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2023年福建省中考数学一轮复习专题训练10:一元二次方程(含答案解析)

1、 专题专题 10 10 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1已知二次函数 = 2+ + 的图象交 x 轴于 A(x1,0),B(x2,0)两点,交 y 轴于点 C(0,3),若 1+ 2= 4 ,且ABC 的面积为 3,则 a+b( ) A3 B-5 C-3 D5 2已知 x,y 为实数,且满足 2 + 42= 4 ,记 = 2+ + 42 的最大值为 M,最小值为m,则 + = ( ). A403 B6415 C13615 D315 3 (2022 九上 福建竞赛)已知实数 x,y 满足 26336276= 1 且 2 2 ,则 2+222 的值为( ) A54 B45 C12

2、 D2 4 (2022 九下 泉州开学考)下列方程属于一元二次方程的是( ) A2+ 2 = 0 B + = 3 C2 = 3 D2 +1= 5 5 (2022 八下 福州期末)下列一元二次方程两实数根和等于-4 的是( ) A2+ 3 4 = 0 B2 4+ 4 = 0 C2+ 4 + 5 = 0 D2+4 + 4 = 0 6 (2022 福州模拟)我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除捷法中记录了这样的一个问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”其大意是:矩形面积是 864 平方步,其中长与宽和为 60 步,问长比宽多多少步?若设长比宽多x 步,则下列符合题意的方程是( )

3、 A(60 - x)x = 864 B60260+2 = 864 C(60 + x)x = 864 D(30 + x)(30 - x)= 864 7 (2022 九下 厦门月考)若关于 x 的方程2 2 + 1 = 0的一个根是-1,则 a 的值是( ) A1 B1 C13 D3 8 (2022 九下 厦门开学考)为创建文明城市,某区 2020 年投入绿化资金 800 万元,2022 年计划投入960 万元,设每年投入资金的平均增长率为 x,则下列符合题意的方程是( ) A800(1+2x)960 B800(1+x )960 C800(1+x)2960 D800+800(1+x)+800(1+

4、x)2960 9 (2022 九下 厦门开学考)关于 x 的一元二次方程 x2+2021x+20220 的根的情况是( ) A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 10 (2022 九下 尤溪开学考)下列一元二次方程中,有两个相等实数根的是( ) A2 + 2 = 0 B2 = 2x C( - 1)( - 2) = 0 D( 1)2 = 0 二、填空题二、填空题 11(2022 九下 厦门开学考)若 m 是方程 2x23x30 的一个根, 则 4m26m+2015 的值为 . 12 (2022 九下 南平期中)方程 x24x0 的实数解是 . 13 (20

5、22 福建)已知抛物线 = 2+ 2 与 x 轴交于 A,B 两点,抛物线 = 2 2 与 x 轴交于 C,D 两点,其中 n0,若 AD2BC,则 n 的值为 . 14 (2022 福州模拟)若 x = 1 是一元二次方程 x2 +(m - 1)x - 2 = 0 的解,则 m 的值是 . 15 (2022 九上 长汀月考)若关于 x 的一元二次方程( + 2)|+ 2 1 = 0是一元二次方程,则m= 16 (2022 九上 福州开学考)如果1 是方程 x2+mx10 的一个根,那么 m 的值为 17(2022九上 晋江月考)关于x的方程(2 )22+ 5 3 = 0是一元二次方程, 则m

6、 18 (2022 九上 永春期中)若关于 x 的方程 x22x+k0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围为 19 (2022 九上 福州开学考)某小区中央花园有一块长方形花圃,它的宽为 5m,若长边不变,将短边扩大,使得扩大后的花圃形状为正方形,且面积比原来增加 15m2,设原来花圃长边为 xm,可列方程 20 (2022 八下 福州期末)已知 = 1是方程2+ = 0的一个根, 则2 2 + 2022 = 三、计算题三、计算题 21 (2022 八下 福州期末)解方程: (1)( 2) + 2 = 0 (2)2 6 + 8 = 2 22 (2022 九下 尤溪开学考)解方程: 2 +

