1、 专题专题 4 4 因式分解因式分解 一、单选题一、单选题 1下面式子从左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A2 2 = ( 1) 2 B( + )( ) = 2 2 C( + 1) = 2+ D2 2 + 1 = ( 1)2 2下列因式分解正确的是（ ） A(2 1) = 3 B2+ 6 + 9 = ( + 6) + 9 C2 2= ( )2 D2 92= ( + 3)( 3) 3 （2022 七下 福州期末）下列多项式中，不能因式分解的是（ ） A2+ +1 B2 6 + 9 C2+5 D2 1 4（2022九上 福建竞赛）已知正整数a， b， c， d满足： abcd， a+b+c
2、+d=2022， 2 2+ 2 2= 2022 ，则这样的 4 元数组(a，b，c，d)共有（ ） A251 组 B252 组 C502 组 D504 组 5 （2021 八上 厦门期中）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A2+ 1 = ( +1) B22 + 1 = ( 1)2 C( + 1) = 2+ D( + 1)( 1) = 2 1 6 （2021 八下 漳州期末）下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A( + ) = + B10 5 = 5(2 1) C2 4 + 4 = ( 2)2 D2 16 +3 = ( + 4)( 4) + 3 7 （2021 福建
3、模拟）定义：当关于 的一元二次方程 2+ + = 0 满足 4 2 + = 0 时，称此方程为“合理”方程.若“合理”方程 2+ + = 0 有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（ ） A = 4 = 4 B = = 4 C = 4 = D4 = = 8 （2021 八上 厦门期末）运用公式 a2+2ab+b2（a+b）2直接对整式 4x2+4x+1 进行因式分解，公式中的 a 可以是（ ） A2x2 B4x2 C2x D4x 9 （2021 八上 厦门期末）整式 n21 与 n2+n 的公因式是（ ） An Bn2 Cn+1 Dn1 10 （2020 八下 莆田月考）下列从左边到右边的变形
4、，是因式分解的是（ ） A(3x)(3x)=9x2 Bm3n3(mn)(m2mnn2) C(y1)(y3) (3y)(y1) D4yz2yzz2y(2zyz) z 二、填空题二、填空题 11 （2022 八下 漳州期末）若 = 2， = 3，则2 的值是 . 12 （2022 九下 福州期中）分解因式：42 12 + 92= 13 （2021 九上 鼓楼月考）因式分解：a2-ab . 14 （2021 八下 涵江期末）若 = 2 1 ， = 2 + 1 ，则 2 + 2= . 15 （2021 泉州模拟）因式分解： 2= . 16 （2021 泉州模拟）已知 = 3 ，则 2 2 6 的值 1
5、7 （2021 漳浦模拟）分解因式： = . 18 （2021 福建模拟）因式分解： 42 = . 19 （2021 龙岩模拟）因式分解： 2 6 + 92= . 20 （2021 宁德模拟）因式分解： 2+ 2 + 2 = . 三、计算题三、计算题 21 （2021 八上 永春月考）因式分解： （1）252 162 （2）22+ 4 + 22 22 （2021 八上 丰泽期末）因式分解： ( 2)( 4) + 1 . 23 （2022 八上 永春期中）因式分解： （1）3 3 （2）23+ 122+ 18 24 （2022 八下 三明期末）计算 （1）因式分解： 2 4 ； （2）利用因式分
6、解进行简便计算： 2.22+ 4.4 17.8+ 17.82 四、综合题四、综合题 25 （2022 八上 永春期中）先阅读下面的内容，再解决问题 如果一个整式等于整式与整式之积，则称整式和整式为整式的因式 如：因为36 = 4 9，所以 4 和 9 是 36 的因数； 因为2 2 = ( + 1)( 2)，所以 + 1和 2是2 2的因式 若 + 1是2+ 2的因式，则求常数的值的过程如下： 解： + 1是2+ 2的因式， 存在一个整式( + )，使得2+ 2 = ( + 1)( + )， 当 = 1时，( + 1)( + ) = 0， 当 = 1时，2+ 2 = 0， 1 2 = 0， =
7、 1 （1）若 + 5是整式2+ 10的一个因式，则 = （2）若整式2 1是34 2+ + 1的因式，求 + 2017的值 26 （2022 九下 厦门月考）定义：一个自然数能分解成 ，其中 A，B 均为两位数，A 的十位数字比 B 的十位数字大 1，且 A，B 的个位数字之和为 10，则称这个自然数为“分解数”，例如：4819 = 79 61，7 比 6 大 1，1 + 9 = 10，4819 是“分解数”；又如：1496 = 44 34，4 比 3大 1，4 + 4 10，1496 不是“分解数”. （1）判断 231 是否是“分解数”，并说明理由； （2）自然数 = 为“分解数”，若
