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2023年福建省中考数学一轮复习专题训练4:因式分解(含答案解析)

1、 专题专题 4 4 因式分解因式分解 一、单选题一、单选题 1下面式子从左边到右边的变形中,是因式分解的为( ) A2 2 = ( 1) 2 B( + )( ) = 2 2 C( + 1) = 2+ D2 2 + 1 = ( 1)2 2下列因式分解正确的是( ) A(2 1) = 3 B2+ 6 + 9 = ( + 6) + 9 C2 2= ( )2 D2 92= ( + 3)( 3) 3 (2022 七下 福州期末)下列多项式中,不能因式分解的是( ) A2+ +1 B2 6 + 9 C2+5 D2 1 4(2022九上 福建竞赛)已知正整数a, b, c, d满足: abcd, a+b+c

2、+d=2022, 2 2+ 2 2= 2022 ,则这样的 4 元数组(a,b,c,d)共有( ) A251 组 B252 组 C502 组 D504 组 5 (2021 八上 厦门期中)下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( ) A2+ 1 = ( +1) B22 + 1 = ( 1)2 C( + 1) = 2+ D( + 1)( 1) = 2 1 6 (2021 八下 漳州期末)下列各式从左边到右边的变形中,属于因式分解的是( ) A( + ) = + B10 5 = 5(2 1) C2 4 + 4 = ( 2)2 D2 16 +3 = ( + 4)( 4) + 3 7 (2021 福建

3、模拟)定义:当关于 的一元二次方程 2+ + = 0 满足 4 2 + = 0 时,称此方程为“合理”方程.若“合理”方程 2+ + = 0 有两个相等的实数根,则下列等式正确的是( ) A = 4 = 4 B = = 4 C = 4 = D4 = = 8 (2021 八上 厦门期末)运用公式 a2+2ab+b2(a+b)2直接对整式 4x2+4x+1 进行因式分解,公式中的 a 可以是( ) A2x2 B4x2 C2x D4x 9 (2021 八上 厦门期末)整式 n21 与 n2+n 的公因式是( ) An Bn2 Cn+1 Dn1 10 (2020 八下 莆田月考)下列从左边到右边的变形

4、,是因式分解的是( ) A(3x)(3x)=9x2 Bm3n3(mn)(m2mnn2) C(y1)(y3) (3y)(y1) D4yz2yzz2y(2zyz) z 二、填空题二、填空题 11 (2022 八下 漳州期末)若 = 2, = 3,则2 的值是 . 12 (2022 九下 福州期中)分解因式:42 12 + 92= 13 (2021 九上 鼓楼月考)因式分解:a2-ab . 14 (2021 八下 涵江期末)若 = 2 1 , = 2 + 1 ,则 2 + 2= . 15 (2021 泉州模拟)因式分解: 2= . 16 (2021 泉州模拟)已知 = 3 ,则 2 2 6 的值 1

5、7 (2021 漳浦模拟)分解因式: = . 18 (2021 福建模拟)因式分解: 42 = . 19 (2021 龙岩模拟)因式分解: 2 6 + 92= . 20 (2021 宁德模拟)因式分解: 2+ 2 + 2 = . 三、计算题三、计算题 21 (2021 八上 永春月考)因式分解: (1)252 162 (2)22+ 4 + 22 22 (2021 八上 丰泽期末)因式分解: ( 2)( 4) + 1 . 23 (2022 八上 永春期中)因式分解: (1)3 3 (2)23+ 122+ 18 24 (2022 八下 三明期末)计算 (1)因式分解: 2 4 ; (2)利用因式分

6、解进行简便计算: 2.22+ 4.4 17.8+ 17.82 四、综合题四、综合题 25 (2022 八上 永春期中)先阅读下面的内容,再解决问题 如果一个整式等于整式与整式之积,则称整式和整式为整式的因式 如:因为36 = 4 9,所以 4 和 9 是 36 的因数; 因为2 2 = ( + 1)( 2),所以 + 1和 2是2 2的因式 若 + 1是2+ 2的因式,则求常数的值的过程如下: 解: + 1是2+ 2的因式, 存在一个整式( + ),使得2+ 2 = ( + 1)( + ), 当 = 1时,( + 1)( + ) = 0, 当 = 1时,2+ 2 = 0, 1 2 = 0, =

7、 1 (1)若 + 5是整式2+ 10的一个因式,则 = (2)若整式2 1是34 2+ + 1的因式,求 + 2017的值 26 (2022 九下 厦门月考)定义:一个自然数能分解成 ,其中 A,B 均为两位数,A 的十位数字比 B 的十位数字大 1,且 A,B 的个位数字之和为 10,则称这个自然数为“分解数”,例如:4819 = 79 61,7 比 6 大 1,1 + 9 = 10,4819 是“分解数”;又如:1496 = 44 34,4 比 3大 1,4 + 4 10,1496 不是“分解数”. (1)判断 231 是否是“分解数”,并说明理由; (2)自然数 = 为“分解数”,若