7、 4x - 5 = 0. 23 (2022 福州模拟)解方程:x24x70. 24 (2022 九下 厦门开学考)解方程:x2+6x1=0. 四、综合题四、综合题 25 (2022 八下 福州期末)如图,学校要用一段长为 36 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃,墙长为 16 米. (1)若矩形 ABCD 的面积为 144 平方米,求矩形的边 AB 的长. (2)要想使花圃的面积最大、AB 边的长应为多少米?最大面积为多少平方米? 26 (2022 福州模拟)已知抛物线 y = mx2 -(1- 4 m)x + c 过点(1,a),(- 1,a),(0,- 1). (1)求抛物线的解析式; (

8、2)已知过原点的直线与该抛物线交于 A,B 两点(点 A 在点 B 右侧) ,该抛物线的顶点为 C,连接 AC,BC,点 D 在点 A,C 之间的抛物线上运动(不与点 A,C 重合). 当点 A 的横坐标是 4 时,若ABC 的面积与ABD 的面积相等,求点 D 的坐标; 若直线 OD 与抛物线的另一交点为 E,点 F 在射线 ED 上,且点 F 的纵坐标为- 2,求证: = . 27 (2021 三明模拟)已知关于 x 的方程 x2 - 5x + m = 0 (1)若方程有一根为 - 1,求 m 的值; (2)若方程无实数根,求 m 的取值范围 28 (2021 厦门模拟)随着某市养老机构建

9、设的稳步推进,拥有的养老床位不断增加. (1) 该市的养老床位数从 2018 年底的 2 万个增长到 2020 年底的 2.88 万个, 求该市这两年 (从 2018年底到 2020 年底)拥有的养老床位数的平均年增长率; (2)若该市某社区今年准备新建一养老中心,其中规划建造三类养老专用房间共 100 间,这三类养老专用房间分别为单人间(1 个养老床位) ,双人间(2 个养老床位) ,三人间(3 个养老床位) ,因实际需要,规划建造单人间的房间数为 t(10t30) ,且双人间的房间数是单人间的 2 倍.设该养老中心建成后能提供养老床位 y 个,求 y 与 t 的函数解析式,并求该养老中心建

10、成后最多提供养老床位多少个? 29 (2022 九下 泉州开学考)关于 x 的方程 2+ (2 + 1) + 2+ 2 = 0 有两个实数根 x1,x2. (1)求实数 k 的取值范围; (2)若 x1,x2满足 |1| + |2| = 12 1 ,求 k 的值. 30 (2022 九下 泉州开学考)为了响应“践行核心价值观,传递青春正能量”的号召,小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”.假定从一个人开始号召,每一个人每周能够号召相同的 m 个人参加,被号召参加的人下一周会继续号召,两周后,将有 121 人被号召成为“传递正能量志愿服务者”. (1)求出 m 的值; (2)经过计

11、算后,小颖、小红、小丽三人开始发起号召,但刚刚开始,他们就发现了问题,实际号召过程中,不是每一次号召都可以成功,而他们三人的成功率也各不相同,已知小红的成功率比小颖的两倍少 10%,第一周后小丽比小颖多号召 2 人,三人一共号召 17 人,其中小颖号召了 n 人.请分别求出他们三人号召的成功率. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解:依题意 1,2 为方程 2+ + = 0 的两根,且 = 3 . 所以 1+ 2= = 4 , 12=3 . 所以 = |1 2| = (1+ 2)2 412= 16 4 3= 24 3 , 所以 面积 =12 3 =12 24 3 3 =

