1、 专题专题 10 10 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1已知二次函数 = 2+ + 的图象交 x 轴于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，交 y 轴于点 C(0，3)，若 1+ 2= 4 ，且ABC 的面积为 3，则 a+b（ ） A3 B-5 C-3 D5 2已知 x，y 为实数，且满足 2 + 42= 4 ，记 = 2+ + 42 的最大值为 M，最小值为m，则 + = （ ）. A403 B6415 C13615 D315 3 （2022 九上 福建竞赛）已知实数 x，y 满足 26336276= 1 且 2 2 ，则 2+222 的值为（ ） A54 B45 C12
2、 D2 4 （2022 九下 泉州开学考）下列方程属于一元二次方程的是（ ） A2+ 2 = 0 B + = 3 C2 = 3 D2 +1= 5 5 （2022 八下 福州期末）下列一元二次方程两实数根和等于-4 的是（ ） A2+ 3 4 = 0 B2 4+ 4 = 0 C2+ 4 + 5 = 0 D2+4 + 4 = 0 6 （2022 福州模拟）我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是 864 平方步，其中长与宽和为 60 步，问长比宽多多少步？若设长比宽多x 步，则下列符合题意的方程是（ ）
3、 A(60 - x)x = 864 B60260+2 = 864 C(60 + x)x = 864 D(30 + x)(30 - x)= 864 7 （2022 九下 厦门月考）若关于 x 的方程2 2 + 1 = 0的一个根是-1，则 a 的值是（ ） A1 B1 C13 D3 8 （2022 九下 厦门开学考）为创建文明城市，某区 2020 年投入绿化资金 800 万元，2022 年计划投入960 万元，设每年投入资金的平均增长率为 x，则下列符合题意的方程是（ ） A800（1+2x）960 B800（1+x ）960 C800（1+x）2960 D800+800（1+x）+800（1+
4、x）2960 9 （2022 九下 厦门开学考）关于 x 的一元二次方程 x2+2021x+20220 的根的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 10 （2022 九下 尤溪开学考）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A2 + 2 = 0 B2 = 2x C( - 1)( - 2) = 0 D( 1)2 = 0 二、填空题二、填空题 11（2022 九下 厦门开学考）若 m 是方程 2x23x30 的一个根， 则 4m26m+2015 的值为 . 12 （2022 九下 南平期中）方程 x24x0 的实数解是 . 13 （20
5、22 福建）已知抛物线 = 2+ 2 与 x 轴交于 A，B 两点，抛物线 = 2 2 与 x 轴交于 C，D 两点，其中 n0，若 AD2BC，则 n 的值为 . 14 （2022 福州模拟）若 x = 1 是一元二次方程 x2 +(m - 1)x - 2 = 0 的解，则 m 的值是 . 15 （2022 九上 长汀月考）若关于 x 的一元二次方程( + 2)|+ 2 1 = 0是一元二次方程，则m= 16 （2022 九上 福州开学考）如果1 是方程 x2+mx10 的一个根，那么 m 的值为 17（2022九上 晋江月考）关于x的方程(2 )22+ 5 3 = 0是一元二次方程， 则m
6、 18 （2022 九上 永春期中）若关于 x 的方程 x22x+k0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 19 （2022 九上 福州开学考）某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为 5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加 15m2，设原来花圃长边为 xm，可列方程 20 （2022 八下 福州期末）已知 = 1是方程2+ = 0的一个根， 则2 2 + 2022 = 三、计算题三、计算题 21 （2022 八下 福州期末）解方程： （1）( 2) + 2 = 0 （2）2 6 + 8 = 2 22 （2022 九下 尤溪开学考）解方程： 2 +
7、 4x - 5 = 0. 23 （2022 福州模拟）解方程：x24x70. 24 （2022 九下 厦门开学考）解方程：x2+6x1=0. 四、综合题四、综合题 25 （2022 八下 福州期末）如图，学校要用一段长为 36 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为 16 米. （1）若矩形 ABCD 的面积为 144 平方米，求矩形的边 AB 的长. （2）要想使花圃的面积最大、AB 边的长应为多少米？最大面积为多少平方米？ 26 （2022 福州模拟）已知抛物线 y = mx2 -(1- 4 m)x + c 过点(1，a)，(- 1，a)，(0，- 1). （1）求抛物线的解析式； （