8、A 的十位数字与 B 的个位数字的和为 P,A 的个位数字与 B的十位数字的和 F,令 =,当 G 为整数时,则称 M 为“整分解数”.若 B 的十位数字能被 4 整除,求满足条件的“整分解数”. 27 (2021 八下 漳州期末)给出三个单项式: 2 , 2 , 2 . (1)任选两个单项式相减,并进行因式分解; (2)利用因式分解进行计算: 2+2 2 ,其中 = 2021 , = 2019 . 28 (2021 八上 福州期末)先阅读下列材料:我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法(拆项法) 、十字相乘法等等.分组分解法是将一

9、个多项式适当分组后,再用提公因式或运用公式继续分解的方法. 如和: + + + = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) 2 + 2 1 + 2 = (2+ 2 + 2) 1 = ( + )2 1 = ( + + 1)( + 1) 请你仿照以上方法,探索并解决下列问题: (1)分解因式: 2+ 2 ; (2) 两个不相等的实数 m, n 满足 2+ 2= 40 .若 2 6 = , 2 6 = , 求 + 和k 的值. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解:A、等式右边不是积的形式,不是因式分解,不符合题意; B、等式右边

10、不是积的形式,不是因式分解,不符合题意; C、等式右边不是积的形式,不是因式分解,不符合题意; D、是因式分解,符合题意. 故答案为:D. 【分析】把一个多项式在一定范围化为几个整式的积的形式,这种式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式,据此判断即可. 2 【答案】D 【解析】【解答】解:A、 (2 1) = ( + 1)( 1) ,故此选项不符合题意; B、 2+ 6 + 9 = ( + 3)2 ,故此选项不符合题意; C、 2 2= ( +)( ) ,故此选项不符合题意; D、 2 92= ( + 3)( 3) ,故此选项符合题意. 故答案为:D. 【分析】根据因式分

11、解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式”据此即可判断 A、B;根据二项式使用平方差公式分解因式即可判断 C、D. 3 【答案】A 【解析】【解答】解:2+ + 1不能因式分解,故 A 选项符合题意; 2 6 + 9 = ( 3)2,故 B 选项不符合题意; 2+ 5 = ( +5),故 C 选项不符合题意; 2 1 = ( + 1)( 1),故 D 选项不符合题意. 故答案为:A. 【分析】根据完全平方公式可对 B 中的式子进行分解;根据提取公因式法可对 C 中的式子进行分解;根据平方差公式可对 D 中的式子进行分解,据此即可得出答案.

12、4 【答案】D 【解析】【解答】解:因为 , , , 为正整数,且 , 所以 + 3 + 2 + 1 . 所以 2022 = 2 2+ 2 2= ( )( + ) + ( )( + ) ( + ) + ( + ) = 2022 . 因此 = 1 , = 1 ,即 = + 1 , = + 1 . 所以 + + + = + ( + 1) + + ( + 1) = 2022 ,因此 + = 1010 . 又 + 2 ,所以 1010 = + + ( + 2) ,因此 1 504 . 所以符合条件的 4 元数组 (,) 为 (, + 1,1010 ,1011 ) ,其中 1 504 . 所以符合条件的

13、 4 元数组有 504 组. 故答案为:D. 【分析】根据题意可得 a+3b+2c+1d,则 2022=d2-c2+b2-a2(d+c)+(b+a)=2022,推出 d-c=1,b-a=1,a+c=1010,结合 a+2c 可得 a 的范围,据此解答. 5 【答案】B 【解析】【解答】解:A、 2+ 1 = ( +1) 化为分式的积,不是因式分解,故该选项不符合题意; B、2 2 + 1 = ( 1)2 ,是因式分解,故该选项符合题意; C、( + 1) = 2+ ,不是积的形式,故该选项不符合题意; D、 ( + 1)( 1) = 2 1 ,不是积的形式,故该选项不符合题意. 故答案为:B.

