1、 专题专题 1 1 实数实数 一、单选题一、单选题 1已知 x， y 为实数， 且满足 2 + 42= 4 ， 记 = 2+ + 42 的最大值为 M， 最小值为 m，则 + = （ ）. A403 B6415 C13615 D315 2下列说法正确的是（ ） A1 的平方根是它本身 B4 是 64 的立方根 C带根号的数都是无理数 D无理数都是无限不循环小数 3 （2022 七下晋安期末）下列说法正确的是（ ） A4 的算术平方根为2 B827的立方根是23 C(6)2的平方根是-6 D9 的平方根是3 4 （2022 七上永春期中）下列有理数的大小比较，正确的是（ ） A5.1 15 C0
2、 15 5 （2022 七上永春期中）在数轴上与表示2 的点距离等于 3 的点所表示的数是（ ） A1 B1 或 5 C5 D5 或 1 6 （2022 七下台江期末）9 的平方根为（ ） A81 B81 C3 D3 7 （2022 七下台江期末）把 2 个面积为 5 的正方形纸片沿着对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形纸片，那么大正方形纸片的边长大小在（ ） A1 和 2 之间 B2 和 3 之间 C3 和 4 之间 D4 和 5 之间 8 （2022 七下仓山期末）下列实数中，属于无理数的是（ ） A3.1415 B83 C10 D23 9 （2022 七下龙岩期末）若，都是实数，且 =
3、 3 + 3 + 8， + 3的立方根是（ ） A27 B-27 C3 D-3 10 （2022 七上永春期中）计算12 7 (4) + 8 (2)的结果是 A-24 B-20 C6 D36 二、填空题二、填空题 11 （2022 七下福州期中）已知不等式组10 ( 2)3 1的解集为2x5， 则 a+b . 12 （2022 八上晋江月考）一个正数的两个平方根中，若正的平方根为 2a3，负的平方根为6a，则 a 13 （2022 七下仓山期末）已知，是两个连续整数，且 22 1 ”，“ 200)元的商品，则请通过计算，讨论到哪家商场购物花费少？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解
4、析】【解答】解：2 + 42= 4 ， 2+ 42= + 4 ， = 2+ + 42= 2 + 4 ， 5 = 4 + (2+ 42 4) = ( + 2)2 4 4 ， 当且仅当 = 2 ， 即 = 2105 ， =105 ， 或 =2105 ， = 105 时，等号成立， 的最小值为 45 ， = 2+ + 42= 2 + 4 最小值为： 125 ， 即 =125 ， 3 = 4 (2+ 42 4) = 4 ( 2)2 4 ， 当且仅当 = 2 时， 即 =263 ， =63 ， 或 = 263 ， = 63 时等号成立， 的最大值为 43 ， = 2+ + 42= 2 + 4 的最大值为
5、 203 ， 即 =203 ， + =203+125=13615 ， 故答案为：C. 【分析】利用已知等式可得 = 2+ + 42= 2 + 4 ，根据 5 = 4 + (2+ 42 4)=4 ( 2)2，根据偶次幂的非负性知当且仅当 = 2时， 的最小值为 45，即可得出 = 2+ + 42= 2 + 4 最小值为 125 ，即 =125 ；根据 3 = 4 (2+ 42 4) = 4 ( 2)2 ，根据偶次幂的非负性当且仅当 = 2 时， 的最大值为 43，即得 M，再代入计算即可. 2 【答案】D 【解析】【解答】解：A、1 的平方根是1，故该选项不正确，不符合题意； B、4 是 64
6、的立方根，故该选项不正确，不符合题意； C、带根号的数不一定都是无理数，故该选项不正确，不符合题意； D、无理数都是无限不循环小数，故该选项正确，符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据平方根的概念可判断 A；根据立方根的概念可判断 B；根据无理数的概念可判断 C、D. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A.4 的算术平方根为 2，故 A 错误； B.827的立方根是23，故 B 错误； C.(6)2的平方根是6，故 C 错误； D.9 的平方根是3，故 D 正确； 故答案为：D. 【分析】若(a)2=b，则a 为 b 的平方根，a 为 b 的算术平方根，据此判断 A、C、D；若 a3=b，
7、则 a为 b 的立方根，据此判断 B. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：A.5.14.2， 5.1 4.2，故 A 正确； B.015，故 B 错误； C.014，故 C 错误； D.515，故 D 错误 故答案为：A. 【分析】有理数大小比较的法则：正数都大于 0；负数都小于 0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：当该点在2左侧时，该点表示的数为：2 3 = 5； 当该点在2右侧时，该点表示的数为：2 + 3 = 1； 综上所述，该点表示的数为5或 1， 故答案为：D. 【分析】分该点在-2 的左侧、右侧两种情况，结合两