8、2）已知过原点的直线与该抛物线交于 A，B 两点（点 A 在点 B 右侧） ，该抛物线的顶点为 C，连接 AC，BC，点 D 在点 A，C 之间的抛物线上运动（不与点 A，C 重合）. 当点 A 的横坐标是 4 时，若ABC 的面积与ABD 的面积相等，求点 D 的坐标； 若直线 OD 与抛物线的另一交点为 E，点 F 在射线 ED 上，且点 F 的纵坐标为- 2，求证： = . 27 （2021 三明模拟）已知关于 x 的方程 x2 - 5x + m = 0 （1）若方程有一根为 - 1，求 m 的值； （2）若方程无实数根，求 m 的取值范围 28 （2021 厦门模拟）随着某市养老机构建
9、设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加. （1） 该市的养老床位数从 2018 年底的 2 万个增长到 2020 年底的 2.88 万个， 求该市这两年 （从 2018年底到 2020 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共 100 间，这三类养老专用房间分别为单人间（1 个养老床位） ，双人间（2 个养老床位） ，三人间（3 个养老床位） ，因实际需要，规划建造单人间的房间数为 t（10t30） ，且双人间的房间数是单人间的 2 倍.设该养老中心建成后能提供养老床位 y 个，求 y 与 t 的函数解析式，并求该养老中心建
10、成后最多提供养老床位多少个？ 29 （2022 九下 泉州开学考）关于 x 的方程 2+ (2 + 1) + 2+ 2 = 0 有两个实数根 x1，x2. （1）求实数 k 的取值范围； （2）若 x1，x2满足 |1| + |2| = 12 1 ，求 k 的值. 30 （2022 九下 泉州开学考）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”.假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的 m 个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有 121 人被号召成为“传递正能量志愿服务者”. （1）求出 m 的值； （2）经过计
11、算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少 10%，第一周后小丽比小颖多号召 2 人，三人一共号召 17 人，其中小颖号召了 n 人.请分别求出他们三人号召的成功率. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：依题意 1，2 为方程 2+ + = 0 的两根，且 = 3 . 所以 1+ 2= = 4 ， 12=3 . 所以 = |1 2| = (1+ 2)2 412= 16 4 3= 24 3 ， 所以 面积 =12 3 =12 24 3 3 =
12、 3 . 解得 = 1 ，经检验符合题意， = 4 = 4 . 因为函数 = 2 4 + 3 的图象与 x 轴有两个不同交点，因此 = 1 ， = 4 ， = 3 符合要求. 所以 + = 3 . 故答案为：C. 【分析】易得 x1+x2=4，x1x2=3，则 AB=|x1-x2|=(1+ 2)2 412= 243 ，根据三角形的面积公式可得 a 的值，然后求出 b 的值，据此计算. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：2 + 42= 4 ， 2+ 42= + 4 ， = 2+ + 42= 2 + 4 ， 5 = 4 + (2+ 42 4) = ( + 2)2 4 4 ， 当且仅当 = 2 ，
13、 即 = 2105 ， =105 ， 或 =2105 ， = 105 时，等号成立， 的最小值为 45 ， = 2+ + 42= 2 + 4 最小值为： 125 ， 即 =125 ， 3 = 4 (2+ 42 4) = 4 ( 2)2 4 ， 当且仅当 = 2 时， 即 =263 ， =63 ， 或 = 263 ， = 63 时等号成立， 的最大值为 43 ， = 2+ + 42= 2 + 4 的最大值为 203 ， 即 =203 ， + =203+125=13615 ， 故答案为：C. 【分析】利用已知等式可得 = 2+ + 42= 2 + 4 ，根据 5 = 4 + (2+ 42 4)=4