12、 3 . 解得 = 1 ,经检验符合题意, = 4 = 4 . 因为函数 = 2 4 + 3 的图象与 x 轴有两个不同交点,因此 = 1 , = 4 , = 3 符合要求. 所以 + = 3 . 故答案为:C. 【分析】易得 x1+x2=4,x1x2=3,则 AB=|x1-x2|=(1+ 2)2 412= 243 ,根据三角形的面积公式可得 a 的值,然后求出 b 的值,据此计算. 2 【答案】C 【解析】【解答】解:2 + 42= 4 , 2+ 42= + 4 , = 2+ + 42= 2 + 4 , 5 = 4 + (2+ 42 4) = ( + 2)2 4 4 , 当且仅当 = 2 ,

13、 即 = 2105 , =105 , 或 =2105 , = 105 时,等号成立, 的最小值为 45 , = 2+ + 42= 2 + 4 最小值为: 125 , 即 =125 , 3 = 4 (2+ 42 4) = 4 ( 2)2 4 , 当且仅当 = 2 时, 即 =263 , =63 , 或 = 263 , = 63 时等号成立, 的最大值为 43 , = 2+ + 42= 2 + 4 的最大值为 203 , 即 =203 , + =203+125=13615 , 故答案为:C. 【分析】利用已知等式可得 = 2+ + 42= 2 + 4 ,根据 5 = 4 + (2+ 42 4)=4

14、 ( 2)2,根据偶次幂的非负性知当且仅当 = 2时, 的最小值为 45,即可得出 = 2+ + 42= 2 + 4 最小值为 125 ,即 =125 ;根据 3 = 4 (2+ 42 4) = 4 ( 2)2 ,根据偶次幂的非负性当且仅当 = 2 时, 的最大值为 43,即得 M,再代入计算即可. 3 【答案】A 【解析】【解答】解:26336276= 1 ,得 6 2633 276= 0 , 即 ()626()3 27 = 0 . ()3= 1 或 ()3= 27 . 即 = 1 或 = 3 . 2 2 ,所以 = 3 , 2+222=()2+1()21=9+191=54 . 故答案为:A

15、. 【分析】原方程可变形为 x6-26x3y3-27y6=0,给方程两边同时除以 y6,求出的值,根据 x2y2可得=3,给分式的分子、分母同时除以 y2,然后将=3 代入计算即可. 4 【答案】C 【解析】【解答】解:A.方程含有 2 个未知数,且未知数最高次数是 2,故该选项不符合题意; B.方程含有 2 个未知数且最高次数是 1,故该选项不符合题意; C.只含有 1 个未知数,未知数的最高次数是 2,故该选项符合题意; D.不是整式方程,故该选项不符合题意; 故答案为:C. 【分析】只含有 1 个未知数,且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程,据此逐一判断即可. 5 【答案

16、】D 【解析】【解答】解:A、2+ 3 4 = 0, = 2 4 = 32+ 16 = 25 0,1+ 2= = 3,故 A 选项不符合题意; B、2 4+ 4 = 0, = 2 4 = (4)2 16 = 0,该方程有实根,且1+ 2= = 4,故 B 选项不符合题意; C、2+ 4+ 5 = 0, = 2 4 = 16 20 0 方程有两个不相等的实数根 故答案为:D. 【分析】先计算根的判别式=b2-4ac,进而由当0 时,方程由有个不相等的实数根,当=0 时,方程有两个相等的实数根,当0 时,方程无实数根,据此判断即可. 10 【答案】D 【解析】【解答】解:A、 2 + 2 0,=-

17、80,有两个不相等的实数根,错误; C、( - 1)( - 2) = 0 ,x2-3x+2=0,=9-8=10,有两个不相等的实数根,错误; D、( 1)2 = 0,x2-2x+1=0,=4-4=0,有两个相等的实数根,正确. 故答案为:D. 【分析】一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)根的判别式是=b2-4ac,当0 时,有两个不相等的实数根,当=0 时,有两个相等的实数根,当0 时,没有实数根。先把原方程化为一元二次方程的一般式,再求出值,即可判断. 11 【答案】2021 【解析】【解答】解:由题意知:22 3 3 = 0 22 3 = 3 42 6 + 2015 = 2 (22

