1、 专题专题 9 9 不等式与不等式组不等式与不等式组 一、单选题一、单选题 1若不等式组2 1 3的整数解共有三个，则 a 的取值范围是（ ） A4a5 B4a5 C4a5 D4a5 2 （2022 七下 福州期中）若 mn，则下列不等式不成立的是（ ） A1 1 B1 + 2 + C2 2 D33 3 （2022 七下 台江期末）如果点(2，6 3)在第四象限，那么 m 的取值范围是（ ） A0 2 B2 2 D ，则下列不等式成立的是（ ） A 3 2 C + 1 + 1 D4 0是关于的一元一次不等式，则的值为（ ） A0 B1 C-1 D 1 8 （2022 八下 大田期中）如果不等式
2、组2 0的整数解仅为 1，2，那么适合这个不等式组的整数，的有序数对(，)共有（ ） A4 个 B6 个 C9 个 D12 个 9 （2022 八下 漳州期末）非负数 x，y 满足 = 32 +72， = 2 3，则 w 的最大值是（ ） A7 B73 C7 D14 10 （2022 七下 福州期中）已知 ，下列变形一定正确的是（ ） A5 + 5 B3 3 C1 + 2 1 + 2 D3 2 二、填空题二、填空题 11 （2022 七下 福州期中）已知不等式组10 ( 2)3 1的解集为2x5，则 a+b . 12 （2022 七下 福州期中）在平面直角坐标系中，若点( 1，3 2)在第一象
3、限，则 m 的取值范围是 . 13 （2022 七下 福州期中）已知关于 x 的不等式 + 1只有三个正整数解，那么 m 的取值范围是 . 14 （2022 七下 仓山期末）已知，是两个连续整数，且 22 1 ，则 + = . 15 （2022 七下 福州期中）若式子5 + 1的值大于3 5的值，则的取值范围是 . 16 （2022 七下 仓山期末）已知关于的不等式组 1 0， 0.现有以下结论： 若 = 0，则该不等式组的解集是0 1； 若该不等式组无解，则 1； 若该不等式有三个整数解，则3 2； 若1 ，则 (填“ ”或者“= ” 或者“ 1的解集为 . 19 （2022 八下 漳浦期中
4、）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和排球共 50 个，购买资金不超过 2800 元.若每个篮球 80 元，每个排球 40 元，则篮球最多可购买 个. 20 （2022 八下 漳浦期中）如图，数轴上所表示的解集为 . 三、计算题三、计算题 21 （2022 七下 仓山期末）解不等式组：3( + 1) + 1 2 12. 23 （2022 七下 思明期末）（1）解方程组： 3 2 = 52 + = 8 （2）解不等式组： 2( + 3) 4 + 7+22 24 （2022 七下 福州期末） （1）解方程组：2 +3 = 15 6 = 11； （2）解不等式组 + 3 2( + 2)3+
5、 1 314 四、综合题四、综合题 25 （2021 惠安模拟）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利 100 元；按定价的八折销售该商品 5件与将定价降低 50 元销售该商品 6 件所获利润相等. （1）该商品进价、定价分别是多少？ （2）该商场用 10000 元的总金额购进该商品，并在五一节期间以定价的七折优惠全部售出，在每售出一件该商品时，均捐献 元给社会福利事业，该商场为能获得不低于 3000 元的利润，求 的最大值. 26 （2021 泉州模拟）定义：在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 (1，1) ，点 的坐标为 (2，2) ，且 1 2 ， 1 2 ，若 为某个等腰三角
6、形的腰，且该等腰三角形的底边与 轴垂直，则称该等腰三角形为点 ， 的“伴随等腰三角形”. （1）若 ， 为抛物线 = 2+ 2 + 3 上的点，它的“伴随等腰三角形”记为 ，且底边 = 2 ，点 ， 均在点 的右侧，设点 的横坐标为 . 若点 在这条抛物线上，则 的面积是 . 设 ， 两点的纵坐标分别为 1 ， 2 ，比较 1 与 2 的大小； 当 底边上的高等于底边长的 2 倍时，求点 的坐标； （2） 若 ， 是抛物线 = 2+ 2 + 3 上的两点， 它的“伴随等腰三角形 ”以 为底， 且点 ， 均在点 的同侧 （左侧或右侧） ， 点 的横坐标是点 的横坐标的 2 倍，过点 ， 分别作垂