14、 ( 2)2，根据偶次幂的非负性知当且仅当 = 2时， 的最小值为 45，即可得出 = 2+ + 42= 2 + 4 最小值为 125 ，即 =125 ；根据 3 = 4 (2+ 42 4) = 4 ( 2)2 ，根据偶次幂的非负性当且仅当 = 2 时， 的最大值为 43，即得 M，再代入计算即可. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：26336276= 1 ，得 6 2633 276= 0 ， 即 ()626()3 27 = 0 . ()3= 1 或 ()3= 27 . 即 = 1 或 = 3 . 2 2 ，所以 = 3 ， 2+222=()2+1()21=9+191=54 . 故答案为：A
15、. 【分析】原方程可变形为 x6-26x3y3-27y6=0，给方程两边同时除以 y6，求出的值，根据 x2y2可得=3，给分式的分子、分母同时除以 y2，然后将=3 代入计算即可. 4 【答案】C 【解析】【解答】解：A.方程含有 2 个未知数，且未知数最高次数是 2，故该选项不符合题意； B.方程含有 2 个未知数且最高次数是 1，故该选项不符合题意； C.只含有 1 个未知数，未知数的最高次数是 2，故该选项符合题意； D.不是整式方程，故该选项不符合题意； 故答案为：C. 【分析】只含有 1 个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可. 5 【答案
16、】D 【解析】【解答】解：A、2+ 3 4 = 0， = 2 4 = 32+ 16 = 25 0，1+ 2= = 3，故 A 选项不符合题意； B、2 4+ 4 = 0， = 2 4 = (4)2 16 = 0，该方程有实根，且1+ 2= = 4，故 B 选项不符合题意； C、2+ 4+ 5 = 0， = 2 4 = 16 20 0 方程有两个不相等的实数根 故答案为：D. 【分析】先计算根的判别式=b2-4ac，进而由当0 时，方程由有个不相等的实数根，当=0 时，方程有两个相等的实数根，当0 时，方程无实数根，据此判断即可. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 2 + 2 0，=-
17、80，有两个不相等的实数根，错误； C、( - 1)( - 2) = 0 ，x2-3x+2=0，=9-8=10，有两个不相等的实数根，错误； D、( 1)2 = 0，x2-2x+1=0，=4-4=0，有两个相等的实数根，正确. 故答案为：D. 【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)根的判别式是=b2-4ac，当0 时，有两个不相等的实数根，当=0 时，有两个相等的实数根，当0 时，没有实数根。先把原方程化为一元二次方程的一般式，再求出值，即可判断. 11 【答案】2021 【解析】【解答】解：由题意知：22 3 3 = 0 22 3 = 3 42 6 + 2015 = 2 (22
18、3) + 2015 42 6 + 2015 = 2 3 + 2015 = 2021 故答案为：2021. 【分析】 将 x=m 代入 2x23x30 中，可得22 3 = 3，将原式变形为2(22 3) + 2015，再代入计算即可. 12 【答案】 = 0或 = 4 【解析】【解答】解：2 4 = ( 4) = 0 方程的实数解为 = 0或 = 4 故答案为： = 0或 = 4. 【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，且缺一次项，所以方程的左边易于利用提取公共因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可. 13 【答案】8 【解析】【解答】解： 把 y=0 代入 = 2+ 2 得：2+ 2
19、 = 0， 解得：1=24+42= 11 + ，2=2+4+42= 1+1 + ， 把 y=0 代入 = 2 2 得：2 2 = 0， 解得：3=24+42= 1 1 + ，4=2+4+42= 1 +1+ ， = 2， 2= 42， (1 4)2= 4(2 3)2， 即(11 + 1 1 + )2= 4(1+1 + 1 +1 + )2， (1 1+ )2= 4(1+1 + )2， 令1+ = ，则(1 )2= 4(1 )2， 解得：1=13，2= 3， 当1=13时，1 + =13，解得： = 89， 0， = 89不符合题意舍去； 当2= 3时，1 + = 3，解得： = 8， 80， =
20、8符合题意； 综上分析可知，n 的值为 8. 故答案为：8. 【分析】把 y=0 代入 y=x2+2x-n 中可得 x2+2x-n=0，利用公式法表示出 x1、x2，同理表示出 x3、x4，根据 AD=2BC 可得 AD2=4BC2，即(x1-x4)2=4(x2-x3)2，代入化简可得(11 + )2= 4(1 +1 + )2，然后利用换元法进行求解即可. 14 【答案】2 【解析】【解答】解：把 x=1 代入 x2 +(m - 1)x - 2 = 0 得， 1+m-1-2=0， 解得 m=2. 故答案为：2. 【分析】根据方程解的概念，将 x=1 代入原方程中可得关于 m 的方程，求解即可.