8、A 的十位数字与 B 的个位数字的和为 P，A 的个位数字与 B的十位数字的和 F，令 =，当 G 为整数时，则称 M 为“整分解数”.若 B 的十位数字能被 4 整除，求满足条件的“整分解数”. 27 （2021 八下 漳州期末）给出三个单项式： 2 ， 2 ， 2 . （1）任选两个单项式相减，并进行因式分解； （2）利用因式分解进行计算： 2+2 2 ，其中 = 2021 ， = 2019 . 28 （2021 八上 福州期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法） 、十字相乘法等等.分组分解法是将一
9、个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法. 如和： + + + = ( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) 2 + 2 1 + 2 = (2+ 2 + 2) 1 = ( + )2 1 = ( + + 1)( + 1) 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式： 2+ 2 ； （2） 两个不相等的实数 m， n 满足 2+ 2= 40 .若 2 6 = ， 2 6 = ， 求 + 和k 的值. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：A、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边
10、不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意. 故答案为：D. 【分析】把一个多项式在一定范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可. 2 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 (2 1) = ( + 1)( 1) ，故此选项不符合题意； B、 2+ 6 + 9 = ( + 3)2 ，故此选项不符合题意； C、 2 2= ( +)( ) ，故此选项不符合题意； D、 2 92= ( + 3)( 3) ，故此选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据因式分
11、解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式”据此即可判断 A、B；根据二项式使用平方差公式分解因式即可判断 C、D. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：2+ + 1不能因式分解，故 A 选项符合题意； 2 6 + 9 = ( 3)2，故 B 选项不符合题意； 2+ 5 = ( +5)，故 C 选项不符合题意； 2 1 = ( + 1)( 1)，故 D 选项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据完全平方公式可对 B 中的式子进行分解；根据提取公因式法可对 C 中的式子进行分解；根据平方差公式可对 D 中的式子进行分解，据此即可得出答案.
12、4 【答案】D 【解析】【解答】解：因为 ， ， ， 为正整数，且 ， 所以 + 3 + 2 + 1 . 所以 2022 = 2 2+ 2 2= ( )( + ) + ( )( + ) ( + ) + ( + ) = 2022 . 因此 = 1 ， = 1 ，即 = + 1 ， = + 1 . 所以 + + + = + ( + 1) + + ( + 1) = 2022 ，因此 + = 1010 . 又 + 2 ，所以 1010 = + + ( + 2) ，因此 1 504 . 所以符合条件的 4 元数组 (，) 为 (， + 1，1010 ，1011 ) ，其中 1 504 . 所以符合条件的
13、 4 元数组有 504 组. 故答案为：D. 【分析】根据题意可得 a+3b+2c+1d，则 2022=d2-c2+b2-a2(d+c)+(b+a)=2022，推出 d-c=1，b-a=1，a+c=1010，结合 a+2c 可得 a 的范围，据此解答. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：A、 2+ 1 = ( +1) 化为分式的积，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、2 2 + 1 = ( 1)2 ，是因式分解，故该选项符合题意； C、( + 1) = 2+ ，不是积的形式，故该选项不符合题意； D、 ( + 1)( 1) = 2 1 ，不是积的形式，故该选项不符合题意. 故答案为：B.