7、直于 轴的直线 1 ， 2 .设点 的横坐标为 1 ，该抛物线在直线 1 ， 2 之间的部分（包括端点）的最高点的纵坐标为 0 ，直接写出 0 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围. 27 （2021 福建模拟）国庆期间，为了满足群众的消费需求，某电器商场计划用 190000 元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表： 类别 彩电 冰箱 洗衣机 进价（元/台） 2000 1400 1000 售价（元/台） 2400 1600 1100 若在现有资金允许的范围内，购买上表中三类家电共 100 台，其中彩电台数是洗衣机台数的 2 倍，设该电器商场购买洗衣机 台. （1）电器商场至多可以
8、购买洗衣机多少台？ （2） 购买洗衣机多少台时， 能使电器商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？ 28 （2020 三明模拟）某服装店计划购进一批甲、乙两种款式的运动服进行销售，进价和售价如下表所 示： 运动服款式 甲 乙 进价（元/套） 80 100 售价（元/套） 120 160 若购进两种款式的运动服共 300 套，且投入资金不超过 26800 元 （1）该服装店应购进甲款运动服至少多少套？ （2）若服装店购进甲款运动服的进价每套降低 a 元，并保持这两款运动服的售价不变，且最多购进240 套甲款运动服如果这批运动服售出后，服装店刚好获利 18480 元，求 a 的取值范
9、围 29 （2020 泉港模拟）为防控“新型冠状病毒”，某超市分别用 1600 元、6000 元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的 3 倍，但单价比第一批贵 2 元 （1）第一批口罩进货单价多少元？ （2） 若这两次购买防护口罩过程中所产生其他费用不少于 600 元， 那么该超市购买这两批防护口罩的平均单价至少为多少元？ 30 （2020 宁德模拟）为了做好开学准备，某校共购买了 20 桶 A、B 两种桶装消毒液，进行校园消杀，以备开学已知 A 种消毒液 300 元/桶，每桶可供 2000m2的面积进行消杀，B 种消毒液 200 元/桶，每桶可供 1 000 米2的面积进行消杀
10、（1）设购买了 A 种消毒液 x 桶，购买消毒液的费用为 y 元，写出 y 与 x 之间的关系式，并指出自变量 x 的取值范围； （2）在现有资金不超过 5 300 元的情况下，求可消杀的最大面积 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：解不等式 2x-13，得：x2， 不等式组整数解共有三个， 不等式组的整数解为 2、3、4， 则4 5. 故答案为：C. 【分析】首先求出不等式 2x-13 的解集，结合不等式组有三个整数解就可得到 a 的范围. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：A. ，则1 1 ，故 A 不成立； B.mn，则有1 + 1 + ，1 + 2 + ，故
11、 B 成立； C. ，则2 2，故 C 成立； D. ，则3 0， + 3 0时， 1，则( + 1， + 3)在第一象限； 当 + 1 0时，3 1，则( + 1， + 3)在第二象限； 当 + 1 0， + 3 0时， 3，则( + 1， + 3)在第三象限； 点( + 1， + 3)不可能在第四象限. 故答案为：D. 【分析】根据二元一次方程组表示出 x、y，然后根据象限内点的坐标特征可得关于 m 的不等式组，求出 m 的范围，据此判断. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：6 2 3 不等式的解集在数轴上表示为 故答案为：C. 【分析】根据移项、系数化为 1 可得不等式的解集，然后根据
12、解集的表示方法进行判断. 6 【答案】C 【解析】【解答】解： ， 3 3， 2 + 1，44， 所以 A，B，D 不符合题意，C 符合题意， 故答案为：C. 【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变； 不等式两边同时乘（或除以）同一个大于 0 的整式，不等号方向不变； 不等式两边同时乘（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，据此判断即可. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：( 1)| 3 0是关于的一元一次不等式， 1 0，| = 1， 解得 m=-1. 故答案为：C. 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是 1，未知数的系数不为 0，左右两边为整式的不等式，叫做