21、 15 【答案】2 【解析】【解答】解：因为是关于 x 的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则( + 2)|一定是二次项 所以得到 + 2 0| = 2 ， 解得 m=2 故答案为 2 【分析】根据一元二次方程的定义可得 +2 0| = 2，据此解答即可. 16 【答案】0 【解析】【解答】解：1 是方程 x2+mx10 的一个根， x1 满足方程 x2+mx10， 1m10， 解得 m0 故答案为：0 【分析】将 x=-1 代入方程，可得到关于 m 的方程，解方程求出 m 的值. 17 【答案】-2 【解析】【解答】解：依题意可得2 0，2 2 = 2， 解得 = 2 故答案为：-2
22、【分析】根据一元二次方程的定义（只有一个未知数，未知数的最高次数为 2，且二次项的系数不为 0的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（a0） ）即可求出答案. 18 【答案】 0， 解得 1 故答案为： 0， x= （4）4421=42112= 2 11 ， 1= 2 +11，2= 2 11 . 【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，首先找出二次项的系数 a、一次项的系数 b 及常数项 c 的值，然后算出根的判别式 b2-4ac 的值，根据判别式的值大于 0，得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式 =242即可求出方程的两根. 24 【答案】解：x2+6
23、x-1=0，a=1，b=6，c=-1， =66241（1）2= 3 10， 1= 3 +10，2= 310 【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，首先找出二次项的系数 a、一次项的系数 b 及常数项 c 的值， 然后算出根的判别式 b2-4ac 的值， 由判别式的值大于 0 可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式 =242求出方程的根. 25 【答案】（1）解：设矩形的边 AB 的长为 x 米，则有 = (36 2)，由题意得： (36 2) = 144， 解得：1= 6，2= 12， 墙长为 16 米， 036 2 16， 解得：10 18， = 12； 即矩形的边 AB
24、的长为 12 米； （2）解：设花园的面积为 y 平方米，由（1）可得： = (36 2) = 22+ 36 = 2( 9)2+ 162， -20，开口向下，对称轴为直线 x=9，且10 18， 当 x=10 时，y 有最大值，即为 = 10 (36 20) = 160， 答：当花圃的面积最大时，边 AB 的长为 10 米，最大面积为 160 平方米. 【解析】【分析】 （1）设矩形的边 AB 的长为 x 米，则 BC=(36-2x)m，根据矩形的面积公式可得关于 x的方程，求解即可； （2）设花园的面积为 y 平方米，由（1）可得：y=x(36-2x)，将其化为顶点式，然后结合二次函数的性质
25、进行解答. 26 【答案】（1）解：把(0，1)代入解析式中，得 c1 (1，a)，(- 1，a)关于抛物线的对称轴对称，且又关于 y 轴对称 抛物线的对称轴为 y 轴，即 14m=0 =14 故所求函数解析式为 =142 1 . （2）解：过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，如图 点 A 在抛物线上，点 A 的横坐标 4 =14 42 1 = 3 点 A 的坐标为(4，3) 设直线 AB 的解析式为 y=ax，把点 A 坐标代入得： =34 即直线 AB 解析式为 =34 联立 =34 与二次函数 =142 1 ，即 =34 =142 1 消去 y，得 2 3 4 = 0 解得
26、1= 1，2= 4 （舍去） = 34 即点 B 的坐标 (1，34) OC=1 = + =12 1 1 +12 1 4 =52 设点 D 的坐标为 (，142 1) ，则可得点 H 的坐标为 (，34) =34 (142 1) = 142+34 + 1 = += =52 12 ( + 1) +12 (4 ) =52 即 12 5 =52 DH=1 即 142+34 + 1 = 1 解得 n=3，n=0(舍去) 当 n=3 时， 14 32 1 =54 点 D 的坐标为 (3，54) 由题意知，点 D 在第四象限，点 E 在第二象限 设 OD 的解析式为 y=kx， (1，1) ， (2，2)
27、 ，则 1= 1，2= 2 联立 = =142 1 消去 y 得关于 x 的一元二次方程 2 4 4 = 0 由题意知， 1，2 是此一元二次方程的两个实数根 由根与系数的关系可得： 1+ 2= 4 ， 12= 4 1+ 2= (1+ 2) = 42 ， 12= 212= 42 1+212=11+12= 1 即 12= 111 过点 E 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 G，过点 D、F 作 x 轴的平行线交 EG 于点 N、M，如图 则 DNFMOG =21 ， =2+21+2 2+22= 1 +22= 1 + 2(1 11) = 121 ， 1+21= 121 1+21=2+22 即 21
