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2023年福建省中考数学一轮复习专题训练14:反比例函数(含答案解析)

1、 专题专题 14 14 反比例函数反比例函数 一、单选题一、单选题 1如图,菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数 y = 1 和 y= 2 的图象上,若BCD=60 ,则 12 的值是( ) A- 13 B- 23 C- 33 D- 3 2已知点 A(a,y1) ,B(a+1,y2)在反比例函数 y2+1(a 是常数)的图象上,且 y1y2,则 a的取值范围是( ) Aa0 Ba0 C0a1 D1a0 3 (2022 九下 厦门月考)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 P,且 AC 过原点 O,ABx 轴,点 C 的坐标为(6,3) ,反比例函数 =的图象经过 A,P 两点,

2、则 k 的值是( ) A4 B3 C2 D1 4 (2022 九下 厦门月考)点(3,)、(1,)在函数 = 1的图象上,则 a、b 的大小关系是( ) A B C = D无法比较大小 5(2022 八下 洛江期末)若点(5,1)、 (3,2)、 (2,3)在反比例函数 = 5的图象上, 则1、 2、 3的大小关系是( ) A3 1 2 B2 1 3 C3 2 1 D1 2 0)( 1下列结论正确的是( ) A3 2 1 B2 1 3 C3 1 2 D2 3 1 9 (2021 九上 厦门期中)如图已知点 M 为反比例函数 = 上的一点,过点 M 向 x 轴引垂线,垂足为 P,连接 OM, 的

3、面积等于 3,则 k 的值为( ) A3 B-3 C6 D-6 10 (2021 九上 鼓楼月考)下列四个函数图象,一定不过原点的是( ) Ayx By 2 Cyx2 Dyx2 二、填空题二、填空题 11 (2022 九下 南平期中)如图,A、B 是函数 y6上两点,P 为一动点,作 PBy 轴,PAx 轴,下列说法:AOPBOP;SAOPSBOP;若 OAOB,则 OP 平分AOB;若 SBOP2,则 SABP4,正确有 (填序号) 12 (2022 九下 厦门月考)密闭容器内有一定质量的二氧化碳,在温度不变的情况下,当容器的体积 V(单位:m3)变化时,气体的密度 (单位:kg/m3)随之

4、变化,已知密度 是体积 V 的反比例函数关系,它的图象如图所示,则当 = 3.3 kg/m3时,相应的体积 V 是 m3. 13 (2022 八下 泉州期末)如图,点 A(1,3)为双曲线 = 上的一点,连接 AO 并延长与双曲线在第三象限交于点 B,M 为 轴正半轴一上点,连接 MA 并延长与双曲线交于点 N,连接 BM、BN,已知MBN 的面积为 332 ,则点 N 的坐标为 . 14 (2022 福州模拟)密闭容器内有一定质量的二氧化碳,在温度不变的情况下,当容器的体积 V(单位:m3)变化时,气体的密度 (单位:kg/m3)随之变化,已知密度 是体积 V 的反比例函数关系,它的图象如图

5、所示,则当 = 3.3 kg/m3时,相应的体积 V 是 m3. 15 (2022 福建)已知反比例函数 =的图象分别位于第二、第四象限,则实数 k 的值可以是 .(只需写出一个符合条件的实数) 16 (2022 八下 泉州期末)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 y1 4 (x0)经过平行四边形 ABCD的对称中心 Q,双曲线 y2 (x0,0k4)经过平行四边形 ABCD 的顶点 B,C,且 A(3,0),D(0,4),则 k . 17 (2022 八下 洛江期末)已知一次函数1= + 与反比例函数2=的图象如图所示在第一象限内,当1 2时,则的取值范围是 18 (2021 福建)若反比

6、例函数 = 的图象过点 (1,1) ,则 k 的值等于 . 19 (2021 福建模拟)已知直线 = + 4( 0) 于 (1,1) , (2,2)(1 0) 上, 且 0 , 0),它的图象犹如老师的打钩,因此人们称它为对钩函数(的一支).下表是 y 与 x 的几组对应值: x 14 13 12 1 2 3 4 y 414 313 212 m 212 313 414 请你根据学习函数的经验,利用上述表格所反映出的 y 与 x 之间的变化规律,对该函数的图象与性质进行探究. (1)其中 = . (2)如图,在平面直角坐标系中,已描出了上表中各对对应值为坐标的点,请根据描出的点,画出该函数的图象