8、点间距离公式进行计算即可. 6 【答案】D 【解析】【解答】解：9 的平方根为3. 故答案为：D. 【分析】若(a)2=b，则a 为 b 的平方根，据此解答. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：大正方形面积为5 + 5 = 10， 321042， 大正方形纸片的边长在 3 和 4 之间. 故答案为：C. 【分析】由题意可得：大正方形的面积为 10，则边长为10，然后根据估算无理数大小的方法进行解答. 8 【答案】C 【解析】【解答】解：A、3.1415 是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、83= 2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、10是无理数，故本选项符合题意；
9、D、23是分数，属于有理数，故本选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数，圆周率 都是无理数，据此判断. 9 【答案】C 【解析】【解答】解： = 3 + 3 + 8， 3 03 0， 解得：x=3， 将 x=3 代入原式，得到 y=8， x+3y=3+38=27， 27 的立方根是 3， x+3y 的立方根为 3. 故答案为：C. 【分析】根据二次根式有意义的条件可得 x-30 且 3-x0，则 x=3，y=8，求出 x+3y 的值，然后根据立方根的概念进行解答. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：12 7 (4) + 8 (2) = 12
10、+ 28 4 = 36 故答案为：D. 【分析】首先计算乘除法，再计算加减法即可. 11 【答案】8 【解析】【解答】解：解不等式 10 x（a2） ，得：xa+8， 解不等式 3bx1，得：x3 1， 解集为2x5， + 8 = 23 1 = 5， 解得：a=10，b=2. + = 10 + 2 = 8 故答案为：-8. 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集可得关于 a、b 的方程，求出 a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算. 12 【答案】1 【解析】【解答】解：由题意得，2a+3+（6+a）0， 解得 a1， 故答案为：1 【分析】一个正数有两个平方根，这两
11、个平方根互为相反数，进而根据互为相反数的两个数的和为 0列出方程，求解即可. 13 【答案】7 【解析】【解答】解：16 22 25， 16 1 22 1 25 1， 即3 22 1 4， ，为连续的整数， 22 1 ， = 3， = 4， + = 3 + 4 = 7. 故答案为：7. 【分析】 根据估算无理数大小的方法可得 422 【解析】【解答】解：252636 5266 故答案为：. 【分析】利用估算无理数的大小的方法可知252636，由此可求解. 20 【答案】 【解析】【解答】解：23= 0.66666. 230.66667 故答案为：. 【分析】首先将23化为小数，然后进行比较.
12、21 【答案】（1）解：原式= 942 (63) (934) = 5455 (934) = 62； （2）解：原式= 8 + 3 1 1(13)2 = 8 + 3 9 = 14 （3）解：原式= 20152 (2015 1)(2015 + 1) = 20152 (20152 1) = 20152 20152+ 1 = 1. 【解析】【分析】 （1）先计算积的乘方，再利用单项式的乘法和除法法则计算即可； （2）根据乘方、零指数幂及负整数指数幂的性质先进行计算，再计算乘法，最后计算加减即可； （3）先将原式变形为20152 (2015 1)(2015 + 1) ，再利用平方差公式计算即可. 22
13、【答案】（1）解： (143+ 82 6) ， = 142+ 8 6 ； （2）解： ( + + 9)( + 9) ， = ( + )2 92 ， = 2+ 2 + 2 81 ； （3）解： (22)2 (1443) (72) ， = 442 1443 (72) ， =271 (72) ， = 2 ； （4）解： ( + )( ) 2( )2 ， = 2 2 22+ 4 22 ， = 2 32+ 4 ； （5）解： (2003)0 2 12 (13)2 23 ， = 1 2 12 19 8 ， = 4 172 ， =118 . 【解析】【分析】 （1）根据多项式与单项式的除法法则用多项式的每一
14、项分别取除以单项式，然后根据单项式与单项式的除法法则进行计算； （2）先平方差公式化简，再根据完全平方公式计算即可； （3）根据积的乘方以及幂的乘方法则将第一项化简，然后根据单项式与单项式的乘除法法则从左至右依次进行计算； （4）根据平方差公式、完全平方公式分别取括号，然后合并同类项化简即可； （5） 根据 0 次幂的运算性质以及有理数的乘方法则分别化简， 然后根据有理数的乘除法法则进行计算. 23 【答案】（1）解：7 + (3) 4 | 8| = 7 3 4 8 = (7 + 3 + 4 + 8) = 22； （2）解：(1259+712) (36) = 36 12 36 (59) 36
