）经过平行四边形 ABCD的对称中心 Q，双曲线 y2 （x0，0k4）经过平行四边形 ABCD 的顶点 B，C，且 A(3，0)，D(0，4)，则 k . 17 （2022 八下 洛江期末）已知一次函数1= + 与反比例函数2=的图象如图所示在第一象限内，当1 2时，则的取值范围是 18 （2021 福建）若反比
6、例函数 = 的图象过点 (1，1) ，则 k 的值等于 . 19 （2021 福建模拟）已知直线 = + 4( 0) 于 (1，1) ， (2，2)(1 0) 上， 且 0 ， 0)，它的图象犹如老师的打钩，因此人们称它为对钩函数（的一支）.下表是 y 与 x 的几组对应值： x 14 13 12 1 2 3 4 y 414 313 212 m 212 313 414 请你根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行探究. （1）其中 = . （2）如图，在平面直角坐标系中，已描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象
7、： （3）根据画出的函数图象特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律： 序号 函数图象的特征 函数变化规律 示例1 在直线 = 1右侧， 函数图象是呈上升状态 当 1时，y 随 x 的增大而增大 示例2 函数图象经过点(2，212) 当 = 2时， = 212 函数图象的最低点是(1，2) 在直线 = 1左侧， 函数图象呈下降状态 23 （2022 八下 洛江期末）已知：如图 1，点(4，)是反比例函数 =8( 0)图象上的一点 （1）求的值和直线的解析式； （2）如图 2，将反比例函数 =8( 0)的图象绕原点逆时针旋转45后，与轴交于点，求线段的长度； （3）如图 3，将直线绕原点逆时
8、针旋转45，与反比例函数 =8( 0)的图象交于点，求点的坐标 24 （2022 八下 泉州期末）如图，正比例函数 ykx 与反比例函数 = （x0）的图象相交于点 A（2，2） ，将直线 ykx 向下平移，得到直线 l.若直线 l 与该反比例函数的图象相交于点 B（3，n）. （1）求 m，n 的值； （2）连结 AB，OB，求AOB 的面积. 25 （2022 九下 厦门月考）如图 1，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘 A 中放置一个重物， 在右边活动托盘 B （可左右移动） 中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡.改变活动托盘 B 与点 O
9、的距离()， 观察活动托盘 B 中砝码的质量()的变化情况.实验数据记录如表 () 10 15 20 25 30 () 30 20 15 12 10 （1）把表中(，)的各组对应值作为点的坐标，在图 2 的坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点； （2） 观察所画的图象， 猜测y与x之间的函数关系， 求出函数关系式； 并求出当砝码的质量为24时，活动托盘 B 与点 O 的距离是多少？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，连接 AC、BD，作 BMx 轴于 M，CNx 轴于 N， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD， 菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数
10、y = 1和 y= 2 的图象上， A 与 C、B 与 D 关于原点对称， AC、BD 经过点 O， BOC=90 ， BCO= 12BCD=30 ， tan30 = = 33， BOM+NOC=90 ，NOC+NCO=90 ， BOM=NCO， OMB=CNO= 90 ， OMBCNO， =22， 12|1|12|2|=13， k10，k2 0 该反比例函数图象在第一和第三象限中均有 y 随着 x 的增大而减小 + 1， 1 2 0 + 1 1 0，可知该反比例函数图象在第一和第三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增加而减小，据此解答即可. 3 【答案】C 【解析】【解答】解：在菱形 AB
11、CD 中，对角线 BD 与 AC 互相垂直且平分， = ， AC 经过原点 O，且反比例函数 =的图象恰好经过 A，P 两点， 由反比例函数 =图象的对称性知： = =12 =12， =13. 过点 P 和点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 E 和 F， PECF ， ： = ： = ： = 1：3， 点 C 的坐标为（6，3） ， = 6， = 3， = 2， = 1， 点 P 的坐标为(2，1)， = 2 1 = 2. 故答案为：C. 【分析】由菱形的性质可得 PA=PC，由反比例函数 =图象的对称性知 = =12 =12，从而得出 PO=13OC，过点 P 和点 C 作 x 轴的垂线，垂足