14、 【分析】把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,这样的恒等变形叫因式分解,根据定义分别判断即可. 6 【答案】C 【解析】【解答】解:A、是整式乘法,不是因式分解,故此选项不符合题意; B、右边不是整式积的形式(含有分式) ,不是因式分解,故此选项不符合题意; C、符合因式分解的定义,是因式分解,故此选项符合题意; D、右边不是整式积的形式,不是因式分解,故此选项不符合题意; 故答案为:C. 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一判断即可求解. 7 【答案】D 【解析】【解答】解:“合理”方程有两个相等的实数根 4m-2n+p=0 =n2-4mp=0 则有 p=2n-4m 代入得: n2-4m

15、(2n-4m) =0 16m2-8mn=- n2 16m2-8mn+n2=-n2+n2 (4m-n)2=0 4m=n,代入得 n-2n+p=0 n=p 4m=n=p 故答案为:D 【分析】根据 “合理”方程 定义可得 4m-2n+p=0,可变形得 p=2n-4m,再根据方程有两相等实根可得 =n2-4mp=0,代入 p 的值,因式分解可得结果. 8 【答案】C 【解析】【解答】解:4x2+4x+1 =(2x)2+2 2x+1 =(2x+1)2, 对上式进行因式分解,公式中的 a 可以是:2x. 故答案为:C. 【分析】直接利用完全平方公式得出答案. 9 【答案】C 【解析】【解答】解: n21

16、(n+1) (n1) , n2+nn(n+1) , 所以整式 n21 与 n2+n 的公因式是(n+1). 故答案为:C. 【分析】先把第一个多项式利用平方差公式分解因式,将第二个多项式利用提取公因式法分解因式,再找出每一个多项式都含有的相同的因式即可得出答案. 10 【答案】B 【解析】【解答】解:A、是整式的乘法,故 A 不符合题意 B、把一个多项式转化成几个整式积,故 B 符合题意 C、是乘法交换律,故 C 不符合题意 D、没把一个多项式转化成几个整式积,故 D 不符合题意 故答案为:B 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积,可得答案. 11 【答案】6 【解析】【解答】解

17、: = 2, = 3, 2 = ( ) = 2 3 = 6. 故答案为:6. 【分析】对待求式利用提取公因式法进行分解,然后将已知条件代入计算即可. 12 【答案】(2 3)2 【解析】【解答】解:4a212ab+9b2=(2a3b)2 故答案为: (2a3b)2 【分析】观察此多项式的特点:符合完全平方公式的特点:a2 2ab+b2=(a b)2,然后进行分解因式. 13 【答案】a(a-b) 【解析】【解答】解:a2-ab=a(a-b). 故答案为:a(a-b). 【分析】直接提取公因式 a,即可对原式进行因式分解. 14 【答案】22 【解析】【解答】解:x+y= 2 1 +2+ 1 =

18、2 2 ,xy= (2 1)(2 + 1) = 1 2 + 2 = ( + ) =1 2 2 =2 2 . 故填:2 2 . 【分析】首先根据 x、y 的值可得 x+y、xy 的值,然后将待求式因式分解得 xy(x+y),接下来代入计算即可. 15 【答案】a(1+b) (1-b) 【解析】【解答】解: 2 = (1 2) = (1 + )(1 ) 故答案为:a(1+b) (1-b). 【分析】首先提取公因式 a,然后利用平方差公式进行分解. 16 【答案】9 【解析】【解答】解:m-n=3, 22 6 = ( + )( ) 6 = 3( + ) 6 = 3( + 2) = 3( ) = 3

19、3 = 9 故答案为:9. 【分析】待求式可变形为(m+n)(m-n)-6n,将 m-n=3 代入可得 3(m+n)-6n=3(m-n),据此计算. 17 【答案】a(b-1) 【解析】【解答】解: = 1 = ( 1) 故答案为 a(b-1) 【分析】直接提取公因式 a 即可. 18 【答案】m(4m-1) 【解析】【解答】 42 = (4 1) . 故答案为:m(4m-1). 【分析】观察此多项式的特点:含有公因式 m,因此利用提公因式法分解因式. 19 【答案】( 3)2 【解析】【解答】解: 2 6 + 92= 2 2 3 + (3)2 = ( 3)2 故答案为: ( 3)2. 【分析

20、】根据完全平方公式可分解因式. 20 【答案】( + )2 【解析】【解答】解: 2+ 2 + 2 = ( + )2 . 故答案为: ( + )2 . 【分析】根据完全平方公式分解即可. 21 【答案】解:原式 = (5 + 4)(5 4)(2)22+ 4 + 22 . 解:原式 = 2(2+ 2 + 2) =2( + )2 . (1)解:原式 = (5 + 4)(5 4) (2)解:原式 = 2(2+ 2 + 2) = 2( + )2 . 【解析】【分析】 (1)由于原式可以写成:(5x)2-(4y)2,故直接利用平方差公式进行分解; (2)首先提取公因式 2,然后利用完全平方公式进行分解.