7、: (3)根据画出的函数图象特征,仿照示例,完成下列表格中的函数变化规律: 序号 函数图象的特征 函数变化规律 示例1 在直线 = 1右侧, 函数图象是呈上升状态 当 1时,y 随 x 的增大而增大 示例2 函数图象经过点(2,212) 当 = 2时, = 212 函数图象的最低点是(1,2) 在直线 = 1左侧, 函数图象呈下降状态 23 (2022 八下 洛江期末)已知:如图 1,点(4,)是反比例函数 =8( 0)图象上的一点 (1)求的值和直线的解析式; (2)如图 2,将反比例函数 =8( 0)的图象绕原点逆时针旋转45后,与轴交于点,求线段的长度; (3)如图 3,将直线绕原点逆时

8、针旋转45,与反比例函数 =8( 0)的图象交于点,求点的坐标 24 (2022 八下 泉州期末)如图,正比例函数 ykx 与反比例函数 = (x0)的图象相交于点 A(2,2) ,将直线 ykx 向下平移,得到直线 l.若直线 l 与该反比例函数的图象相交于点 B(3,n). (1)求 m,n 的值; (2)连结 AB,OB,求AOB 的面积. 25 (2022 九下 厦门月考)如图 1,李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验:在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘 A 中放置一个重物, 在右边活动托盘 B (可左右移动) 中放置一定质量的砝码,使得仪器左右平衡.改变活动托盘 B 与点 O

9、的距离(), 观察活动托盘 B 中砝码的质量()的变化情况.实验数据记录如表 () 10 15 20 25 30 () 30 20 15 12 10 (1)把表中(,)的各组对应值作为点的坐标,在图 2 的坐标系中描出相应的点,用平滑曲线连接这些点; (2) 观察所画的图象, 猜测y与x之间的函数关系, 求出函数关系式; 并求出当砝码的质量为24时,活动托盘 B 与点 O 的距离是多少? 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解:如图,连接 AC、BD,作 BMx 轴于 M,CNx 轴于 N, 四边形 ABCD 是菱形, ACBD, 菱形 ABCD 的顶点分别在反比例函数

10、y = 1和 y= 2 的图象上, A 与 C、B 与 D 关于原点对称, AC、BD 经过点 O, BOC=90 , BCO= 12BCD=30 , tan30 = = 33, BOM+NOC=90 ,NOC+NCO=90 , BOM=NCO, OMB=CNO= 90 , OMBCNO, =22, 12|1|12|2|=13, k10,k2 0 该反比例函数图象在第一和第三象限中均有 y 随着 x 的增大而减小 + 1, 1 2 0 + 1 1 0,可知该反比例函数图象在第一和第三象限,且在每个象限内 y 随 x 的增加而减小,据此解答即可. 3 【答案】C 【解析】【解答】解:在菱形 AB

11、CD 中,对角线 BD 与 AC 互相垂直且平分, = , AC 经过原点 O,且反比例函数 =的图象恰好经过 A,P 两点, 由反比例函数 =图象的对称性知: = =12 =12, =13. 过点 P 和点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 E 和 F, PECF , : = : = : = 1:3, 点 C 的坐标为(6,3) , = 6, = 3, = 2, = 1, 点 P 的坐标为(2,1), = 2 1 = 2. 故答案为:C. 【分析】由菱形的性质可得 PA=PC,由反比例函数 =图象的对称性知 = =12 =12,从而得出 PO=13OC,过点 P 和点 C 作 x 轴的垂线,垂足

12、为 E 和 F,可证OPEOCF,根据相似三角形对应边成比例及点 C 的坐标,可求出 OF、CF、OE、PE 的长,从而即可得出点 P 坐标,再将点 P 坐标代入 =中,即可求出 k 值. 4 【答案】B 【解析】【解答】解:法一:当 x=-3 时,a=13 当 x=-1 时,b=1 ab 法二:函数 = 1中,k=-10 图象分布在第二、四象限,在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大 ab. 故答案为:B. 【分析】法一:将 x=-3、x=-1 分别代入 = 1中,求出 a、b 的值,再比较大小即可;法二:由于函数 = 1中,k=-10,可知图象分布在第二、四象限,在每一个象限 y 随 x

13、 的增大而增大,据此判断即可. 5 【答案】A 【解析】【解答】解:反比例函数的解析式是 = 5, = 5 0,函数的图象在第二、四象限,且在每个象限内,y 随 x 的增大而增大, 点(5,1)、(3,2)、(2,3)在反比例函数 = 5的图象上, 点 A 和 B 在第二象限,点 C 在第四象限, 3 1 2 故答案为:A 【分析】由于 = 5 0,b0, kb0, =经过二、四象限,选项错误; B、 = + 中,k0,b=0, kb=0, = 0为 x 轴,选项错误; C、 = + 中,k0, kb0,b0, kb0, =经过一、三象限,选项错误; 故答案为:C. 【分析】y=ax+b(a0