12、为 E 和 F，可证OPEOCF，根据相似三角形对应边成比例及点 C 的坐标，可求出 OF、CF、OE、PE 的长，从而即可得出点 P 坐标，再将点 P 坐标代入 =中，即可求出 k 值. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：法一：当 x=-3 时，a=13 当 x=-1 时，b=1 ab 法二：函数 = 1中，k=-10 图象分布在第二、四象限，在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大 ab. 故答案为：B. 【分析】法一：将 x=-3、x=-1 分别代入 = 1中，求出 a、b 的值，再比较大小即可；法二：由于函数 = 1中，k=-10，可知图象分布在第二、四象限，在每一个象限 y 随 x
13、 的增大而增大，据此判断即可. 5 【答案】A 【解析】【解答】解：反比例函数的解析式是 = 5， = 5 0，函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， 点(5，1)、(3，2)、(2，3)在反比例函数 = 5的图象上， 点 A 和 B 在第二象限，点 C 在第四象限， 3 1 2 故答案为：A 【分析】由于 = 5 0，b0， kb0， =经过二、四象限，选项错误； B、 = + 中，k0，b=0， kb=0， = 0为 x 轴，选项错误； C、 = + 中，k0， kb0，b0， kb0， =经过一、三象限，选项错误； 故答案为：C. 【分析】y=ax+b（a0
14、） ，当 a0，b0 时，图象过一、二、三象；当 a0，b0 时，图象过一、三、四象限；当 a0 时，图象过一、二、四象限；当 a0，b0 时，图象过一、三象限；当 k 0)5( 0) ， 当 x0 时，反比例函数 y= 5 在第一象限， 当 x0 时，反比例函数 y=- 5 在第二象限， 又因为反比例函数图象是双曲线，因此 B 选项符合. 故答案为：B. 【分析】分 x0 与 x0 两种情况，根据新定义运算得出函数解析式，再根据反比例函数的图象和性质进行判断即可. 8 【答案】C 【解析】【解答】解： 3 1， 0， 反比例函数 =( 0)的图象在第二、四象限， 反比例函数的图象过点(3，1
15、)、(1，2)、(2，3)， 点(3，1)、(1，2)在第四象限，(2，3)在第二象限， 2 1 0， 3 1 2 故答案为：C. 【分析】由题意可得反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，据此进行比较. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：OPM 的面积等于 3，M（x，y） ， 12 = 3 ， xy=6， 点 M 为反比例函数 = 上的一点， k=xy=6. 故答案为：C. 【分析】根据OPM 的面积为 3 可得12xy=3，求出 xy 的值，然后结合反比例函数图象上点的坐标特征就可得到 k 的值. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：A、 y=x 是
16、正比例函数，其图象一定经过原点，不符合题意； B、 =2 是反比例函数，不经过原点，符合题意； C、 = 2 是二次函数，开口向下，其对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，0） ，故其图象一定经过原点，不符合题意； D、 = 2 是二次函数，开口向上，其对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，0） ，经过原点，不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，即可判断 A；根据反比例函数的图象是两条断开的曲线，由于自变量的取值不能为 0，函数值也不可能是 0，所以图象的两支一定不会与坐标轴相交，据此即可判断 B；二次函数 y=ax2的图象对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0
17、，0） ，据此即可判断C、D. 11 【答案】 【解析】【解答】解：点 P 是动点， BP 与 AP 不一定相等， BOP 与AOP 不一定全等，故不正确； 设 P（m，n） ， BPy 轴， PAx 轴， B（m， 6） ，A（6，n） AP=|6-m| SAOP=12 |6-m|n=12 |6-mn | 同理：SBOP=12 |6-n|m=12 |6-mn | SAOPSBOP； 故正确； 如图，过点 P 作 PFOA 于 F，PEOB 于 E， SBOP=12OB PE，SAOP=12OA PF SBOP =SAOP OB PE= OA PF OA=OB， PE=PF， PEOB，PFO