21、 22 【答案】解:原式 = 2 6 + 8 + 1 , = 2 6 + 9 , = ( 3)2 . 【解析】【分析】先去括号,合并同类项整理成二次三项式的降幂排列形式,再用完全平方公式因式分解即可. 23 【答案】(1)解:原式ab(a2-b2)ab(a+b) (a-b) (2)解:原式2a(a2+6a+9)2a(a+3)2 【解析】【分析】 (1)先提取公因式 ab,再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止; (2)先提取公因式 2a,再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止. 24 【答案】(1)解: 2 4 = (2 4) = ( + 2)( 2) ; (2)解: 2

22、.22+ 4.4 17.8 + 17.82 = 2.22+ 2 2.2 17.8 + 17.82 = (2.2 + 17.8)2 = 202 = 400 . 【解析】【分析】 (1)观察多项式可知含有公因式 b,提公因式后括号内的多项式符合平方差公式特征,然后将括号内的多项式用平方差公式分解即可求解; (2)观察所求代数式并变形得原式=2.22+2 2.2 17.8+17.82,符合完全平方公式特征,用完全平方公式“a2+2ab+b2=(a+b)2”计算即可求解. 25 【答案】(1)3 (2)解:整式2 1是34 2+ + 1, 存在一个整式(32+ 1),使得34 2+ + 1 = (2

23、1)(32+ 1), 当 = 1时,(2 1)(32+ 1) = 0, 即34 2+ + 1 = 0, 则3 + + 1 = 0, 当 = 1时,(2 1)(32+ 1) = 0, 即34 2+ + 1 = 0, 则3 + 1 = 0, 联立,3 + + 1 = 03 + 1 = 0 解得 = 4, = 0 + 2017 =4 = 2 【解析】【解答】解: (1) + 5是整式2+ 10的一个因式, 存在一个整式( + ),使得2+ 10 = ( + 5)( + ), 当 = 5时,( + 5)( + ) = 0, 当 = 5时,2+ 10 = 0, 25 5 10 = 0, = 3; 故答案

24、为:3; 【分析】 (1)根据题干中提供的阅读材料中的例子,类比可得结论; (2)根据题干中提供的阅读材料中的例子,类比可得 3x4ax2bx1(x21) (3x2mx1) ,根据当 x1 时, (x21) (3x2mx1)0,则 3ab10,当 x1 时, (x21) (3x2mx1)0,则 3ab10,联立可求常数 a、b 的值,可得结论 26 【答案】(1)解:231=21 11,2 比 1 大 1,1+110, 231 不是“分解数”; (2)解:令 = 10 + , = 10( + 1)+ 10 ,(1 8,1 9)且 x,y 为正整数, = + + 1, = + 10, =+1+1

25、0, 4为整数, x=4 或 8, 当 x=4 时,不存在 G 为整数, 舍去; 当 x=8 时, =+9+18= 1 +27+18 为整数, + 18 = 9,解得 = 9, = 91 89 = 8099. 综上所述,M 的值为 8099. 【解析】【分析】 (1)根据 “分解数” 的定义判断即可; (2)设 B 的十位数字为 x,个位数字为 y,则 A 的十位数字为 x+1,个位数字为 10-y,然后分别表示出 P、F,将 B 的十位数字分为两种情况讨论,分别讨论 B 的个数数字的取值即可求解. 27 【答案】(1)解:a2-b2=(a+b) (a-b);b2-a2=(b+a) (b-a)

26、; a2-2ab=a(a-2b);2ab-a2=a(2b-a); b2-2ab=b(b-2a);2ab-b2=b(2a-b) (2)解: 2+ 2 2 = ( )2 , 当 = 2021 , = 2019 时, 原式 = (2021 2019)2 = 4 【解析】【分析】 (1)运用公式法和提公因式法进行因式分解即可求解; (2)根据2+2 2 = ( )2 代入数值即可求解. 28 【答案】(1)解: 2+ 2 = 2 2+ ( ) = ( + )( ) + ( ) = ( )( + + 1) (2)解:2 6 = , 2 6 = , 两式相减得 2 6 2+ 6 = 0 , 22 6 +

27、6 = 0 ,即 ( + )( ) 6( ) = 0 , 因式分解得 ( )( + 6) = 0 , , + 6 = 0 即 + = 6 , 26 = , 2 6 = , 两式相加得 2 6 + 2 6 = 2 ,即 2+ 2 6( +) = 2 , 2+2= 40 , + = 6 , 2 = 40 6 6 = 4 , = 2 . 【解析】【分析】 (1)先分组得 2 2+ ( ) ,再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解; (2)由已知 2 6 = , 2 6 = 两式相减得到 2 6 2+ 6 = 0 ,左边分解后可得到 + = 6 , 再由已知 2 6 = , 2 6 = 两式相加结合 2+ 2= 40 即可求得 的值