14、 【分析】把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，这样的恒等变形叫因式分解，根据定义分别判断即可. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：A、是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、右边不是整式积的形式（含有分式） ，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意； D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一判断即可求解. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：“合理”方程有两个相等的实数根 4m-2n+p=0 =n2-4mp=0 则有 p=2n-4m 代入得： n2-4m
15、(2n-4m) =0 16m2-8mn=- n2 16m2-8mn+n2=-n2+n2 (4m-n)2=0 4m=n，代入得 n-2n+p=0 n=p 4m=n=p 故答案为：D 【分析】根据 “合理”方程 定义可得 4m-2n+p=0，可变形得 p=2n-4m，再根据方程有两相等实根可得 =n2-4mp=0，代入 p 的值，因式分解可得结果. 8 【答案】C 【解析】【解答】解：4x2+4x+1 =（2x）2+2 2x+1 =（2x+1）2， 对上式进行因式分解，公式中的 a 可以是：2x. 故答案为：C. 【分析】直接利用完全平方公式得出答案. 9 【答案】C 【解析】【解答】解： n21
16、（n+1） （n1） ， n2+nn（n+1） ， 所以整式 n21 与 n2+n 的公因式是（n+1）. 故答案为：C. 【分析】先把第一个多项式利用平方差公式分解因式，将第二个多项式利用提取公因式法分解因式，再找出每一个多项式都含有的相同的因式即可得出答案. 10 【答案】B 【解析】【解答】解:A、是整式的乘法,故 A 不符合题意 B、把一个多项式转化成几个整式积,故 B 符合题意 C、是乘法交换律,故 C 不符合题意 D、没把一个多项式转化成几个整式积,故 D 不符合题意 故答案为：B 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积,可得答案. 11 【答案】6 【解析】【解答】解
17、： = 2， = 3， 2 = ( ) = 2 3 = 6. 故答案为：6. 【分析】对待求式利用提取公因式法进行分解，然后将已知条件代入计算即可. 12 【答案】(2 3)2 【解析】【解答】解：4a212ab+9b2=（2a3b）2 故答案为： （2a3b）2 【分析】观察此多项式的特点：符合完全平方公式的特点：a2 2ab+b2=（a b）2，然后进行分解因式. 13 【答案】a(a-b) 【解析】【解答】解：a2-ab=a(a-b). 故答案为：a(a-b). 【分析】直接提取公因式 a，即可对原式进行因式分解. 14 【答案】22 【解析】【解答】解：x+y= 2 1 +2+ 1 =
18、2 2 ，xy= (2 1)(2 + 1) = 1 2 + 2 = ( + ) =1 2 2 =2 2 . 故填：2 2 . 【分析】首先根据 x、y 的值可得 x+y、xy 的值，然后将待求式因式分解得 xy(x+y)，接下来代入计算即可. 15 【答案】a（1+b） （1-b） 【解析】【解答】解： 2 = (1 2) = (1 + )(1 ) 故答案为：a（1+b） （1-b）. 【分析】首先提取公因式 a，然后利用平方差公式进行分解. 16 【答案】9 【解析】【解答】解：m-n=3， 22 6 = ( + )( ) 6 = 3( + ) 6 = 3( + 2) = 3( ) = 3
19、3 = 9 故答案为：9. 【分析】待求式可变形为(m+n)(m-n)-6n，将 m-n=3 代入可得 3(m+n)-6n=3(m-n)，据此计算. 17 【答案】a（b-1） 【解析】【解答】解： = 1 = ( 1) 故答案为 a（b-1） 【分析】直接提取公因式 a 即可. 18 【答案】m（4m-1） 【解析】【解答】 42 = (4 1) . 故答案为：m（4m-1）. 【分析】观察此多项式的特点：含有公因式 m，因此利用提公因式法分解因式. 19 【答案】( 3)2 【解析】【解答】解： 2 6 + 92= 2 2 3 + (3)2 = ( 3)2 故答案为： ( 3)2. 【分析
20、】根据完全平方公式可分解因式. 20 【答案】( + )2 【解析】【解答】解： 2+ 2 + 2 = ( + )2 . 故答案为： ( + )2 . 【分析】根据完全平方公式分解即可. 21 【答案】解：原式 = (5 + 4)(5 4)(2)22+ 4 + 22 . 解：原式 = 2(2+ 2 + 2) =2( + )2 . （1）解：原式 = (5 + 4)(5 4) （2）解：原式 = 2(2+ 2 + 2) = 2( + )2 . 【解析】【分析】 （1）由于原式可以写成：(5x)2-(4y)2，故直接利用平方差公式进行分解； （2）首先提取公因式 2，然后利用完全平方公式进行分解.