18、3) + 2015 42 6 + 2015 = 2 3 + 2015 = 2021 故答案为:2021. 【分析】 将 x=m 代入 2x23x30 中,可得22 3 = 3,将原式变形为2(22 3) + 2015,再代入计算即可. 12 【答案】 = 0或 = 4 【解析】【解答】解:2 4 = ( 4) = 0 方程的实数解为 = 0或 = 4 故答案为: = 0或 = 4. 【分析】此方程是一元二次方程的一般形式,且缺一次项,所以方程的左边易于利用提取公共因式法分解因式,故此题利用因式分解法求解即可. 13 【答案】8 【解析】【解答】解: 把 y=0 代入 = 2+ 2 得:2+ 2

19、 = 0, 解得:1=24+42= 11 + ,2=2+4+42= 1+1 + , 把 y=0 代入 = 2 2 得:2 2 = 0, 解得:3=24+42= 1 1 + ,4=2+4+42= 1 +1+ , = 2, 2= 42, (1 4)2= 4(2 3)2, 即(11 + 1 1 + )2= 4(1+1 + 1 +1 + )2, (1 1+ )2= 4(1+1 + )2, 令1+ = ,则(1 )2= 4(1 )2, 解得:1=13,2= 3, 当1=13时,1 + =13,解得: = 89, 0, = 89不符合题意舍去; 当2= 3时,1 + = 3,解得: = 8, 80, =

20、8符合题意; 综上分析可知,n 的值为 8. 故答案为:8. 【分析】把 y=0 代入 y=x2+2x-n 中可得 x2+2x-n=0,利用公式法表示出 x1、x2,同理表示出 x3、x4,根据 AD=2BC 可得 AD2=4BC2,即(x1-x4)2=4(x2-x3)2,代入化简可得(11 + )2= 4(1 +1 + )2,然后利用换元法进行求解即可. 14 【答案】2 【解析】【解答】解:把 x=1 代入 x2 +(m - 1)x - 2 = 0 得, 1+m-1-2=0, 解得 m=2. 故答案为:2. 【分析】根据方程解的概念,将 x=1 代入原方程中可得关于 m 的方程,求解即可.

21、 15 【答案】2 【解析】【解答】解:因为是关于 x 的一元二次方程,这个方程一定有一个二次项,则( + 2)|一定是二次项 所以得到 + 2 0| = 2 , 解得 m=2 故答案为 2 【分析】根据一元二次方程的定义可得 +2 0| = 2,据此解答即可. 16 【答案】0 【解析】【解答】解:1 是方程 x2+mx10 的一个根, x1 满足方程 x2+mx10, 1m10, 解得 m0 故答案为:0 【分析】将 x=-1 代入方程,可得到关于 m 的方程,解方程求出 m 的值. 17 【答案】-2 【解析】【解答】解:依题意可得2 0,2 2 = 2, 解得 = 2 故答案为:-2

22、【分析】根据一元二次方程的定义(只有一个未知数,未知数的最高次数为 2,且二次项的系数不为 0的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是 ax2+bx+c=0(a0) )即可求出答案. 18 【答案】 0, 解得 1 故答案为: 0, x= (4)4421=42112= 2 11 , 1= 2 +11,2= 2 11 . 【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式,首先找出二次项的系数 a、一次项的系数 b 及常数项 c 的值,然后算出根的判别式 b2-4ac 的值,根据判别式的值大于 0,得出方程有两个不相等的实数根,进而利用求根公式 =242即可求出方程的两根. 24 【答案】解:x2+6