13、一元一次不等式，据此可得关于 m 的不等式以及方程，求解即可. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：2 0， 解不等式得 3， 不等式组的解集为3 2， 不等式组的整数解仅为 1，2， 2 2 30 3 1， 4 60 3， 整数 m 的值为 5 或 6，整数 n 的值为 0 或 1 或 2， 适合这个不等式组的整数，的有序数对(，)有（5，0） ， （5，1） ， （5，2） ， （6，0） ， （6，1） ， （6，2） ， 故答案为：B. 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，根据原不等式组有解，即得出其解集为3 2，再由不等式组的整数解仅为 1，2，得2 2 30 3 3，故 B
14、不正确，不符合题意； C、不等式的两边同时乘 2 再在不等式的两边同时加1，不等式1 + 2 1 + 2成立，故 C 选项正确，符合题意. D、当 = 0时，不等式不成立，故 D 选项不正确，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变； 不等式两边同时乘（或除以）同一个大于 0 的整式，不等号方向不变； 不等式两边同时乘（或除以）同一个小于 0 的整式，不等号方向改变，据此判断即可. 11 【答案】8 【解析】【解答】解：解不等式 10 x（a2） ，得：xa+8， 解不等式 3bx1，得：x3 1， 解集为2x5， + 8 = 23 1 = 5，
15、解得：a=10，b=2. + = 10 + 2 = 8 故答案为：-8. 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于 a、b 的方程，求出 a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算. 12 【答案】1m32 【解析】【解答】解：点( 1，3 2)在第一象限， 103 20， 解得：1m32， 故答案为：1m32. 【分析】根据第一象限内的点，横、纵坐标均为正可得关于 m 的不等式组，求解即可. 13 【答案】4 5 【解析】【解答】解：由关于 x 的不等式 + 1得： 1 ， 该不等式只有三个正整数解 1，2，3， 3 1 4， 解得：4 5； 故答案为：4 5.
16、【分析】求出不等式的解集，根据不等式有三个正整数解可得 31-m4，求解即可. 14 【答案】7 【解析】【解答】解：16 22 25， 16 1 22 1 25 1， 即3 22 1 4， ，为连续的整数， 22 1 ， = 3， = 4， + = 3 + 4 = 7. 故答案为：7. 【分析】 根据估算无理数大小的方法可得 422 3 【解析】【解答】解：根据题意得，5 + 13 5， 5x3x- 15， 2x- 6， x- 3. 故答案为：x- 3. 【分析】由题意可得 5x+13x-5，根据移项、合并同类项、系数化为 1 可得 x 的范围. 16 【答案】 【解析】【解答】解： 1 0
17、 0 由得 x1， 由得 xa； 若 a=0 时，x0 不等式组的解集为：0 x1，故正确； 当不等式组无解时，a1，故正确； 若该不等式组有三个整数解，这三个整数解为 0，-1，-2， a 的取值范围为-3a-2，故正确； 若-1x1，则 a-1，故错误； 正确结论的序号为： 【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集；将 a=0 代入可得到不等式组的解集，可对作出判断；若不等式组无解，利用大大，小小，找不了，可得到 a 的取值范围，可对作出判断；利用该不等式组有 3 个整数解，可知这三个整数解为 0，-1，-2，据此可求出 a 的取值范围，可对作出判断；若-1x1，可得到 a-1，可对
18、作出判断；综上所述可得到正确结论的序号. 17 【答案】 【解析】【解答】解：不等式两边同时乘以“-1”，即得： ， 故答案为： 1，移项可得 x3， 所以解集为：x3. 故答案为：x3. 【分析】根据移项、合并同类项可得不等式的解集. 19 【答案】20 【解析】【解答】解：设买篮球 m 个，则买排球(50m)个， 根据题意得：80m+40(50m)2800， 解得 m20， m 为整数， m 最大取 20， 最多可以买 20 个篮球， 故答案为：20. 【分析】设买篮球 m 个，则买排球(50m)个，由“ 某校计划购买篮球和排球共 50 个，购买资金不超过2800 元 ”可列不等式 80m