14、) ,当 a0,b0 时,图象过一、二、三象;当 a0,b0 时,图象过一、三、四象限;当 a0 时,图象过一、二、四象限;当 a0,b0 时,图象过一、三象限;当 k 0)5( 0) , 当 x0 时,反比例函数 y= 5 在第一象限, 当 x0 时,反比例函数 y=- 5 在第二象限, 又因为反比例函数图象是双曲线,因此 B 选项符合. 故答案为:B. 【分析】分 x0 与 x0 两种情况,根据新定义运算得出函数解析式,再根据反比例函数的图象和性质进行判断即可. 8 【答案】C 【解析】【解答】解: 3 1, 0, 反比例函数 =( 0)的图象在第二、四象限, 反比例函数的图象过点(3,1

15、)、(1,2)、(2,3), 点(3,1)、(1,2)在第四象限,(2,3)在第二象限, 2 1 0, 3 1 2 故答案为:C. 【分析】由题意可得反比例函数的图象在第二、四象限,且在每一象限内,y 随 x 的增大而增大,据此进行比较. 9 【答案】C 【解析】【解答】解:OPM 的面积等于 3,M(x,y) , 12 = 3 , xy=6, 点 M 为反比例函数 = 上的一点, k=xy=6. 故答案为:C. 【分析】根据OPM 的面积为 3 可得12xy=3,求出 xy 的值,然后结合反比例函数图象上点的坐标特征就可得到 k 的值. 10 【答案】B 【解析】【解答】解:A、 y=x 是

16、正比例函数,其图象一定经过原点,不符合题意; B、 =2 是反比例函数,不经过原点,符合题意; C、 = 2 是二次函数,开口向下,其对称轴是 y 轴,顶点坐标为(0,0) ,故其图象一定经过原点,不符合题意; D、 = 2 是二次函数,开口向上,其对称轴是 y 轴,顶点坐标为(0,0) ,经过原点,不符合题意. 故答案为:B. 【分析】根据正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线,即可判断 A;根据反比例函数的图象是两条断开的曲线,由于自变量的取值不能为 0,函数值也不可能是 0,所以图象的两支一定不会与坐标轴相交,据此即可判断 B;二次函数 y=ax2的图象对称轴是 y 轴,顶点坐标为(0

17、,0) ,据此即可判断C、D. 11 【答案】 【解析】【解答】解:点 P 是动点, BP 与 AP 不一定相等, BOP 与AOP 不一定全等,故不正确; 设 P(m,n) , BPy 轴, PAx 轴, B(m, 6) ,A(6,n) AP=|6-m| SAOP=12 |6-m|n=12 |6-mn | 同理:SBOP=12 |6-n|m=12 |6-mn | SAOPSBOP; 故正确; 如图,过点 P 作 PFOA 于 F,PEOB 于 E, SBOP=12OB PE,SAOP=12OA PF SBOP =SAOP OB PE= OA PF OA=OB, PE=PF, PEOB,PFO

18、A OP 是AOB 的平分线,故正确; 如图,延长 BP 交 x 轴于 N,延长 AP 交轴于 M, AMy 轴,BNx 轴, 四边形 OMPN 是矩形, 点 A,B 在双曲线 y=6上, SAMO=SONB=3, SBOP=2, SPMO= SPNO=1, S矩形OMPN=2, mn=2, m=2 = |6 | = |3 | = 2|, = |6 | =4| =12 =12 2| 4|= 4故正确; 故答案为:. 【分析】由题意可得 BP 与 AP 不一定相等,据此可判断;设 P(m,n) ,则 B(m,6) ,A(6,n) ,表示出 AP, 根据三角形的面积公式可得 SAOP, 同理可得

19、SBOP, 据此判断; 过点 P 作 PFOA 于 F,PEOB 于 E,根据三角形的面积公式可得 OB PE= OA PF,结合 OA=OB 可得 PE=PF,然后结合角平分线的判定定理可判断;延长 BP 交 x 轴于 N,延长 AP 交轴于 M,则四边形 OMPN 是矩形,根据反比例函数 k 的几何意义可得 SAMO=SONB=3,则 S矩形OMPN=2,即 mn=2,表示出 BP、AB,然后根据三角形的面积公式可判断. 12 【答案】3 【解析】【解答】解:设密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 =, 把点(5,1.98)代入解 =,得 k=9.9, 密度 与体积 V 的反比例函数解析