15、712 = 18 + 20 21 = 2 21 = 19； （3）解：11257 (57) 212+ (12) 125 = 11257+57 2121257 =57 (112+ 21212) =5772 =52； （4）解：1416 2 (3)2 = 1 16 (2 9) = 1 16 (7) = 1 + 116 =16 【解析】【分析】 （1）根据绝对值的性质可得原式=-7-3-4-8，然后根据有理数的减法法则进行计算； （2）根据乘法分配律可得原式=36 12 36 (59) 36 712，据此计算； （3）首先将除法化为乘法，再结合乘法分配律的逆运算进行计算； （4）首先计算乘方，然后计
16、算括号中式子的结果，再计算乘法，最后计算减法即可. 24 【答案】（1）1；1；4 （2）解：设点 A、B、C 运动的时间为 t 秒， 由题意得：移动后点 A 表示的数为：1 ，点 B 表示的数为：1 + ，点 C 表示的数为：4 + 3； = 4 + 3 (1 ) = 4 + 5， 当 = 2时， = 8 + 5 = 13， 故点 A 与点 C 之间的距离 AC 是 13 个单位； 由题意，得： = (4 + 3) (1 + ) = 3 + 2， = (1 + ) (1 ) = 2 + 2， = 3 + 2 (2 + 2) = 1 的值是不随着时间 t 的变化而改变，其值为 1 【解析】【解
17、答】解： （1）b 是最小的正整数， = 1， ( 4)2+ | + | = 0， 4 = 0， + = 0， = 4， = = 1 故答案为：1；1；4 【分析】 （1）根据 b 是最小的正整数可得 b=1，根据偶次幂以及绝对值的非负性可得 c-4=0、a+b=0，求解可得 a、b、c 的值； （2） 设点 A、 B、 C 运动的时间为 t 秒， 由题意得： 移动后点 A 表示的数为-1-t， 点 B 表示的数为 1+t，点 C 表示的数为 4+3t，根据两点间距离公式可得 AC=4t+5，然后将 t=2 代入计算即可； 根据两点间距离公式表示出 BC、AB，然后求出 BC-AB 的值，据此
18、解答. 25 【答案】（1）解：没有平方根， 0， 点在第二象限. （2）解： + 2 + 3 = 12，3 2 + = 4. = ， = 4 ， (，4 ). (， )， 轴. 点在直线上，且的最小值为 3， 当 时，最小， 此时点在轴上， = 3， = 3或-3， 即点的坐标是(3，1)或(3，7). （3）解： + = 12. 证明如下：由（2）得(， )，(，4 )， (， )，(4 ，4 )，且 1， 0， 1 0， + = 0， | 1| | 1| = a 1 + ( 1) = 1 + 1 = 2 【解析】【解答】解： （1） 1 0 1 0， 0. 【分析】 （1）根据数轴可得
19、b-1c01a，进而不难判断出 a-c、b-c 的符号； （2）首先确定出 a-1、b-1 的符号，然后根据绝对值的非负性以及合并同类项法则化简即可. 27 【答案】（1） +1 （2）10 【解析】【解答】解： （1）由题意 ，得 +1； 故答案为： +1 （2）由题意，得乙数= 10 ， 故答案为：10 【分析】 （1）x 的相反数可表示为-x，y 的倒数可表示为1，然后相加即可； （2）有题意可得 y+乙=10，然后表示出乙即可. 28 【答案】（1）解：11 + (2) + 5 + (1) + 10 + (3) + (2) + 12 + 4 + (5) + 6 = 35() 答：检修小
20、组在 A 地的东边，距 A 地 35km； （2） 解： (11 + | 2| + 5 + | 1| + 10 + | 3| + | 2| + 12 + 4 + | 5| + 6) 3 = 61 3 = 183 （升） 小组从出发到收工耗油 183 升， 180 升183 升， 收工前需要中途加油， 应加：183 180 = 3升， 答：收工前需要中途加油，应加 3 升 【解析】【分析】 （1）首先求出行走记录之和，然后根据其结果的正负进行解答； （2）首先求出行走记录的绝对值之和，然后乘以每千米的耗油量可求出总耗油量，接下来利用总耗油量-邮箱原有的量进行求解. 29 【答案】（1）解：甲商场
21、购置累计 280 元的商品花费：200+8085%=268（元） ， 乙商场购置累计 280 元的商品花费：100+18090%=262（元） ， 268262， 他去乙商场花费少. （2）解：到甲商场购物花费为：200 + ( 200) 85% = 0.85 + 30， 到乙商场购物花费为：100 + ( 100) 90% = 0.9 + 10， 当0.85 + 300.9 + 10时，解得：400， 当0.85 + 30 = 0.9 + 10时，解得： = 400， 当0.85 + 300.9 + 10时，解得：400， 当 200 x400 时，到乙商场购物花费较少，当 = 400时，到两商场购物花费相同，当400时，到甲商场购物花费较少. 【解析】【分析】 （1）在甲商场购置时，超过 200 元的部分实际需(280-200)85%元，加上 200 元可得实际花费；在乙商场购置时，超过 100 元的部分实际需(280-100)90，加上 100 可得实际花费，再比较大小即可； （2）同（1）表示出在甲、乙商场购物的花费，然后结合不等式进行解答