1、 专题专题 6 6 二次根式二次根式 一、单选题一、单选题 1已知：a 123 ，b 12+3 ，则 a 与 b 的关系是（ ） Aab0 Bab0 Cab1 Da2b2 2若 a，b 满足 = 2 + 2 3，则在平面直角坐标系中，点 P（a，b）所在的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （2022 八下 华安月考）在函数 =23+ + 1中，自变量 x 的取值范围是（ ） Ax1 Bx3 Cx1 Dx1 且 x3 4 （2022 七下 龙岩期末）若，都是实数，且 = 3 + 3 + 8， + 3的立方根是（ ） A27 B-27 C3 D-3 5 （2022
2、八下 福州期末）下列各式中，化简后能与2合并的是（ ） A12 B8 C23 D9 6 （2022 八下 仓山期末）计算12的结果是（ ） A32 B22 C43 D23 7 （2022 八下 仓山期末）下列计算正确的是（ ） A2 +3 =5 B2 + 2 = 22 C32 2 = 3 D32 2 = 3 8 （2022 八下 台江期末）二次根式 3有意义的条件是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 9 （2022 八下 厦门期中）22的值等于（ ） A2 B2 C18 D2 10 （2022 八下 长汀期末）下列运算正确的是（ ） A(2)2= 2 B9 = 3 C2= D0.0013=
3、 0.1 二、填空题二、填空题 11 （2022 九下 厦门月考）(5)2= ；21= . 12 （2022 九上 晋江月考）计算：726 = 13 （2022 九上 晋江月考）若最简二次根式2 3与2+ 7可以合并，则 a 的值为 14 （2022 八下 湖里期末）现有一块长25dm，宽23dm 的长方形木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是 4dm2和 9dm2的正方形木板？ （填“能”或者“否”） 15 （2022 九上 永春期中）当 x 时，二次根式 1有意义 16 （2022 九上 福州开学考）化简：20_ 17 （2021 厦门模拟）已知 = 3 3 + 2 ，则
4、 = 18 （2021 龙岩模拟）已知实数 x，y 满足下面关系式：y 21+121 x+2，则 xy的值 . 19 （2021 八下 厦门月考）如果一个无理数 a 与 12 的积是一个有理数，写出 a 的一个值是 . 20 （2020 泉州模拟）若 11+3 2 意义，则 x 的取值范围是 三、计算题三、计算题 21 （2022 八下 晋安期末）计算： （1）1224+ 6133 （2）(5 + 2)2+ (5+ 2)(5 2) 22 （2022 八下 思明期中）完成下面 2 个小题： （1）计算：6 2 +62 27. （2）先化简，再求值： （11+2）21+2，其中 x2+1. 23
5、（2022 八下 福州期末）计算： （1）(7 2)(7 + 2) （2）13276 +3+18 24 （2022 九下 泉州开学考）计算： 48 2 1560 +4sin60 . 25 （2022 七下 晋安期末）计算：2(2+ 2) +83+ |2 2| 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：分母有理化，可得 a=2+3 ，b=2- 3 ， a-b=（2+ 3 ）-（2- 3 ）=2 3 ，故 A 选项错误，不符合题意； a+b=（2+ 3 ）+（2- 3 ）=4，故 B 选项错误，不符合题意； ab=（2+ 3 ） （2- 3 ）=4-3=1，故 C 选项正确，符
6、合题意； a2=（2+ 3 ）2=4+4 3 +3=7+4 3 ，b2=（2- 3 ）2=4-4 3 +3=7-4 3 ， a2b2，故 D 选项错误，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据分母有理化先求出 a、b，再分别代入求出各选项的值，即可判断. 2 【答案】D 【解析】【解答】解： a，b 满足 = 2 + 2 3， 2 0，2 0， = 2， = 3， 则点(2， 3)在第四象限， 故答案为：D. 【分析】根据被开方数为非负数可求出 a 值，继而求出 b 值，根据坐标符号即可得解. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得： 3 0 + 1 0 解得： 1且 3 故答案为：D
7、. 【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得 x-30 且 x+10，据此求解. 4 【答案】C 【解析】【解答】解： = 3 + 3 + 8， 3 03 0， 解得：x=3， 将 x=3 代入原式，得到 y=8， x+3y=3+3 8=27， 27 的立方根是 3， x+3y 的立方根为 3. 故答案为：C. 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x-30 且 3-x0，则 x=3，y=8，求出 x+3y 的值，然后根据立方根的概念进行解答. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：A、12 = 23，不能与2合并，故不符合题意； B、8 = 22能与2合并，故符合题意； C、23=63，不
8、能与2合并，故不符合题意； D、9 = 3，不能与2合并，故不符合题意. 故答案为：B. 【分析】首先将各个选项中的二次根式化为最简二次根式，然后结合同类二次根式的概念将几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式进行判断. 6 【答案】D 【解析】【解答】解：原式12 =3 22= 23. 故答案为：D. 【分析】原式可变形为3 22，然后结合二次根式的性质 = （a0，b0）及2=|化简即可. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 2与3不能合并，所以 A 选项不符合题意； B、 2与2不能合并，所以 B 选项不符合题意； C、322 =22，所以 C 选项不符合题意； D、