23、x-1=0,a=1,b=6,c=-1, =66241(1)2= 3 10, 1= 3 +10,2= 310 【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式,首先找出二次项的系数 a、一次项的系数 b 及常数项 c 的值, 然后算出根的判别式 b2-4ac 的值, 由判别式的值大于 0 可知方程有两个不相等的实数根,进而利用求根公式 =242求出方程的根. 25 【答案】(1)解:设矩形的边 AB 的长为 x 米,则有 = (36 2),由题意得: (36 2) = 144, 解得:1= 6,2= 12, 墙长为 16 米, 036 2 16, 解得:10 18, = 12; 即矩形的边 AB

24、的长为 12 米; (2)解:设花园的面积为 y 平方米,由(1)可得: = (36 2) = 22+ 36 = 2( 9)2+ 162, -20,开口向下,对称轴为直线 x=9,且10 18, 当 x=10 时,y 有最大值,即为 = 10 (36 20) = 160, 答:当花圃的面积最大时,边 AB 的长为 10 米,最大面积为 160 平方米. 【解析】【分析】 (1)设矩形的边 AB 的长为 x 米,则 BC=(36-2x)m,根据矩形的面积公式可得关于 x的方程,求解即可; (2)设花园的面积为 y 平方米,由(1)可得:y=x(36-2x),将其化为顶点式,然后结合二次函数的性质

25、进行解答. 26 【答案】(1)解:把(0,1)代入解析式中,得 c1 (1,a),(- 1,a)关于抛物线的对称轴对称,且又关于 y 轴对称 抛物线的对称轴为 y 轴,即 14m=0 =14 故所求函数解析式为 =142 1 . (2)解:过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H,如图 点 A 在抛物线上,点 A 的横坐标 4 =14 42 1 = 3 点 A 的坐标为(4,3) 设直线 AB 的解析式为 y=ax,把点 A 坐标代入得: =34 即直线 AB 解析式为 =34 联立 =34 与二次函数 =142 1 ,即 =34 =142 1 消去 y,得 2 3 4 = 0 解得

26、1= 1,2= 4 (舍去) = 34 即点 B 的坐标 (1,34) OC=1 = + =12 1 1 +12 1 4 =52 设点 D 的坐标为 (,142 1) ,则可得点 H 的坐标为 (,34) =34 (142 1) = 142+34 + 1 = += =52 12 ( + 1) +12 (4 ) =52 即 12 5 =52 DH=1 即 142+34 + 1 = 1 解得 n=3,n=0(舍去) 当 n=3 时, 14 32 1 =54 点 D 的坐标为 (3,54) 由题意知,点 D 在第四象限,点 E 在第二象限 设 OD 的解析式为 y=kx, (1,1) , (2,2)

27、 ,则 1= 1,2= 2 联立 = =142 1 消去 y 得关于 x 的一元二次方程 2 4 4 = 0 由题意知, 1,2 是此一元二次方程的两个实数根 由根与系数的关系可得: 1+ 2= 4 , 12= 4 1+ 2= (1+ 2) = 42 , 12= 212= 42 1+212=11+12= 1 即 12= 111 过点 E 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 G,过点 D、F 作 x 轴的平行线交 EG 于点 N、M,如图 则 DNFMOG =21 , =2+21+2 2+22= 1 +22= 1 + 2(1 11) = 121 , 1+21= 121 1+21=2+22 即 21

28、=2+21+2 = 【解析】【分析】 (1)把(0,-1)代入解析式中可得 c-1,易得抛物线的对称轴为 y 轴,即 1-4m=0,求出 m 的值,进而可得抛物线的解析式; (2)过点 D 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H,将 x=4 代入抛物线解析式中求出 y 的值,得点 A 的坐标,求出直线 AB 的解析式,联立抛物线抛物线求出 x、y,可得点 B 的坐标,然后由三角形的面积公式求出 SABC,设 D (n, 14n2+1) , 则 H (n, 34n) ,表示出 DH,由 SABD=SBHD+SAHD=SABC求出 DH,进而可得 n 的值,据此可得点 D 的坐标; 由题意知:点 D