20、式为 =9.9,V0. 当 = 3.3 时,V=9.93.3=3, 即当 = 3.3 kg/m3时,相应的体积 V 是 3m3. 故答案为:3. 【分析】设密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 =,把点(5,1.98)代入求出 k 的值,据此可得函数解析式,然后令 =3.3,求出 V 的值即可. 13 【答案】( 92 , 23 ) 【解析】【解答】解:将点 A 的坐标为(1,3)代入双曲线表达式 = ,一次函数表达式 y=mx, 解得 k=3,m=3 所以双曲线表达式 =3 ,一次函数表达式 y=3x 两函数联立: =3 = 3 ,解得 = 1 = 3 或 = 1 = 3 所以 B(-1,

21、-3) 设 BN 交 y 轴于 D,如图,设 N 点坐标为( , 3 ) 设 BN 为 y=bx+c,将 B(-1,-3),N( , 3 )代入 3= + 3 = + 解得 =3 =3 3 所以 =3 +3 3 当 x=0 时, =3 3 所以 D(0, 3 3 ) 设 MN 为 y=px+q,将 A(1,3),N( , 3 )代入 3= + 3 = + 解得 = 3 =3+ 3 所以 = 3 +3+ 3 当 x=0 时, =3+ 3 所以 M(0, 3+ 3 ) 所以 MN=( 3+ 3 )-( 3 3 )=6 SMNB=SMND+SMBD, 12 6 +12 6 1 =332 ,解得 =9

22、2 , 又N( , 3 ) 点 N 的坐标为( 92 , 23 ). 故答案为: ( 92 , 23 ). 【分析】设直线 AB 的解析式为 y=mx,由题意把点 A 的坐标分别代入反比例函数和直线 AB 的解析式可求得 m、k 的值,根据反比例函数是中心对称图形可知点 A、B 成中心对称,于是可得点 B 的坐标;设 BN 交 y 轴于 D,如图,设 N 点坐标为(a,3) ,设 BN 的解析式为 y=bx+c,把 B、N 的坐标代入直线 BN 的解析式计算可将 b、c 用含 a 的代数式表示出来,令 x=0 可将点 D 的坐标用含 a 的代数式表示出来;设 MN 为 y=px+q,把 A、N

23、 的坐标代入直线 MN 的解析式,将 p、q 用含 a 的代数式表示出来,令 x=0 可将点 M 的坐标用含 a 的代数式表示出来;则线段 MN 可用含 a 的代数式表示出来,然后根据三角形面积的构成 SMNB=SMND+SMBD可得关于 a 的方程,解方程可求解. 14 【答案】3 【解析】【解答】解:设密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 = , 把点(5,1.98)代入解 = ,得 k=9.9, 密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 = 9.9 ,V0. 当 = 3.3 时,V= 9.93.3 =3, 即当 = 3.3 kg/m3时,相应的体积 V 是 3m3. 故答案为:3. 【分

24、析】设密度 与体积 V 的反比例函数解析式为 = ,把点(5,1.98)代入可得 k 的值,据此可得反比例函数的解析式,然后将 =3.3 代入求出 V 的值即可. 15 【答案】-5(答案不唯一) 【解析】【解答】解:由反比例函数 =的图象分别位于第二、第四象限可知 k0, 实数 k 的值可以是-5; 故答案为:-5(答案不唯一). 【分析】根据反比例函数图象所在的象限可得 k0,据此解答. 16 【答案】16 83 【解析】【解答】解:ABCD 是中心对称图形,且对称中心是对角线的交点, 点 Q 是平行四边形对角线的交点. 又平行四边形对角线互相平分, 点 Q 是 AC 中点,也是 BD 中

25、点. 设 Q(a,b) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2) , 由 A(3,0) ,D(0,4) , 点 Q 是 BD 中点,则根据中点坐标公式,可得:x12a,y1+42b,则 y12b4; 点 Q 是 AC 中点,根据中点坐标公式,可得:x2+32a,y22b,则 x22a3. B(2a,2b4) ,C(2a3,2b) , 点 B,C 在双曲线 2= 上,代入坐标得, 2a(2b4)k, (2a3)2bk, 2a(2b4)(2a3)2b, 即 4ab8a4ab6b,化简得 4a3b, 则可设 a3t,b4t, 点 Q 在双曲线 1=4 上,则 ab4, 3t4t4, 2=13 , t