18、A OP 是AOB 的平分线，故正确； 如图，延长 BP 交 x 轴于 N，延长 AP 交轴于 M， AMy 轴，BNx 轴， 四边形 OMPN 是矩形， 点 A，B 在双曲线 y=6上， SAMO=SONB=3， SBOP=2， SPMO= SPNO=1， S矩形OMPN=2， mn=2， m=2 = |6 | = |3 | = 2|， = |6 | =4| =12 =12 2| 4|= 4故正确； 故答案为：. 【分析】由题意可得 BP 与 AP 不一定相等，据此可判断；设 P（m，n） ，则 B（m，6） ，A（6，n） ，表示出 AP， 根据三角形的面积公式可得 SAOP， 同理可得
19、SBOP， 据此判断； 过点 P 作 PFOA 于 F，PEOB 于 E，根据三角形的面积公式可得 OB PE= OA PF，结合 OA=OB 可得 PE=PF，然后结合角平分线的判定定理可判断；延长 BP 交 x 轴于 N，延长 AP 交轴于 M，则四边形 OMPN 是矩形，根据反比例函数 k 的几何意义可得 SAMO=SONB=3，则 S矩形OMPN=2，即 mn=2，表示出 BP、AB，然后根据三角形的面积公式可判断. 12 【答案】3 【解析】【解答】解：设密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 =， 把点（5，1.98）代入解 =，得 k=9.9， 密度 与体积 V 的反比例函数解析
20、式为 =9.9，V0. 当 = 3.3 时，V=9.93.3=3， 即当 = 3.3 kg/m3时，相应的体积 V 是 3m3. 故答案为：3. 【分析】设密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 =，把点（5，1.98）代入求出 k 的值，据此可得函数解析式，然后令 =3.3，求出 V 的值即可. 13 【答案】（ 92 ， 23 ） 【解析】【解答】解：将点 A 的坐标为（1，3）代入双曲线表达式 = ，一次函数表达式 y=mx， 解得 k=3，m=3 所以双曲线表达式 =3 ，一次函数表达式 y=3x 两函数联立： =3 = 3 ，解得 = 1 = 3 或 = 1 = 3 所以 B（-1，
21、-3） 设 BN 交 y 轴于 D，如图，设 N 点坐标为( ， 3 ) 设 BN 为 y=bx+c，将 B(-1，-3)，N( ， 3 )代入 3= + 3 = + 解得 =3 =3 3 所以 =3 +3 3 当 x=0 时， =3 3 所以 D（0， 3 3 ） 设 MN 为 y=px+q，将 A(1，3)，N( ， 3 )代入 3= + 3 = + 解得 = 3 =3+ 3 所以 = 3 +3+ 3 当 x=0 时， =3+ 3 所以 M（0， 3+ 3 ） 所以 MN=（ 3+ 3 ）-( 3 3 )=6 SMNB=SMND+SMBD， 12 6 +12 6 1 =332 ，解得 =9
22、2 ， 又N( ， 3 ) 点 N 的坐标为（ 92 ， 23 ）. 故答案为： （ 92 ， 23 ）. 【分析】设直线 AB 的解析式为 y=mx，由题意把点 A 的坐标分别代入反比例函数和直线 AB 的解析式可求得 m、k 的值，根据反比例函数是中心对称图形可知点 A、B 成中心对称，于是可得点 B 的坐标；设 BN 交 y 轴于 D，如图，设 N 点坐标为(a，3） ，设 BN 的解析式为 y=bx+c，把 B、N 的坐标代入直线 BN 的解析式计算可将 b、c 用含 a 的代数式表示出来，令 x=0 可将点 D 的坐标用含 a 的代数式表示出来；设 MN 为 y=px+q，把 A、N
23、 的坐标代入直线 MN 的解析式，将 p、q 用含 a 的代数式表示出来，令 x=0 可将点 M 的坐标用含 a 的代数式表示出来；则线段 MN 可用含 a 的代数式表示出来，然后根据三角形面积的构成 SMNB=SMND+SMBD可得关于 a 的方程，解方程可求解. 14 【答案】3 【解析】【解答】解：设密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 = ， 把点（5，1.98）代入解 = ，得 k=9.9， 密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 = 9.9 ，V0. 当 = 3.3 时，V= 9.93.3 =3， 即当 = 3.3 kg/m3时，相应的体积 V 是 3m3. 故答案为：3. 【分
24、析】设密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 = ，把点（5，1.98）代入可得 k 的值，据此可得反比例函数的解析式，然后将 =3.3 代入求出 V 的值即可. 15 【答案】-5（答案不唯一） 【解析】【解答】解：由反比例函数 =的图象分别位于第二、第四象限可知 k0， 实数 k 的值可以是-5； 故答案为：-5（答案不唯一）. 【分析】根据反比例函数图象所在的象限可得 k0，据此解答. 16 【答案】16 83 【解析】【解答】解：ABCD 是中心对称图形，且对称中心是对角线的交点， 点 Q 是平行四边形对角线的交点. 又平行四边形对角线互相平分， 点 Q 是 AC 中点，也是 BD 中