19、+40(50m)2800，解得 m 的取值范围，再根据 m 为整数，即可得到 m 的最大值，即可解决问题. 20 【答案】1x3 【解析】【解答】解：数轴上点 1 处空心圆圈向右，点 3 处空心圆圈向左， 由此可得： 1x3. 故答案为：1x3. 【分析】根据”大于朝右拐，小于朝左拐，等号实心点”，据此即可得出数轴所表示出的解集. 21 【答案】解：由不等式，得3 + 3 + 5， 2 2， 1. 由不等式，得 2 2， 2， 2. 原不等式组的解集是2 ， 解不等式组，得 12 2 ， 不等式组的解集为 12 2 ； 【解析】【分析】 （1） 利用加减消元法解方程组， 首先用第一个方程加上第
20、二个方程的 2 倍算出 x 的值，再将 x 的值代入算出 y 的值，从而即可得出方程组的解； （2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可. 24 【答案】（1）解：2 + 3 = 15 6 = 11 2+得，9x=9，即 x=1， 把 x=1 代入得：y=-1， 方程组的解是 = 1 = 1； （2）解： + 3 1， 由得 3， 则不等式组的解集为1 3 【解析】【分析】 （1）观察方程组可用加减消元法求解，由方程 2+可消去未知数 y，得关于 x 的方程，解这个方程求得 x 的值，再把 x 的值代入方程求得
21、y 的值，最后写出结论即可； （2）由题意根据“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1”求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集. 25 【答案】（1）解：解法一：设该商品定价为 元/件，进价为 元/件，由题意得 = 100(0.8 ) 5 = ( 50 ) 6 解得： = 200 = 100 答：该商品进价为 200 元/件，进价为 100 元/件. 解法二：设该商品进价为 元/件，则定价为 ( + 100) 元/件，由题意得 ( + 100) 0.8 0.5 = ( + 100 50 ) 6 解得：x=100 当 x=100 时， + 100 = 200 答
22、：该商品进价为 200 元/件进价为 100 元/件. （2）解：由题意得 (200 0.7 100 ) 10000100 3000 解得： . 10 的最大值为 10. 【解析】【分析】 （1）方法一：设该商品定价为 x 元/件，进价为 y 元/件，利用售价-进价=利润及定价的八折销售该商品 5 件与将定价降低 50 元销售该商品 6 件所获利润相等，建立关于 x，y 的方程组，解方程组求出 x，y 的值；方法二：设该商品进价为 x 元/件，可表示出定价，再根据定价的八折销售该商品 5 件与将定价降低 50 元销售该商品 6 件所获利润相等， 建立关于 x 的方程， 解方程求出 x 的值即可
23、； （2）此题的不等关系为：该商场为能获得的利润3000，设未知数，列不等式，然后求出不等式的最大解. 26 【答案】（1）解：1 ；由题意，得： (， 2+ 2 + 3) ， ( + 1， 2+ 4) ， 设 ， 两点的纵坐标分别为了 1 ， 2 1= 2+ 2 + 3 ， 2= 2+ 4 ，且 1 2 当 1 2 时，有 2+ 2 + 3 2+ 4 ， 解得： 2 时，有 2+ 2 + 3 2+ 4 ，解得： 12 ， 当 12 时， 112 时， 1 2 由题意知：当 12 时， 点的纵坐标比 点的纵坐标小 4 ， ， 两点的坐标分别为 (， 2+ 2 + 3) ， ( + 1， 2+
24、4) 当 12 时， 2+ 2 + 3 = 2+ 4 + 4 ，解得： =52 ， 点 的坐标为 (52，74) 综上所述，点 的坐标为 (32，94) 或 (52，74) （2）解：当 1 时， 0= 2+ 3 1 ， 当 1 32 ，且 3 时， 0= 2+3 . 【解析】【解答】解： （1）将 = 2+ 2 + 3 配方得： = ( 1)2+ 4 ， 该抛物线对称轴为直线 = 1 ， 点 M 在这条抛物线上， 点 P，M 关于直线 = 1 对称， 点 Q 即为顶点，坐标为 (1，4) ， 点 P 的横坐标为 0， 当 = 0 时，y=3，即点 P 坐标为 (0，3) ， 点 Q 到 PM