9、 32 2 = 3，所以 D 选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将同类二次根式的系数相加减，根号部分不变，但不是同类二次根式的一定就不能合并，据此即可判断 A、B、C；根据二次根式的除法法则可判断 D. 8 【答案】C 【解析】【解答】解：根据被开方数大于等于 0 得， 3有意义的条件是 3 0 解得： 3 故答案为：C. 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得 x-30，求解即可. 9 【答案】B 【解析】【解答】解：22=
10、2. 故答案为：B. 【分析】根据二次根式的性质2=|求解即可. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：A. (2)2= | 2| = 2 ，此选项运算错误，不符合题意； B. 9 = 3 ，此选项运算错误，不符合题意； C.当 a0 时， 2= ，此选项运算错误，不符合题意； D. 0.0013= 0.1 ，此选项运算正确，符合题意， 故答案为：D. 【分析】根据二次根式的性质可判断 A、C；根据算术平方根的概念可判断 B；根据立方根的概念可判断 D. 11 【答案】5；12 【解析】【解答】解：原式=5； 原式=12. 故答案为：1；12. 【分析】根据一个正数 a 的算术平方根的平方等于
11、其本身可得第一空的答案；根据一个不为 0 的数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数即可得出第二空的答案. 12 【答案】23 【解析】【解答】解：72 6 =726 = 12 = 23， 故答案为：23 【分析】根据二次根式的除法（=（ 0， 0）计算，然后化简二次根式即可得出答案. 13 【答案】-1 【解析】【解答】解：最简二次根式2 3与2 + 7可以合并， 2 3 = 2 + 7， 解得 = 1， 故答案为：-1 【分析】因为最简二次根式2 3与2 + 7可以合并，所以2 3与2 + 7是同类二次根式（一 般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根
12、式叫做同类二次根式） ，由被开方数相等，列出方程，解这个方程即可得到 a 的值. 14 【答案】否 【解析】【解答】解：4+9=2+3=5， 由于 25=2025=5， 不能够在这块木板上截出两个面积分别是 4dm2和 9dm2的正方形木板 故答案为：否 【分析】根据正方形的面积分别求得两个正方形的边长分别为 2dm，3dm，然后与长方形的长进行比较即可判断. 15 【答案】1 【解析】【解答】解：根据题意得：x10，解得 x1 故答案为：x1 【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，可列出不等式，求解即可. 16 【答案】25 【解析】【解答】解：204 525 故答案为：25 【分析】利
13、用二次根式的性质（ = （ 0， 0）及2=|）进行化简即可. 17 【答案】9 【解析】【解答】解： = 3 3 + 2 ， x30 且 3x0， x=3， y=2， = 9， 故答案为：9 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此得出 x30 且 3x0，从而求出 x 值，继而得出 y 值，然后代入计算即可. 18 【答案】-1 【解析】【解答】解：由题可得， 2 1 01 2 0 ， 解得 x21，即 x 1， 又x10， x1， x1， 当 x1 时，y0（1）+23， xy的值1， 故答案为：1. 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得 x 的值，进而可得
14、 y 的值，根据幂指数可得结果. 19 【答案】3 （答案不唯一） 【解析】【解答】解：12 2 3 ， 无理数 a 与 12 的积是一个有理数，a 的值可以为： 3 （答案不唯一）. 故答案为： 3 （答案不唯一）. 【分析】根据最简二次根式可得12 2 3 ，要使积为有理数，即无理数 a 应是 3的有理数倍即可. 20 【答案】 32 且 1 【解析】【解答】 解： 若 11+3 2 有意义， 则 3 2 01 0 ， 解得： 32 1 ， 即 32 且 1 故答案为： 32 且 1 【分析】根据分式的分母不为 0 和二次根式的被开方数非负可得关于 x 的不等式组，解不等式组即得结果 21
15、 【答案】（1）解：1224+ 6133 =12 24 + 23 3 = 23 + 23 3 = 33； （2）解：(5+ 2)2+ (5 + 2)(5 2) = 9 + 45 + 5 4 = 10 + 45. 【解析】【分析】 （1）根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质分别化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式分别去括号，然后根据有理数的加减法法则进行计算. 22 【答案】（1）解：原式6 2 +6 2 33 23+333 0； （2）解：原式+21+2(+1)(1)+2 =+1+2+2(+1)(1) 11， 当 x2+1 时， 原式12+11=22. 【解
16、析】【分析】 （1）利用二次根式的除法和乘法法则进行计算，同时化简二次根式，再合并同类二次根式. （2）将括号里的分式减法通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，约分化简；然后将 x 的值代入化简后的代数式进行计算，可求出结果. 23 【答案】（1）解：原式=7 4 = 3； （2）解：原式=33 336 +3+ 32 = 3 6 + 3 + 32 【解析】【分析】 （1）根据平方差公式展开括号，然后根据有理数的减法法则进行计算； （2）根据二次根式的乘法法则以及二次根式的性质分别化简即可. 24 【答案】解： 48 2 1560+ 4sin60 = 43 12 23 + 4 32 = 23 23 + 23 = 23 . 【解析】【分析】先将特殊角三角函数值代入，再计算二次根式的乘除，最后计算加减即可. 25 【答案】解：2(2+ 2) +83+ |2 2| = 2 + 22 2 + 2 2 = 2 + 2. 【解析】【分析】 根据二次根式的乘法法则、 立方根的概念以及绝对值的性质可得原式=2+22-2+2-2，然后根据有理数的加减法法则以及二次根式的减法法则进行计算