21、 22 【答案】解：原式 = 2 6 + 8 + 1 ， = 2 6 + 9 ， = ( 3)2 . 【解析】【分析】先去括号，合并同类项整理成二次三项式的降幂排列形式，再用完全平方公式因式分解即可. 23 【答案】（1）解：原式ab（a2-b2）ab（a+b） （a-b） （2）解：原式2a（a2+6a+9）2a（a+3）2 【解析】【分析】 （1）先提取公因式 ab，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止； （2）先提取公因式 2a，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止. 24 【答案】（1）解： 2 4 = (2 4) = ( + 2)( 2) ； （2）解： 2
22、.22+ 4.4 17.8 + 17.82 = 2.22+ 2 2.2 17.8 + 17.82 = (2.2 + 17.8)2 = 202 = 400 . 【解析】【分析】 （1）观察多项式可知含有公因式 b，提公因式后括号内的多项式符合平方差公式特征，然后将括号内的多项式用平方差公式分解即可求解； （2）观察所求代数式并变形得原式=2.22+2 2.2 17.8+17.82，符合完全平方公式特征，用完全平方公式“a2+2ab+b2=(a+b)2”计算即可求解. 25 【答案】（1）3 （2）解：整式2 1是34 2+ + 1， 存在一个整式(32+ 1)，使得34 2+ + 1 = (2
23、1)(32+ 1)， 当 = 1时，(2 1)(32+ 1) = 0， 即34 2+ + 1 = 0， 则3 + + 1 = 0， 当 = 1时，(2 1)(32+ 1) = 0， 即34 2+ + 1 = 0， 则3 + 1 = 0， 联立，3 + + 1 = 03 + 1 = 0 解得 = 4， = 0 + 2017 =4 = 2 【解析】【解答】解： （1） + 5是整式2+ 10的一个因式， 存在一个整式( + )，使得2+ 10 = ( + 5)( + )， 当 = 5时，( + 5)( + ) = 0， 当 = 5时，2+ 10 = 0， 25 5 10 = 0， = 3； 故答案
24、为：3； 【分析】 （1）根据题干中提供的阅读材料中的例子，类比可得结论； （2）根据题干中提供的阅读材料中的例子，类比可得 3x4ax2bx1（x21） （3x2mx1） ，根据当 x1 时， （x21） （3x2mx1）0，则 3ab10，当 x1 时， （x21） （3x2mx1）0，则 3ab10，联立可求常数 a、b 的值，可得结论 26 【答案】（1）解：231=21 11，2 比 1 大 1，1+110， 231 不是“分解数”； （2）解：令 = 10 + ， = 10（ + 1）+ 10 ，（1 8，1 9）且 x，y 为正整数， = + + 1， = + 10， =+1+1
25、0， 4为整数， x=4 或 8， 当 x=4 时，不存在 G 为整数， 舍去； 当 x=8 时， =+9+18= 1 +27+18 为整数， + 18 = 9，解得 = 9， = 91 89 = 8099. 综上所述，M 的值为 8099. 【解析】【分析】 （1）根据 “分解数” 的定义判断即可； （2）设 B 的十位数字为 x，个位数字为 y，则 A 的十位数字为 x+1，个位数字为 10-y，然后分别表示出 P、F，将 B 的十位数字分为两种情况讨论，分别讨论 B 的个数数字的取值即可求解. 27 【答案】（1）解：a2-b2=(a+b) (a-b)；b2-a2=(b+a) (b-a)
26、； a2-2ab=a(a-2b)；2ab-a2=a(2b-a)； b2-2ab=b(b-2a)；2ab-b2=b(2a-b) （2）解： 2+ 2 2 = ( )2 ， 当 = 2021 ， = 2019 时， 原式 = (2021 2019)2 = 4 【解析】【分析】 （1）运用公式法和提公因式法进行因式分解即可求解； （2）根据2+2 2 = ( )2 代入数值即可求解. 28 【答案】（1）解： 2+ 2 = 2 2+ ( ) = ( + )( ) + ( ) = ( )( + + 1) （2）解：2 6 = ， 2 6 = ， 两式相减得 2 6 2+ 6 = 0 ， 22 6 +
27、6 = 0 ，即 ( + )( ) 6( ) = 0 ， 因式分解得 ( )( + 6) = 0 ， ， + 6 = 0 即 + = 6 ， 26 = ， 2 6 = ， 两式相加得 2 6 + 2 6 = 2 ，即 2+ 2 6( +) = 2 ， 2+2= 40 ， + = 6 ， 2 = 40 6 6 = 4 ， = 2 . 【解析】【分析】 （1）先分组得 2 2+ ( ) ，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解； （2）由已知 2 6 = ， 2 6 = 两式相减得到 2 6 2+ 6 = 0 ，左边分解后可得到 + = 6 ， 再由已知 2 6 = ， 2 6 = 两式相加结合 2+ 2= 40 即可求得 的值