25、 的距离为 1， =12 2 1 = 1 . （2）解： 点 Q 的横坐标是点 P 的横坐标的 2 倍， 点 Q 的横坐标为 2 2 ， 由等腰三角形可知点 的横坐标为 2 2 + 2 2 ( 1) = 3 3 ， 抛物线 = 2+ 2 + 3 的对称轴为直线 = ， 当 1 32 ，且 3 时， 0= 2+ 3 ， 当 1 0 时， P 点在 y 轴左侧，此时最高点即为点 P ， 当 3 3 ，且 P 点在 y 轴右侧时，最高点即为点 N 当 1 32 时， 0= 32+ 15 9 ， 综上所述，当 1 时， 0= 2+ 3 1 ， 当 1 32 ，且 3 时， 0= 2+3 . 【分析】
26、（1）易得抛物线的对称轴为直线 x=1，Q（1，4） 、P（0，3） ，然后根据三角形的面积公式进行计算； 由题意得 P（m，-m2+2m+3） ，Q（m+1，-m2+4） ，然后表示出点 P、Q 的纵坐标 y1、y2，分 y1y2求出 m 的范围即可； 由题意知：当 m 12时，Q 点的纵坐标比 P点的纵坐标小 4，列出方程，求出 m 的值，据此可得点 P 的坐标； （2） 易得点 Q 的横坐标为 2n-2，点 N 的横坐标为 3n-3，当 n-1n3n-3 时，直线 l1、l2之间的部分（包括端点）的最高点为顶点，根据点 P、Q 的纵坐标不同可得 n 的范围，当 n-13n-3 且 P 点
27、在 y 轴右侧时，最高点即为点 N，据此解答. 27 【答案】（1）解：根据题意，得：20002x+1000 x+1400（100 x2x）190000， 解得：x 62.5 ， x 为正整数， x 至多为 62， 答：商店至多可以购买洗衣机 62 台. （2）解：设商店销售完这批家电后获得的利润为 y 元， 则 y（24002000）2x+（11001000）x+（16001400） （1003x）300 x+20000， k3000， y 随 x 的增大而增大， x 62.5 且 x 为正整数， 当 x62 时，y 有最大值，最大值为：300 62+2000038600， 答：购买洗衣机
28、62 台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为 38600 元. 【解析】【分析】 （1）由 购买洗衣机 台和“彩电台数是洗衣机台数的 2 倍”可得购买彩电 2x 台，则购买冰箱（100-x-2x）台，根据三类家电的进价以及计划用 190000 元 可得不等式，求解可得结果； （2） 设商店销售完这批家电后获得的利润为 y 元， 根据利润=单个利润 数量以及（1）中三类家电的数量可得 x 与 y 之间的一次函数，根据一次函数的性质可得结果. 28 【答案】（1）解：设该服装店应购进甲款运动服 套，由题意得， 80 + 100(300 ) 26800 ， 解得 160 ， 至少要
29、购进甲款运动服 160 套； （2）解：设购进甲款运动服 x 套，由题意，得： (120 80 + ) + (160 100)(300 ) = 18480 ， ( 20) = 480 20 =480 160 240 ， 2 480 3 2 20 3 22 23 【解析】【分析】 (1)设该服装店应购进甲款运动服 x 套， 根据题意列不等式求解即可； (2)根据总利润=(甲的售价-甲的进价) 购进甲的数量+(乙的售价-乙的进价) 购进乙的数量代入列关系式，再根据 160 240 ，即可求得 a 的取值范围 29 【答案】（1）解：设第一批口罩进货单价为 元，则第二批进货价为 x2，依题意得： 3
30、 1600=6000+2 ， 解得： = 8 ， 经检验： = 8 是原分式方程的解， 答：第一批口罩进货单价为 8 元 （2）解：设口罩平均单价为 m 元，依题意得： （m8） 16008 （m10） 600010 600， 解得：m10.25， 答：口罩平均单价至少为 10.25 元 【解析】【分析】 （1）设第一批口罩进货单价为 元，则第二批进货价为 x2，然后根据第二批防护口罩的数量是第一批的 3 倍列方程求解即可； （2）设口罩平均单价为 m 元，根据两次购买防护口罩过程中所产生其他费用不少于 600 元列不等式求解即可 30 【答案】（1）解： = 300 + 200(20 ) = 300 + 4000 200 = 100 + 4000 (0 x20，且 x 为整数） ； （2）解：由题意可得 0 20100+ 4000 5300 ， 解得: 0 0 w 随 x 的增大面增大， 当 x 取最大值 13 时，最大消杀面积为 1000 13+20000=33000m2 【解析】【分析】 （1） 根据题意中的等量关系列出解析式即可； （2） 先根据已知条件得出 x 的取值范围，然后由题意得出关于消杀面积的解析式，即可求得最大面积