25、点. 设 Q（a，b） ，B（x1，y1） ，C（x2，y2） ， 由 A（3，0） ，D（0，4） ， 点 Q 是 BD 中点，则根据中点坐标公式，可得：x12a，y1+42b，则 y12b4； 点 Q 是 AC 中点，根据中点坐标公式，可得：x2+32a，y22b，则 x22a3. B（2a，2b4） ，C（2a3，2b） ， 点 B，C 在双曲线 2= 上，代入坐标得， 2a（2b4）k， （2a3）2bk， 2a（2b4）（2a3）2b， 即 4ab8a4ab6b，化简得 4a3b， 则可设 a3t，b4t， 点 Q 在双曲线 1=4 上，则 ab4， 3t4t4， 2=13 ， t
26、33 （负值舍去） ， a 3 ，b 433 ，即 Q 点坐标为（ 3 ， 433 ）. B 点坐标 x12a 23 ，y12b4 833 4 ， 代入双曲线 y2，得 kx1y1 23 （ 833 4 ）16 83 ， 故答案为：16 83 . 【分析】 由双曲线 y1 4 （x0）经过平行四边形 ABCD 的对称中心 Q， 可知点 Q 是平行四边形对角线的交点，设 Q（a，b） ，B（x1，y1） ，C（x2，y2） ，根据平行四边形的性质及中点坐标公式求出B（2a，2b4） ，C（2a3，2b） ，然后将 B，C 坐标代入在双曲线 2=中，可得 4a3b，可设 a3t，b4t，即得 Q（
27、3t，4t） ，将其代入1=4中，可求出 t 值，即得 a、b 值，从而得出 B 的坐标，将其代入2=中即可求出 k 值. 17 【答案】22时 x 的取值范围是 2x5， 故答案为：2x5 【分析】由图象可知当 2x0， I 随着 R 的增大而减小 ，则可求出 R 的范围，则可解答. 22 【答案】（1）2 （2）解：如图所示： （3）解：函数图象的最低点是(1，2)， 当 x=1 时， y 有最小值 2 ； 由图象可得当 0 0) 的图象于点 N， 则 OMON， 直线 ON 的解析式为 y = x， 由 =8 = ，解得： = 22 = 22或 = 22 = 22（舍去） 点 N（22，
28、22） OMON（22）2+（22）24； （3）解：如图 2，作 A 点关于直线 OB 的对称点 A1， 则 OA=OA1，AA1OB， 作 A1Cy 轴于点 C，作 ADx 轴于点 D， 易证1 ， OC=OD，A1C=AD， A 的坐标为（4，2） ， 1的坐标为(2，4)， 直线 AA1的解析式为： = 13 +103， 直线 OB 的解析式为： = 3， 由 =9 = 3，解得 =263 = 26或 = 263 = 26（负解舍去） 点(263，26) 【解析】【分析】 （1）把点 A（4，n）代入 =8中求出 n 值，再利用待定系数法求出射线 OA 解析式即可； （2）将 y 轴顺
29、时针旋转 45 ，交 =8( 0) 的图象于点 N，则 OMON，易得直线 ON 的解析式为y = x，再联立反比例函数解析式为方程组并解之，可得 N 的坐标，利用勾股定理求出 ON，即得 OM的长； （3）作 A 点关于直线 OB 的对称点 A1，则 OA=OA1，AA1OB，作 A1Cy 轴于点 C，作 ADx 轴于点 D，可证1 ，可得 OC=OD，A1C=AD，从而求出1的坐标为(2，4)，利用待定系数分别先求出直线 AA1的解析式 ，从而得出直线 OB 的解析式，然后联立 反比例函数解析式为方程组并解之即得点 B 坐标. 24 【答案】（1）解：由题意，将点 A（2，2）代入反比例函
30、数 = 中， 得：m=2 2=4， =4 ，再将 B（3，n）代入 =4 中，得：n= 43 ； 即 m=4，n= 43 ； （2）解：将点 A（2，2）代入 y=kx 中，得：2=2k，k=1， y=x， 直线 ykx 向下平移，得到直线 l， 设直线 l 的解析式为 y=x+b，且与 x 轴交点为 C， 将点 B（3， 43 ）代入，得：b= 53 ， 直线 l 的解析式为 y=x 53 ， 当 y=0 时，x= 53 ，OC= 53 ， 连接 AC，OABC， = = 1253 2 = 53 . 【解析】【分析】 （1） 将点 A（2，2）代入反比例函数 = 中求出 m 值，将点 B 的
31、坐标代入反比例函数解析式中可求出 n 值； （2）将点 A（2，2）代入 y=kx 中，可求出 y=x， 可设直线 l 的解析式为 y=x+b，且与 x 轴交点为 C，将 B （3， 43 ） 代入解析式中求出 b 值， 即得直线 l 的解析式为 y=x 53 ， 可求出 OC 的长， 连接 AC，由 OABC，可得= ，根据三角形面积公式即可求解. 25 【答案】（1）解：如图所示： （2）解：由图象猜测 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数， 设 y（k0） ， 把 x10，y30 代入得：k300， y300， 将其余各点代入验证均适合， y 与 x 的函数关系式为：y300； 把 y24 代入 y300得：x12.5， 当砝码的质量为 24g 时，活动托盘 B 与点 O 的距离是 12.5cm. 【解析】【分析】 （1）根据表格中的数据，描点画图即可； （2） 由图象知 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数，可设 y（k0） ，把 x10，y30 代入求出 k 值即得解析式； 把 y24 代入解析式中求出 x 值即得结论