29、 在第四象限,点 E 在第二象限,设 OD 为 y=kx,D(x1,y1) ,E(x2,y2) ,联立抛物线解析式并结合根与系数的关系可得 x1+x2=4k,x1x2=-4,表示出 y1+y2,y1y2,进而得到 12= 1 11,过点 E 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 G,过点 D、F 作 x 轴的平行线交 EG 于点 N、M,则 DNFMOG,结合平行线分线段成比例的性质证明即可. 27 【答案】(1)解: 方程有一根为 - 1, = 1 是该方程的根, (1)2 5 (1) + = 0 ,解得: = 6 , 故 m 的值为-6. (2)解: 方程无实数根 = 2 4 = (5)2 4

30、 1 254 . 【解析】【分析】 (1)将 x=-1 代入方程,可得到关于 m 的方程,解方程求出 m 的值; (2)对于一元二次方程“ax2+bx+c=0(a、b、c 是常数,且 a0)”中,当 b2-4ac0 时方程有两个不相等的实数根,当 b2-4ac=0 时方程有两个相等的实数根,当 b2-4ac0 时方程没有实数根,据此建立关于m 的不等式,然后求出不等式的解集. 28 【答案】(1)解:设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 x, 依题意得:2(1x)22.88 解得:x10.2,x22.2 x0, x0.2, 答:该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 20%; (2

31、)解:依题意得:yt2 2t3 (1003t)4t300,其中 10t30, k40, y 随 t 的增大而减小, 当 t10 时,y 取得最大值,最大值为4 10300260(个). 答:该养老中心建成后最多提供养老床位 260 个. 【解析】【分析】 (1)设该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 x,则 2019 年的养老床位数为2(1+x)万个,2020 年的养老床位数为 2(1+x)2万个,然后结合 2020 年底有 2.88 万个建立方程,求解即可; (2)根据单人间的房间数 1+双人间的房间数 2+三人间的房间数 3=总床位数可得 y 与 t 的关系式,然后结合一次函数的性质

32、进行求解. 29 【答案】(1)解:根据题意得(2k1)24(k22)0, 解得 k 74 ; (2)解:根据题意得 x1x2(2k1)0,x1x2k220, x10,x20, |x1|x2|x1x2|1, (x1x2)x1x21, 2k1k221, 整理得 k22k0,解得 k10,k22, k 74 , k2. 【解析】【分析】 (1)由于方程由两个实数根,可得0,据此解答即可; (2) 由根与系数的关系可得 x1x2(2k1)0,x1x2k220,从而得出 x10,x20,将|1| + |2| = 12 1 去绝对值并整体代入可得关于 k 方程,求解即可. 30 【答案】(1)解:根据题

33、意得: m(m+1)+m+1=121,即(m+1)2=121, m+1= 11, 解得:m1=10,m2=-12(舍去) 答:m 的值为 10; (2)解:根据题意,得小颖号召了 n 人,小丽号召了(n+2)人,小红号召了17-(n+2)-n=(15-2n)人, 小颖的成功率为 10 ,小红的成功率为 15210 ,小丽的成功率为 +210 , 小红的成功率比小颖的两倍少 10%, 2 10 10% =15210 , 解得:n=4, 所以小颖的成功率为 410= 40% , 小红的成功率为 152410= 70% , 小丽的成功率为 4+210= 60% , 答:所以小颖的成功率为 40% ,小红的成功率为 70% ,小丽的成功率为 60% . 【解析】【分析】 (1)由题意可得第一周结束共有(m+1)个人参加,第二周可有 m(m+1)个人参加,第二周结束共有 m(m+1)+m+1 个人参加,进而列出方程并解之即可; (2)根据题意得小颖号召了 n 人,小丽号召了(n+2)人,小红号召了17-(n+2)-n=(15-2n)人, 从而得出小颖的成功率为 10 ,小红的成功率为 15210 ,小丽的成功率为 +210 ,根据“小红的成功率比小颖的两倍少 10%”列出方程并解之即可