28、=2+21+2 = 【解析】【分析】 （1）把（0，-1）代入解析式中可得 c-1，易得抛物线的对称轴为 y 轴，即 1-4m=0，求出 m 的值，进而可得抛物线的解析式； （2）过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H，将 x=4 代入抛物线解析式中求出 y 的值，得点 A 的坐标，求出直线 AB 的解析式，联立抛物线抛物线求出 x、y，可得点 B 的坐标，然后由三角形的面积公式求出 SABC，设 D （n， 14n2+1） ， 则 H （n， 34n） ，表示出 DH，由 SABD=SBHD+SAHD=SABC求出 DH，进而可得 n 的值，据此可得点 D 的坐标； 由题意知：点 D
29、 在第四象限，点 E 在第二象限，设 OD 为 y=kx，D（x1，y1） ，E（x2，y2） ，联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得 x1+x2=4k，x1x2=-4，表示出 y1+y2，y1y2，进而得到 12= 1 11，过点 E 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 G，过点 D、F 作 x 轴的平行线交 EG 于点 N、M，则 DNFMOG，结合平行线分线段成比例的性质证明即可. 27 【答案】（1）解： 方程有一根为 - 1， = 1 是该方程的根， (1)2 5 (1) + = 0 ，解得： = 6 ， 故 m 的值为-6. （2）解： 方程无实数根 = 2 4 = (5)2 4
30、 1 254 . 【解析】【分析】 （1）将 x=-1 代入方程，可得到关于 m 的方程，解方程求出 m 的值； （2）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c 是常数，且 a0）”中，当 b2-4ac0 时方程有两个不相等的实数根，当 b2-4ac=0 时方程有两个相等的实数根，当 b2-4ac0 时方程没有实数根，据此建立关于m 的不等式，然后求出不等式的解集. 28 【答案】（1）解：设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 x， 依题意得：2(1x)22.88 解得：x10.2，x22.2 x0， x0.2， 答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 20%； （2
31、）解：依题意得：yt2 2t3 (1003t)4t300，其中 10t30， k40， y 随 t 的增大而减小， 当 t10 时，y 取得最大值，最大值为4 10300260（个）. 答：该养老中心建成后最多提供养老床位 260 个. 【解析】【分析】 （1）设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 x，则 2019 年的养老床位数为2(1+x)万个，2020 年的养老床位数为 2(1+x)2万个，然后结合 2020 年底有 2.88 万个建立方程，求解即可； （2）根据单人间的房间数 1+双人间的房间数 2+三人间的房间数 3=总床位数可得 y 与 t 的关系式，然后结合一次函数的性质
32、进行求解. 29 【答案】（1）解：根据题意得（2k1）24（k22）0， 解得 k 74 ； （2）解：根据题意得 x1x2（2k1）0，x1x2k220， x10，x20， |x1|x2|x1x2|1， （x1x2）x1x21， 2k1k221， 整理得 k22k0，解得 k10，k22， k 74 ， k2. 【解析】【分析】 （1）由于方程由两个实数根，可得0，据此解答即可； （2） 由根与系数的关系可得 x1x2（2k1）0，x1x2k220，从而得出 x10，x20，将|1| + |2| = 12 1 去绝对值并整体代入可得关于 k 方程，求解即可. 30 【答案】（1）解：根据题
33、意得： m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121， m+1= 11， 解得：m1=10，m2=-12（舍去） 答：m 的值为 10； （2）解：根据题意，得小颖号召了 n 人，小丽号召了（n+2）人，小红号召了17-（n+2）-n=（15-2n）人， 小颖的成功率为 10 ，小红的成功率为 15210 ，小丽的成功率为 +210 ， 小红的成功率比小颖的两倍少 10%， 2 10 10% =15210 ， 解得：n=4， 所以小颖的成功率为 410= 40% ， 小红的成功率为 152410= 70% ， 小丽的成功率为 4+210= 60% ， 答：所以小颖的成功率为 40% ，小红的成功率为 70% ，小丽的成功率为 60% . 【解析】【分析】 （1）由题意可得第一周结束共有（m+1）个人参加，第二周可有 m（m+1）个人参加，第二周结束共有 m（m+1）+m+1 个人参加，进而列出方程并解之即可； （2）根据题意得小颖号召了 n 人，小丽号召了（n+2）人，小红号召了17-（n+2）-n=（15-2n）人， 从而得出小颖的成功率为 10 ，小红的成功率为 15210 ，小丽的成功率为 +210 ，根据“小红的成功率比小颖的两倍少 10%”列出方程并解之即可