26、33 (负值舍去) , a 3 ,b 433 ,即 Q 点坐标为( 3 , 433 ). B 点坐标 x12a 23 ,y12b4 833 4 , 代入双曲线 y2,得 kx1y1 23 ( 833 4 )16 83 , 故答案为:16 83 . 【分析】 由双曲线 y1 4 (x0)经过平行四边形 ABCD 的对称中心 Q, 可知点 Q 是平行四边形对角线的交点,设 Q(a,b) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,根据平行四边形的性质及中点坐标公式求出B(2a,2b4) ,C(2a3,2b) ,然后将 B,C 坐标代入在双曲线 2=中,可得 4a3b,可设 a3t,b4t,即得 Q(

27、3t,4t) ,将其代入1=4中,可求出 t 值,即得 a、b 值,从而得出 B 的坐标,将其代入2=中即可求出 k 值. 17 【答案】22时 x 的取值范围是 2x5, 故答案为:2x5 【分析】由图象可知当 2x0, I 随着 R 的增大而减小 ,则可求出 R 的范围,则可解答. 22 【答案】(1)2 (2)解:如图所示: (3)解:函数图象的最低点是(1,2), 当 x=1 时, y 有最小值 2 ; 由图象可得当 0 0) 的图象于点 N, 则 OMON, 直线 ON 的解析式为 y = x, 由 =8 = ,解得: = 22 = 22或 = 22 = 22(舍去) 点 N(22,

28、22) OMON(22)2+(22)24; (3)解:如图 2,作 A 点关于直线 OB 的对称点 A1, 则 OA=OA1,AA1OB, 作 A1Cy 轴于点 C,作 ADx 轴于点 D, 易证1 , OC=OD,A1C=AD, A 的坐标为(4,2) , 1的坐标为(2,4), 直线 AA1的解析式为: = 13 +103, 直线 OB 的解析式为: = 3, 由 =9 = 3,解得 =263 = 26或 = 263 = 26(负解舍去) 点(263,26) 【解析】【分析】 (1)把点 A(4,n)代入 =8中求出 n 值,再利用待定系数法求出射线 OA 解析式即可; (2)将 y 轴顺

29、时针旋转 45 ,交 =8( 0) 的图象于点 N,则 OMON,易得直线 ON 的解析式为y = x,再联立反比例函数解析式为方程组并解之,可得 N 的坐标,利用勾股定理求出 ON,即得 OM的长; (3)作 A 点关于直线 OB 的对称点 A1,则 OA=OA1,AA1OB,作 A1Cy 轴于点 C,作 ADx 轴于点 D,可证1 ,可得 OC=OD,A1C=AD,从而求出1的坐标为(2,4),利用待定系数分别先求出直线 AA1的解析式 ,从而得出直线 OB 的解析式,然后联立 反比例函数解析式为方程组并解之即得点 B 坐标. 24 【答案】(1)解:由题意,将点 A(2,2)代入反比例函

30、数 = 中, 得:m=2 2=4, =4 ,再将 B(3,n)代入 =4 中,得:n= 43 ; 即 m=4,n= 43 ; (2)解:将点 A(2,2)代入 y=kx 中,得:2=2k,k=1, y=x, 直线 ykx 向下平移,得到直线 l, 设直线 l 的解析式为 y=x+b,且与 x 轴交点为 C, 将点 B(3, 43 )代入,得:b= 53 , 直线 l 的解析式为 y=x 53 , 当 y=0 时,x= 53 ,OC= 53 , 连接 AC,OABC, = = 1253 2 = 53 . 【解析】【分析】 (1) 将点 A(2,2)代入反比例函数 = 中求出 m 值,将点 B 的

31、坐标代入反比例函数解析式中可求出 n 值; (2)将点 A(2,2)代入 y=kx 中,可求出 y=x, 可设直线 l 的解析式为 y=x+b,且与 x 轴交点为 C,将 B (3, 43 ) 代入解析式中求出 b 值, 即得直线 l 的解析式为 y=x 53 , 可求出 OC 的长, 连接 AC,由 OABC,可得= ,根据三角形面积公式即可求解. 25 【答案】(1)解:如图所示: (2)解:由图象猜测 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数, 设 y(k0) , 把 x10,y30 代入得:k300, y300, 将其余各点代入验证均适合, y 与 x 的函数关系式为:y300; 把 y24 代入 y300得:x12.5, 当砝码的质量为 24g 时,活动托盘 B 与点 O 的距离是 12.5cm. 【解析】【分析】 (1)根据表格中的数据,描点画图即可; (2) 由图象知 y 与 x 之间的函数关系为反比例函数,可设 y(k0) ,把 x10,y30 代入求出 k 值即得解析式; 把 y24 代入解析式中求出 x 值即得结论